Lim (x--->0) (sen (x) / x): un muy importante límite

Aunque esta NO es materia obligatoria de la Enseñanza Media, es bueno este apresto para las carreras universitarias. El razonamiento es sencillo y hermoso!

Vamos a calcular el siguiente límite:

Consideremos el ángulo central en radianes:

Observemos la siguiente figura:

De la siguiente proporción, en radianes:

Obviamente arco bc es dos veces esta cantidad.

Por trigonometría:

Entonces, calculemos el límite:
Esto es así porque cuando el ángulo teta se hace muy pequeño, el trazo bc se hace muy cercano al arco bc, tanto como queramos, al hacer cada vez más pequeño el ángulo teta.

El número e (Extracto de Matemáticas, están ahí?)

Aquí un problema que tiene que ver con poner dinero en un banco que rinda un determinado interés. Partimos de un ejemplo sencillo: Vamos a suponer que una persona tiene un capital de un peso. Y vamos a suponer también que el interés que le pagan anualmente por ese peso es del 100%. Ya sé… con este interés, el banco está condenado al fracaso. Pero igualmente, es interesante.

Capital: 1 peso
Interés: 100% anual

Si uno hace la inversión en el banco y se va a su casa, ¿cuánto dinero tiene cuando vuelve justo al año? Claro, como el interés es del 100%, al año el señor tiene dos pesos: uno que corresponde a su capital y otro que es producto del interés que le pagó el banco. Hasta acá, todo claro:

Capital al cabo de un año: 2 pesos

Supongamos ahora que el señor decide poner su dinero no a un año, sino sólo a seis meses. El interés (a lo largo de todo este ejemplo) permanecerá constante: siempre será de un 100%. Al cabo de seis meses entonces, el señor ¿cuánto dinero tiene? ¿Está claro que tiene 1,5 pesos?

Esto es porque el capital permanece intocable: sigue siendo un peso. En cambio, como el interés es del 100% pero sólo dejó el dinero invertido la mitad del año, le corresponde un interés de la mitad de lo que invirtió y, por eso, le corresponden $ 0,50 de interés. Es decir, su nuevo capital es de $ 1,5. Si ahora el señor decide reinvertir su nuevo capital en el mismo banco, con el mismo interés (100%) y por otros seis meses de manera de llegar nuevamente al año como antes, ¿cuánto dinero tiene ahora?

Nuevo capital: 1,5
Interés: 100% anual
Plazo que lo deposita: 6 meses

Al finalizar el año, el señor tiene 1,5 + 1/2 (1,5) = 2,25

¿Por qué? Porque el capital que tenía a los 6 meses iniciales, no se toca: $ 1,5. El nuevo interés que cobra es de la mitad del capital, porque el dinero lo pone a un interés del 100% pero sólo por seis meses. Por eso, tiene 1/2 (1,5) = 0,75 como nuevo dinero que le aporta el banco como producto de los intereses devengados.

MORALEJA: al señor le conviene (siempre que el banco se lo permita) depositar el dinero primero a seis meses y luego renovar el plazo fijo a otros seis meses. Si comparamos con lo que le hubiera tocado en el primer caso, al finalizar el año tenía dos pesos. En cambio, reinvirtiendo en la mitad, al cabo de 365 días tiene $ 2,25.

Supongamos ahora que el señor coloca el mismo peso que tenía originalmente, pero ahora por cuatro meses. Al cabo de esos cuatro meses, reinvierte el dinero, pero por otros cuatro meses. Y finalmente, hace una última reinversión (siempre con el mismo capital) hasta concluir en el año. ¿Cuánto dinero tiene ahora? Yo sé que ustedes pueden seguir leyendo en esta misma página y encontrar la solución, pero siempre es deseable que los lectores hagan un mínimo esfuerzo (si así lo desean) de pensar solos. De todas maneras, aquí va. Veamos si se entiende. Al principio del año el señor tiene:

1

A los cuatro meses (o sea, transcurrido 1/3 del año) tiene:

(1 + 1/3)

A los siguientes cuatro meses (ocho desde el comienzo) tiene:

(Esto sucede porque a los cuatro meses el capital es de (1+1/3) y al cabo de otros cuatro meses, tendrá el capital más un tercio de ese capital. La cuenta que sigue después, (1+1/3)2, se obtiene de “sacar factor común” (1+1/3) en el término de la izquierda en la ecuación.

Ahora bien: cuando el señor invierte (1+1/3)2 por otros cuatro meses, al llegar justo al fin del año, el señor tendrá el capital (1+1/3)2 más (1/3) de ese capital. O sea: Como seguramente advierten, ahora nos queda la tentación de hacerlo no sólo cada cuatro meses, sino cada tres meses. Los invito a que hagan la cuenta ustedes, pero el resultado lo escribo yo. Al cabo de un año, el señor tendrá:

Si lo hiciera cada dos meses, tendría que reinvertir su dinero seis veces en el año:

Repitiendo este proceso:

MORALEJA: si bien uno advierte que el dinero al finalizar el año es cada vez mayor, sin embargo, el dinero que uno tiene al final no aumenta indiscriminadamente. Voy a hacer un resumen de la lista que hemos escrito recién:

Veces que renueva capital al año su depósito
1 vez al año, 2
2 veces al año, 2,25
3 veces al año (cuatrimestral), 2,37037037…
4 veces al año (trimestral), 2,44140625…
6 veces al año (bimestral), 2,521626372…
12 veces al año (mensual), 2,61303529…
365 veces al año (diario), 2,714567482…
8.760 veces al año (por minuto), 2,718126692…
525.600 veces al año (una vez por minuto), 2,718279243…
34.536.000 veces al año (una vez por segundo), 2,718281793…

Lo que es muy interesante es que estos números, si bien crecen cada vez que el interés se cobra más frecuentemente, no lo hacen en forma ni arbitraria ni desbocada. Al contrario: tienen un tope, están acotados. Y la cota superior (es decir, si uno pudiera imaginariamente estar renovándolo instantáneamente) es lo que se conoce como el número e (que es la base de los logaritmos naturales, cosa que no importa en este contexto). No sólo es una cota superior, sino que es el número al cual se está acercando cada vez más la sucesión que estamos generando al modificar los plazos de reinversión. El número e es un número irracional, cuyas primeras cifras
decimales son:

e = 2,718281828…

El (importantísimo) número e (Wikipedia)

El número e es uno de los números más importantes en la matemática, quizás tan famoso como el número π.

El número e es llamado ocasionalmente número de Euler, debido al matemático suizo Leonhard Euler, o también constante de Neper, en honor al matemático escocés John Napier, quien introdujo el concepto de logaritmo al cálculo matemático.

El número e, base de los logaritmos naturales o neperianos, es sin duda el número más importante del campo del cálculo. Como e es un número irracional (no se puede expresar como cuociente (m/n) no simplificable de dos números m y n, con n distinto de cero) su valor no puede ser dado exactamente como un número finito o con decimales periódicos.

Su valor aproximado por truncamiento es

Historia:

Las primeras referencias a la constante fueron publicadas en 1618 en la tabla en un apéndice de un trabajo sobre logaritmos de John Napier. No obstante, esta tabla no contenía el valor de la constante, sino que era simplemente una lista de logaritmos naturales calculados a partir de ésta. Se asume que la tabla fue escrita por William Oughtred. El "descubrimiento" de la constante está acreditado a Jacob Bernoulli, quien intentó encontrar el valor de la siguiente expresión (cuyo resultado, de hecho es e):

Leonhard Euler comenzó a utilizar la letra e para identificar la constante en 1727, y el primer uso de e en una publicación fue en Mechanica, de Euler, publicado en 1736. Mientras que en los años subsiguientes algunos investigadores usaron la letra c, e fue la más común, y finalmente se convirtió en la terminología usual.