Matemáticas TRANSFINITAS: Distintos tipos de INFINITO o el paraiso de Cantor

A veces estas reflexiones asombran todavía la noche conturbada
o el reposo a mediodía.

T. S. Eliot

Matemáticas TRANSFINITAS (elementos básicos .....)

Pa' Niko, Inti y Kristel .....


Al finalizar este lectura, Ud. estará convencido(a) de que hay distintos tipos de infinitos, que hay unos infinitos "MAS GRANDES" que otros .... al menos eso creo poder lograr.

Pensemos en un conjunto infinito. El más simple es de de los números naturales (N), esos que se llaman así porque los usamos para contar:

N=(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ........ , hacia el infinito).

Realmente es gigantezco, pero más eso, es realmente infinito porque nunca habrá un número final.

Sin embargo hay otro tipo de conjunto infinito. Piense Ud. en todos los números decimales que hay entre el cero y el uno .... YO les digo que son infinitos.

Miremos algunos ejemplos:



0,625 está entre 0,5 y 0,75, JUSTO AL MEDIO, entre ambos. Con este proceso de sumar dos decimales y dividir el resultado por 2, se puede encontrar un decimal que está justo en medio de ambos. Este proceso se puede hacer infinitas veces, por lo cual, los decimales que hay entre 0 y 1 son INFINITOS.

En lengua VULGATA:

Lo que vamos a demostrar es que "el infinito de los números naturales, es menor que el infinito de los números decimales que hay entre 0 y 1".

Supongamos que podemos comparar ambos infinitos, que son equivalentes, que tiene cada uno de ellos el mismo número de elementos (hay una BIYECCION entre ellos diría los matemáticos cabezones).

Entonces podríamos asociar a cada número natural, alguno de los números decimales entre 0 y 1.
Hagamos una lista de correspondencia (TABLA):



Si ambos conjuntos tuvieran infinitos equivalentes, significaría que no faltaría ningún número natural y ningún número decimal en esta correspondencia, que se "emparejarían" uno-a-uno.
Pero esto es falso, porque se puede encontrar al menos un decimal que está entre 0 y 1 y no está en esta lista.

Este decimal: 0,27458379632 .... construído bajo el siguiente criterio NO está en la lista.

Criterio:
Se ha construido eligiendo

una primera cifra decimal distinta de la primera cifra del decimal 1 (de la TABLA);
una segunda cifra decimal distinta de la segunda cifra decimal del decimal 2 (de la TABLA),
y así sucesivamente ..... (se pueden construir varios, muchos similares que no están).

¿Puede este decimal estar en la lista? NO, porque difiere de todo "decimal n" precisamente en la cifra n.

Por tanto: HAY MÁS PUNTOS (NÚMEROS decimales) ENTRE CERO Y UNO QUE NÚMEROS (de contar) EN EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS NATURALES. HAY INFINITOS DISTINTOS .... UNOS MÁS GRANDES QUE OTROS.

Ahora pensemos en lo siguiente: Tomemos un segmento de longitud 1 y una recta ilimitada por ambos extremos. Pareciera ser que la recta ilimitada tuviera más puntos. El dibujo que adjunto, en el cual muestra el segmento unitario curvado, nos deja en claro que lo anterior no es cierto. CADA UNO DE LOS PUNTOS DEL SEGMENTO CURVILÍNEO DE LONGITUD 1 ESTA EN CORRESPONDENCIA UNO-A-UNO CON UN PUNTO DE LA RECTA Y VICEVERSA.

Podemos decir, en este caso, que ambos infinitos son iguales. Nótese que el número de puntos no tiene nada que ver con su medida. En efecto, tanto la recta como el segmento tienen el mismo número de puntos y, no obstante, sus longitudes son evidentemente distintas.
Espero se haya entendido pero sobretodo se haya disfrutado ..... Abrazos, Claudio.

(Nota 1, para mi entender, tener un SATORI es casi -dije casi- tan potente como un orgasmo).

(Nota 2: Hablo de Paraíso de Cantor porque fue este matemático (George F. Cantor 1845-1918) el que nos introdujo a las matemáticas transfinitas desde la creación de la Teoría de Conjuntos. Cantor de ejemplar espíritu científico decía:"la libertad es la esencia de las matemáticas", pero a él se la negaron sistemáticamente sus numerosos adversarios, tan poderosos que consiguieron mantenerle arrinconado en puestos de castigo .... )

(Nota 3: DIVERTIMENTO: Una vez yo estaba protestando solo contra Pascualama o algo así en La Moneda y llegó un carabinieri medio enojado, yo conversaba con la gente y me pidió le explicitara la temática, en mi distracción yo saqué un paskin de la temática y se lo dí señalándole que ahí se podía bien informar ,,,, de reojos lo miraba mirar la hoja y darla vuelta y sobretutti darle vueltas al asunto ..... cuando nuevamente se acercó me preguntó -estando yo ya libre de la gente- si no me había equivocado porque él no entendía nada .... miré la hoja y le había pasado una explicación de este tema, un escrito para la universidad de conjuntos enumerables y no enumerables deste Paraíso de cantor .... Plop !!!!)

A modo de despedida ....

Los agujeros negros son los lugares del universo en donde Dios dividió por cero.
STEVEN WRIGHT