Una amiga me enfrenta a un problema de Optimización en MICROeconomía

Como se ve muy poquito, pongamos el problema con el editor de texto del BLOG:

Suponga que usted es el dueño de una empresa que produce una espuma que retarda la propagación del fuego y el calor, la que es muy utilizada para la construcción de edificios comerciales. Debido a que Ud. inventó esta tecnología, es dueño también de la patente lo que le permite ser el único rpductor en este mercado. La demanda de mercado viene dada por la siguiente ecuación: P = 1.500 - 0,1 Q, donde Q son toneladas y P es el precio por tonelada. Además, sus costos totales son:

a1) Para maximizar las utilidades,

¿Cuántas toneladas de espuma debieran producirse y venderse?

a2) ¿ A qué precio debiera vender una tonelada de espuma?

b) Calcula las utilidades de esta empresa.

La solución en el siguiente texto en WORD: TODOS los derechos compartidos, puedes bajarlo y usarlo sin citar la autoría, el conocimiento es de todos(as) !

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Soluciones Comparativas - Dos formas de resolver un mismo problema

Dado un perímetro,
¿Cuál es el rectángulo con ese perímetro que tiene área máxima?

a pensar, a pensar .....

Primera Solución:

Segunda Solución:

Es decir, cuando NO sea un rectángulo sino un cuadrado de lado "a".

Ejemplo de la vida real - Maximización del INGRESO

Ace Cruise Lines ofrece un crucero en una vía fluvial tierra adentro a un grupo de 50 personas con un precio de $ 30 por persona, pero reduce el precio por persona por cada viajero adicional por encima de los 50.

1)
¿Reducir el precio por persona para tener tener más gente en el grupo da un mayor ingreso a la línea de criceros?, ¿Siempre?
2)
¿Cuántas personas darán el ingreso mañximo para la línea de cruceros?

Solución:

1)
El ingreso de la compañía, si el grupo es de 50 personas y cada una pega $30 es: 50 x 30 = $ 1.500. La siguiente tabla muestra el ingreso variando con el aumento de las personas:

2) Miremos la tabla, se puede ver que cuando las personas que exceden son 20, los igresos alcanzan a 1400, menos que cuando se aumentan sólo dos personas ....

Esto nos lleva a buscar el maximo y ello es plausible porque la función cuadrática en cuestión nos habla de una parábola con sus ramas hacia abajo, dado a que el coeficiente "a" de la parábola es negativo:

Esto significa que el máximo beneficio es de $ 1512,50 cuando hay (50+5) = 55 personas. cada una paga = 30-0,5(5) = 27,50 dólares.

Veamos esto en una gráfica:

Maximizando capacidades

NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
Aprendizaje Esperado: Utilizan un gráfico de la función cuadrática para resolver problemas que involucran máximos y mínimos de la función.
Fuente: Programa de Estudio. Tercero Medio. MINEDUC.
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Para la fabricación de canaletas para las aguas lluvia se dispone de láminas de 30 cm de ancho. ¿Cuál es la medida para hacer los dobleces de modo que se obtenga una canaleta de máxima capacidad?


Pensemos en una unidad de volumen como la siguiente, eligiendo como "x" la medida de los dobleces:

La idea es maximizar este volumen, es decir, maximizar: V= x(30-2x)1

Pero como el fondo elegido es unitario, el probelma equivale a maximizar el área o la sección que llevará caudal.

Debemos maximizar entonces A(x) = x(30-2x)

Veamos la gráfica:

Así, se ve a simple ojho, que la función alcanza un máximo en x=7,5 cm.

Eso se puede comprovar en la expresión analítica de las coordenadas del vértice de una parábola:

Acá f(x) es : x(30-2x) ..... donde "a" es el valor que acompaña a la x al cuadrado, b es el valor que acompaña a x.

a= -2 ; b= 30

-b/(2a) = - 30/(2 x (-2)) = -30/-4 = 7,5

Lo que intuíamos del grafo.

Bucando el máximo de una parábola invertida .....

Una parábola invertida tiene su coeficiente a, negativo. Así, las dos aspas se abren hacia abajo ....
Ojo que cuando x= b/(2a), y se hace máximo .....


Y fíjense que coinciden con lo que hemos llamado las coordenadas del vértice ....

Finalmente, tenemos:

Un pequeño problema de Optimización .....

Supongamos que queremos construir el mayor rectángulo posible con alambre de cercar, con un perímetro dado (con una longitud dada de alambre). Pensemos que este perímetro sea de 800 metros. ¿ Cuál será el mayor rectángulo que podamos construir ?

Podemos pensar en uno que tenga largo 300 y ancho 100. Así su área será de 30.000 metros cuadrados y su perímetro será de 800 metros. ¿ Pero es éste el mayor rectángulo que podemos construir con esa cantidad de alambre de cercar ?

Veamos la solución:

Sea A el Ancho.
Sea L el Largo. Claramente

2A + 2 L = 800

(Ec. Perímetro)
Área = A x L

(Ec. de Área)

Trabajemos estas ecuaciones .....

Integrado este resultado en la Ecuación del Área y trabajando (Completando cuadrado):

Y en este ecuación, relativa al área que queremos MAXIMIZAR, es obvio que el Área será mayor en la medidad que le restemos una menor cantidad a 40.000.

Para que ello suceda, L tendría que ser igual a 200, porque así restaremos cero a 40.000.

Entonces el Largo= L= 200; Pero antes sabíamos que L + A = 400, entonces, A= 200.

Por tanto, al maximizar el área, para el perímetro fijo de 800 metros, descubrimos que el rectángulo de mayor área ES UN CUADRADO de lado 200. Bueno, los cuadrados también son una clase muy particular de rectángulos.

Veamos esto gráficamente .....

Optimización: Unir dos rectángulos (juntando un lado de cada uno) buscando el mayor perímetro.

¡ bELLÍSIMO !

Un ejercicio MUY SENCILLO de Optimización MUY Educativo

Autor: Uldarico Malaspina Jurado.
Pontificia Universidad Católica del Perú
Revista Unión - Revista Interamericana de educación Matemática (Link en este Blog)
Marzo 2005 - Nro. 1 - Pgas. 105-106

El Rincón de los problemas

PROBLEMA: Se tiene dos láminas rectangulares: Una de 9 cm de largo por 5 cms de ancho y otra de 6 cm por 2 cm.

¿Cómo es la figura de mayor perímetro que se puede formar pegando un lado completo de una de las láminas a uno de los lados de la otra? Justificar e ilustrar gráficamente.

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nOTA DEL bLOGGER: eSTE EJERCICIO ES BELLÍSIMO POR SU SIMPLEZA. pUEDE DAR PARA EDUCAR MUCHO. eL PROFESOR MALESPINA, RECOMIENDA NO INTERVENIR, DEJAR QUE LOS EDUCANDOS DISCUTAN, PRUEBEN, ENSAYEN CON O SIN ERROR. sUGIERE QUE UNA VEZ SEA RESUELTO PREGUNTES QUÉ OTRAS PREGUNTAS SE PUEDEN HACER .... EN LA WEB, PROPONE Y ANALIZA 4 PREGUNTAS INTERESANTES REFERIDAS AL MISMO PROBLEMA.