"Educar no es llenar un recipiente, sino encender una hoguera ..."

por amor a las matemáticas .....

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"Yo vivo de preguntar, saber No puede ser lujo" (Sylvio Rodríguez)

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Rivers de Ennio Morricone

Pienso en MATEMÁTICAS ..... pero NO sólo en esto

martes, 30 de junio de 2009

Georg Cantor (1846-1918) : Minibiografía



Fue un matemático alemán creador de la teoría de conjuntos que demostró, entre otras cosas, que los números Reales son más numerosos que los números Naturales. Aún más, la Teoría de Cantor supone la existencia de una "infinidad de infinitos".




Al comienzo la teoría de los números transfinitos de Cantor fue considerada como No intuitiva y encontró resistencia por parte de los matemáticos contemporáneos como Leopoldo Kronecker y Henri Poincaré, y más tarde Hermann Weyl y L.E.J. Brouwer, mientras que Ludwig Wittgenstein planteó objeciones filosóficas- Por su parte algunos teólogos cristianos vieron el trabajo de Cantor como un desafío a la singularidad de la infinitud absoluta de la naturaleza de Dios.


Las objeciones fueron feroces: Poincaré se refiere a las ideas de Cantor como una “grave enfermedad” que infecta a la disciplina de las matemáticas, y la oposición pública de Kronecker y los ataques personales incluyen la descripción de Cantor como un “charlatán científico”, un “renegado” y “corruptor de la juventud”. En alguna época los episodios recurrentes de depresión de Cantor desde 1884 hasta el final de su vida se achacaron a la actitud hostil de muchos de sus contemporáneos, sin embargo estos episodios pueden ser vistos ahora como probables manifestaciones de un trastorno bipolar.


La dura crítica ha ido acompañada de elogios. David Hilbert defendió a Cantor con su ya famosa declaración:


“nadie podrá expulsarnos del Paraíso que Cantor ha creado”.

A 100 años de la muerte de Ferrer y Guardia (1909-2009)


“Ninguna revolución social puede triunfar
si no es precedida de una revolución en las mentes
y en los corazones de los hombres …
(de los seres huamnos diría el blogger)
y esta revolución interna
tiene que llevarse a cabo
a través de las escuelas” (Kropotkin)

Pedagogo anarquista y creador de la Escuela Moderna de Barcelona, Francisco Ferrer y Guardia fue fusilado hace 100 años. A lo largo de su vida Ferrer recibió la influencia de diversos pensadores anarquistas como Paul Robin y Piotr Kropotkin y creó un modelo de escuela inspirada en las ideas racionalistas y anarquistas que consideró como relevantes para su época. Su obra no estuvo excenta de polémicas, incluso al interior del movimiento anarquista español, ejemplo de la cual fueron sus diferencias respecto a la educación planteadas por el teórico anarquista Ricardo Mella.

Como señala Madrid los anarquistas “estaban convencidos de que la revolución no podría triunfar únicamente con la rebelión de los sometidos si antes éstos no se dotaban de los instrumentos necesarios para proceder a su autoorganización. Por este motivo, el movimiento anarquista dedicó una gran parte de su energía a desarrollar una cultura que le era propia; desde la tribuna periodística o la edición de libros y folletos intentaron sacar al trabajador del oscurantismo al que había sido relegado por la Iglesia y el Estado“. Para ello, la educación era también un espacio privilegiado donde se podía desarrollar e inculcar dicha cultura.

Por esto, en 1901 Ferrer crea la Escuela Moderna en Barcelona, que comienza con 30 estudiantes de ambos sexos, cosa poco frecuente en aquella época, en la cual la coeducación era vista con recelo, no solo por la Iglesia Católica. En el día la escuela impartía sus clases, y en la noche se transformaba en escuela de formación para adultos. En su breve vida (1901-1903) la escuela no solo debió enfrentar peresecuciones y prejuicios, sino también dificultades prácticas tales como conseguir maestros/as convencidos de las ideas y pedagogía libertaria, así como libros y materiales que sirvieran para sus propósitos.

Foto: Sala de clases de la Escuela Moderna

Luego de estar preso en más de una ocasión por sus ideas Ferrer fue fusilado en 1909 acusado como instigador de la llamada “Semana trágica“ en Barcelona.

En la actualidad existen algunas iniciativas educativas inspiradas en la pedagogía anarquista -llamada hoy libertaria- como la Escuela Libre Paideia de España. Una interesante sistematización de las vertientes que recoge la pedagogía libertaria hoy se puede leer en el texto del profesor de la Universidad de Sevilla Francisco Cuevas Noa.

Más que pretender abarcar todas las ideas de Ferrer, esto solo intenta ser una modesta invitación a conocer más acerca de su obra y de la pedagogía libertaria en general. No en vano, muchas de estas ideas y experiencias pueden hoy ser un aporte y una mirada vigente con vistas a la transformación de nuestra educación, y por qué no, de nuestra sociedad.

Claudia Drago (El artículo completo con sus textos anexos en: http://peuma.unblog.fr/).

viernes, 26 de junio de 2009

Test de Pensamiento Lateral .....



Aunque viene desde la red, con el tútolo de "test de Alzaimer", yo le he cambiado el título en virtud de que parece acoger preguntas MUY ingeniosas al estilo de lo que es el Pensamiento Lateral ... ello porque no me formo la convicción de que las preguntas que contiene puedas ser indicativas de la existencia de Alzaimer ....

3D Impresionante


Acerca tus ojos a la pantalla más o menos a 5 cms.
(por breves segundos)
de tal forma que coincidan
con las ranuras oculares
del portal 3D (tridimensional).

¿ Qué ves?

Una buena idea .... Calendario Matemático:


Numeración Binaria - Sistema Binario

Historia : El antiguo matemático indio Pingala presentó la que se conoce como la primera descripción de un sistema de numeración tipo binario ya en el siglo III antes de Cristro lo cual fue coincidente con su descubrimiento del cero.
-
El sistema binario tal como modernamnete se lo conoce fue expuesto en su totalidad por el matemático Leibniz, en el siglo XVII. En su ibro "Explication de l'Aritmétique Binaire" utilizó el "0" y el "1" tal cual como se les usa en el sistema binario actual.
-
Entonces, como dijimos, en el sistema binario hay dos cifras: 0 y 1. Y de la misma forma que en el sistema decimal, se usan exponentes para expresar cantidades mayores. A diferencia del sistema decimal, en donde la base es 10, en el sistema binario la base es "2".
-
La representación exponencial es la forma que se utiliza para convertir una cantidad en BINARIO al sistema decimal, veamos ....
-
De Binario a Decimal: Convertir el número binario 10011.01 a decimal: (el punto divide la parte decimal):


-
De Decimal a Binario: Si se desea convertir una cantidad que tiene una parte entera y otra fraccionaria de base 10 a base 2, la parte entera se divide sucesivamente por 2 y los restos resultantes se toman en orden contrario a como se encontraron. la parte fraccionaria se multiplica por 2 y el entero del resulrado conforms la parte fraccionaria en el orden en que fueron encontrados. Veamos un ejemplo:
-
Convertir el número 28.37 en base 10 a Binario:
-

El resultado sería:

Se podría seguir aproximando para determinar más dígitos en la parte fraccionaria y obtener así un resukltado más exacto, sin embargo para ilustrar el procedimiento es suficiente con cuatro dígitos después del punto que separa la parte entera de la parte fraccionaria.

jueves, 25 de junio de 2009

Sistemas de Numeración: Aditivos, Multiplicativos, Posicionales

Sistema Aditivo : es aquel en el cual se suman los valores de todos los símbolos utilizados para representar cantidades para así lograr la cantidad Final-Total. En ellos no importa la posición de las cantidades sino únicamente el signo y su cuantía. Son sistemas pòco prácticos para representar cantidades grandes, muy grandes o muy pequeñas ... Ejemplo: Sistema de Numeración Egipcio.
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Veamos el Egipcio, que tenía el siguiente código (código extractado o reducido):

Note lo importante: si las figuras se cambiaran de lugar, seguiría representándose al 134.

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Sistema Multiplicativo : es una variación del sistema aditivo, en el que se acepta la multiplicación de una cantidad por otra para evitar la repetición de tantos símbolos .... Fíjense que esto fue logrado por el Pueblo-Nación Mapuche (uno de los pueblos originarios que habita lo que hoy es Chile).
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Ellos usaban ORALMENTE las siguientes palabras:
-
1= Kiñe; 2 = Epu ; 10 = mari ; Así, para decir 21, utilizaban:
-
Epu Mari Kiñe = (Epu Mari) Kiñe = (2x10)+1 = 21
-

(Nota 1: También el Sistema de Numeración Romano es Multiplicativo, porque una barra o línea sobre alguno de sus símbolos significa multiplicar por 1.000)

(Nota 2: En este Blog buscar por: cómo contaban los Mapuche)

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Sistema Posicional : Son aquellos donde el valor de cada caracter depende no sólo del propio caracter, sino además de la posición que ocupa en la cantidad representada.

-

Por ejemplo: 4.353 en base decimal (que es posicional), el valor del "3" de la izquierda es diferente del valor del "3" de la derecha. El primero vale solamente 3 y el de la derecha 300.

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Los Sistema Numéricos Posicionales tienen una base y el número de caracteres de un sistema posicional depende de esa base. En sistema Binario la base es 2 y los caracteres válidos son 0 y 1. En el sistema Octal la base es 8 y los caracteres válidos son: 0,1,2,3,4,5,6,7.

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Los sistemas numéricos posicionales más conocidos y utilizados son: el DECIMAL (el más utilizado y conocido), el BINARIO (base 2), el OCTAL(base 8) y el HEXADECIMAL (base 16) ampliamente utilizados en ciencias de la computación o informática.

-

Se cree que los babilonios fueron uno de los primeros pueblos en usar un sistema TIPO posicional, porque tuvieron ciertos problemas para representar el CERO. En su caso usaban por base el 60. Ello se tradujo en nuestro actual sistema para medición de horas, minutos y segundos ....

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Nos orgullece decir que el pueblo MAYA en Abya Yala (América) logró un sistema posicicional COMPLETO (y coherente) pues lograron INVENTAR el cero, con lo cual la cultura Maya hizo un aporte importante para la ciencia. Este sistema tien por base el 20 ...

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En este blog se ha enseñado en un anterior posteo el sistema para numerar en Mayense!

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OJO PIOJO:

EL NÚMERO CERO ES NECESARIO

PARA EL BUEN FUNCIONAMIENTO

DE CUALQUIER SISTEMA POSICIONAL.

Clasificación de Sistemas de Numeración (Aditivos, Multiplicativos, Posicionales)

Acorde al anterior posteo ....

Nota IMPORTANTE:

Cualquier sistema posicional es bueno como sistema de numeración y no hay razón para que uno sea consierado mejor que otro .... Que usemos el sistema decimal se debe al hecho de que en nuestras manos tenemos 10 dedos .... eso condicionó su USO masivamente.

Por qué los sistemas de numeración POSICIONAL deben incluir el CERO

Pensemos en nuestros sistema DECIMAL .... Su base es 10 y eso quiere también decir que tiene 10 signos de representación. En este caso son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ...

Pensemos ficticiamente que carecemos del CERO (0), No hay CERO. No somos tan brillantes como los Maya para inventarlo, todavia ....

Entonces deberemos usar otro signo, estos serán nuestros signos:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, D

En este caso D debiese representar al 10, suponemos ....

Sabemos que un número de dos cifras, XY, debise representar hasta el 99. ¿Cómo hacemos para representar el 100?:

Primera posible representación: 1XY
Segunda posible representación: DZ

En la primera representación, 1XY, si yo le doy algún valor a la X y a la Y, ya dejaría de ser 100. El valor total aumentaría. Y debemos darle valor a X e Y, pero no hay cero!!!!

En la segunda posible representación, el valor de D es 100 = D x 10 (posición decenas), pero debemos darle algún valor a la Z y ya no tendráimos el valor total 100, porque Z no puede ser cero ....

miércoles, 24 de junio de 2009

Saludándonos entre todos y todAs ....

Si nos encontramos en círculo, 15 personas,
¿cuántos saludos entre dos personas hacemos? ¿ SIN REPETIRNOS ?

veámoslo inductivamente (aunque intuitivamente, no como Inducción completa):

Si habemos dos personas ... yo la saludo a ella y ella me saluda a mi, pero hay un sólo saludo que es el mismo ....
(2 personas - 1 saludo)
Si habemos tres personas, estamos como en un triángulo y así
se producen los saludos:


(3 personas - 3 saludos)

o pensémosle así: cada una de las tres personas saluda a las otras 2 que quedan, pero aquí estarían duplicados los saludos, por tanto hay que dividir por 2: 3x2/2 = 3

Un OJO ahora al caso genérico: hay n personas, cada una de ellas saluda a las (n-1), pero como se repiten los saludos hay que dividir por 2 ....


Ojo que la anterior fórmula sirve para los casos anteriores:

2 personas: 2x1/2 = 1 saludo.

3 personas: 3x2/2 0 3 saludos.

Luego, entre 15 personas: 15x14/2 = 105 saludos, para que todos podamosdar besitos a todos y a todas y nadie quede picado!

Banda de Moebius

La banda de Moebius o cinta de Moebius (pronunciado /ˈmøbiʊs/ o en español a menudo "moebius", pero nunca "mobius") es una superficie con una sola cara y un solo borde, o componente de contorno. Tiene la propiedad matemática de ser un objeto no orientable. También es una superficie reglada. Fue co-descubierta en forma independiente por los matemáticos alemanes August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing en 1858.
(Wikipedia)

Moebius Highway

La Cinta de Moebius no sirve para NADA !

(Nota: la imagen, el dibujo es de Wirachez, solamente, la frase es del blogger)


No sé donde leí que intentaban disponer en los aeropuertos: CINTAS de transporte de maletas al estilo de la CINTA de MOEBIUS, para evitar que las cintas transportadoras se gastasen -disparejas- por un sólo lado .... En este caso, para lograr su desgaste por el otro lado se las debe dar vuelta, alternando así las posibilidades ....

Como la Cinta de Moebius tiene un sólo lado, al punto de que una hormiga la recorrería entera, no habiendo "adentro" ni "afuera", la innovación en los aeropuertos impediría el cambio de lado y lograría el desgaste parejo .... INGENIOSO ....

martes, 23 de junio de 2009

Futuro del Blogger

Mi primer intento -modesto- de animar un Teorema Visual ....

FELIZ

FELIZ AÑO NUEVO MAPUCHE !

Uno de olimpiadas ya resuelto, hecho ahora de otra forma ....

Tengo 10 fichas iguales y pintura roja, azul y blanca. Quiero pintar todas las fichas de modo que haya alguna ficha de cada uno de los tres colores. De cuántas maneras puedo hacerlo. Dar todas las posibilidades.

Respuesta:

Pensemos que elegimos una ficha y la pintamos de cada color ... ya tenemos resuelto lo pedido, ahora veamos como ordenar en colores las restantes fichas ....

en la siguiente tabla van todas las posibilidades ....


y como antes son 36 las posibilidades ....

Este jerecicio fue publicado antes bajo el rótulo de "Uno de Olimpiadas - Olimpiada Matemática Ñandú " (Jueves 18 de Junio)

Comó medía el tiempo el Pueblo-Nación Mapuche


A propósito del nuevo año de los Pueblos Indígenas

Unidades de medida de tiempo en el Pueblo Mapuche

A pesar que persiste en la sociedad chilena prejuicios respecto a los reales logros que el pueblo mapuche alcanzó en su grado de conocimiento sobre la astrología, medicina u otras ciencias, al introducirse en ella queda de manifiesto que lo anterior no es así. Entre otras cosas, ellos lograron establecer la definición clara de las unidades de medida de tiempo en sus diferentes etapas, tanto de día como de noche, así como los meses, las estaciones y el año.

Por Elías Paillán C* . Observatorio Ciudadano, domingo 21 de junio de 2009

Diego Barros Arana, historiador chileno que vivió entre los años 1830 y 1907, fue autor del Libro la Historia General de Chile y en ella, refiriéndose a los mapuche, señala:

\"Pero el examen de su vida, de sus costumbres y de su industria los ubica en un rango muy inferior. Los hábitos de ociosidad de la vida salvaje, el adormecimiento constante de aquellas facultades por falta de actividad y de ejercicio, los hacía incapaces de concebir nociones de un orden más elevados que la satisfacción de las necesidades más premiosas de su triste existencia\".

Si bien lo anterior no merece mayor análisis, ha hecho efecto en la mentalidad colectiva de la sociedad chilena, haciendo que muchos piensen que los mapuche no lograron mayor avances, como lo fueron los Mayas, Aztecas o Incas con sus enormes construcciones. Si a lo anterior se suman los despreciados juicios de Sergio Villalobos, al señalar que los mapuche eran flojos, borrachos y cochinos, más se alimenta el grado de intolerancia e ignorancia con resultados nefastos.

Este artículo es solo una muestra de cuán errados son los escritos de los señores antes citados y de los múltiples conocimientos de la cultura mapuche. Los mapuche en su relación con la naturaleza lograron establecer unidades de medida de tiempo, de tal forma de organizarse para el trabajo y el descanso, los ritos religiosos y las fiestas, el cultivo de la tierra, la castración de animales, la caza o los quehaceres cotidianos. Todo era parte de un ordenamiento de acuerdo a una específica temporalidad.

En este sentido, el concepto más cercano a la idea del transcurso del tiempo es “rvpan antv”, que hace referencia al paso de los días, producto del “waidvf mapu” o movimiento de la tierra o rotación. Así el día y la noche, también tienen sus medidas de tiempo.
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Unidades del día
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Respecto al día, el pueblo mapuche logró descifrarlo en nueve fases: el “Wvn” o amanecer, que es cuando las estrellas dejan de brillar y el sol está por aparecer; el “xipan antv”, cuando sale el sol y empieza a asomarse entre las montañas y los árboles, el “Liwen”, que se incia por la mañana temprano cuando el sol llega a unos tres cuartos de su avance; le sigue el “pvran antv”, cuando el sol avanza notoriamente hasta que se ubica en forma vertical; “Ragi antv” medio día, justo cuando el sol está sobre nuestras cabezas en forma vertical.

Pasado el mediodía, y siguiendo con las fases del día, se definió el “rvpai ragin antv”, que comienza cuando el sol deja su posición vertical hasta la primera cuarta, antes de que el sol vaya bajando. Posteriormente se da paso al “Amun antv”, que es el avance del sol, momento en que este ya recorrió la primera cuarta parte después del medio día hasta que es notorio el comienzo de la caída del sol. La penúltima etapa del día es el “nag antv” o bajada del sol, que va desde el momento en que el sol baja notoriamente hasta antes que se pierde en el horizonte o el mar. Finalmente el “koni o kon antv” o entrada del sol, cuando el astro comienza a desaparecer en el horizonte o en el mar.
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Unidades de la noche
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El mapuche también logró estudiar las unidades de la noche, descubriendo siete fases. La primera es el “Xafia” o anochecer, que comienza con el sol ya perdido en el horizonte, aunque todavía se observa su luz, y termina cuando ésta se ha perdido complemente y se oscurece (los lafkenches llaman a la entrada de la noche “zumzumi”). El “Pun” o la noche, desde que oscurece hasta que comienza a amanecer. “Ragi pun” o la mitad de la noche. El “Alv pun”, desde pasada la media noche, hasta antes del momento de mayor oscuridad. El “Kurvwuntu” o negrura, que es el momento de mayor oscuridad y anuncia que luego amanecerá y finalmente el “epe wvn”, antes del amanecer.
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Unidad de la luna
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Así como descifró el día y la noche en sus diferentes etapas, el mapuche ideó su calendario de acuerdo a una constante observación de la luna y sus efectos en la naturaleza y en las personas. Concluyó que “kiñe kvyen” o una luna (o un mes), tiene 28 días, aunque hay otros que tiene 26 y algunos 27. El Kvyen tiene cuatro fases: “We kvyen”, luna nueva; “Apoy pvrapan kvyen”, luna creciente; “Apoy kvyen”, luna llena y “Nag kvyen” o luna menguante.

Las fases de la luna indican el tiempo preciso para el cultivo de la tierra, las cosechas, la tala de árboles, el tratamiento de los animales, matrimonios, etc. Debido a que la luna se demora aproximadamente 28 días en dar vuelta la tierra, son trece los meses del año en el calendario mapuche y no 12 como en el gregoriano.

Finalmente hay que agregar las cuatro unidades de tiempo correspondiente a las estaciones del ciclo completo o xipantu. Estos son: el pukem, tiempo de lluvias; pewv, tiempo de brotes; walvg, tiempo de sol o cosecha y el rimv tiempo de descanso de la tierra.
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Nuestros deseos
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Esperamos que tras la llegada de un nuevo año en los pueblos indígenas, este traiga nuevas energías para afrontar los múltiples desafíos que como mapuche y todos los pueblos originarios tenemos. Que la justicia se imponga frente a tantos atropellos de que somos objeto constantemente. Que los integrantes de estos pueblos seamos capaces de re-articularnos como sociedad, como movimiento en un nexo de unidad inquebrantable, pero respetando nuestros grados de autonomía interna, que es lo que nos ha llevado a existir y no ser extinguidos.

Del mismo modo, nuestros deseos son para que las autoridades políticas de los estados nacionales, especialmente de Chile y Argentina, reconozcan los conocimientos, valores y derechos del pueblo mapuche y todos los pueblos originarios. De esa manera desterrar los prejuicios, errores y horrores escritos por Barros Arana, Villalobos y tantos otros autores que han tergiversado y minimizado la riqueza cultural mapuche. Dicho reconocimiento contribuiría inmensamente a conformar una sociedad mucho más respetuosa, justa, armónica e igualitaria.

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* Periodista, Comunicador Social, artículo escrito en junio de 2006

Comparando "Cuadrado de Binomio" con "Teorema del Binomio"

Veamos un ejercicio sencillo en términos de su longitud ...
comparemos el término del medio, el segundo término, utilizando el producto notable "CUADRADO de BINOMIO" y el Teorema del Binomio, onra de Newton ....

Veamos un ejemplo sencillo,

a) Primero usando el Producto Notable:

b) Usemos el teorema binomial:

Newton Isaac - Minibiografías



Fue un físico y matemático que estableció la ley de gravitación universal y las leyes de la mecánica clásica, además de los resultados que obtuvo al estudiar la naturaleza de la luz y la óptica. En matemáticas desarrolló el cálculo diferencial e integral, además del llamado terema del binomio. La obra más importante de Newton es philosophiae Naturalis Principai Mathemática.
VIEJUJOs PITUCOS SABIAN DE MATEMÁTICAS ....

Von Leibniz Gottfried Wilhelm - Minibiografías de Matemáticos

HISTORIA:

Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716): Fue un filósofo, matemático, juriosta y político alemán que nació en Leipzig y que en el área de las matemáticas descubrió el cálculo infinitesimal, independientemente de Newton, e inventó el sistema de numeración binario en que se bansan casi todas las arquitecturas de computación actuales.

Señores encopetados y mOñudos sabían de matemáticas !

jueves, 18 de junio de 2009

Rostros x la ESPERANZA - Patagonia sin Represas

Y si me preguntan, ¿Por qué incluyo estos videos en este blog?

Yo digo:

porque NO puedo dejar de ser lo que soy,

cuando enseño matemáticas !!!!!

Humor MATEMATICO del bueno ....

Un astrofísico, un físico experimental, un físico teórico y un matemático van en tren por Escocia. En lo alto de una loma divisan una oveja negra pastando.
El astrofísico dice: “¡Eh! ¡Las ovejas en Escocia son negras!”.
El físico experimental le mira con cara de compasión y dice “Querrás decir que en Escocia algunas ovejas son negras”.
El físico teórico arquea las cejas y dice “Es más correcto decir que al menos una oveja es negra en Escocia”.
El matemático, mirando al cielo como solicitando ayuda, recita “En Escocia existe al menos un prado que contiene al menos una oveja que es negra al menos por uno de sus lados”.

¿ Sabías qué .... (Tomado de Gaussianos)

…las palabras algoritmo y guarismo se las debemos al matemático árabe al-Jwārizmī (en español al-Juarismi)? ¿Y que la palabra álgebra deriva del nombre de su obra más importante?

Muḥammad ibn Mūsā al-Jwārizmī (Abu Yā’far) (Mohamed, hijo de Moisés, padre de Jafar, el de Jwārizm) vivió a finales del primer milenio de nuestra era. No se sabe mucho sobre su biografía, aunque sí sabemos que fue el matemático más grande de su época. Se le considera el padre del álgebra (la propia palabra álgebra deriva de su gran obra Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala) y el que introdujo nuestro sistema de numeración.
Gracias MaLyS.

Traduciendo .... (Tomado de Gaussianos)

Los matemáticos son como los franceses: se les diga lo que se les diga, ellos lo traducen a su lengua y, desde ese momento, se trata de algo diferente.
-
Johann Wolfgang von Goethe
INFINITUM. Citas matemáticas

Una curiosidad .... (Tomada de Gaussianos)

…el menor número primo palindrómico
(se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda)
y pandigital
(contiene todos los números del 1 al 9)
es:
1023456987896543201

¿Qué es una Conjetura? (Santillana, Tercero Medio)

Observa la siguiente curiosidad matemática:

PREGUNTAS:

a) ¿Cuál sería la siguiente igualdad?

Fíjense que está cada vez un número (2) , luego el que le viene (3), luego su multiplicación (2x3=6) y leugo el que viene de la multplicación (6+1),
o sea debiese venir el:
Y efectivamente esto se cumple: 25 + 36 + 900 = 961
y si buscamos el siguiente ejemplo también se cumple ....

b) ¿Será una conjetura o es posible demostrar esta propiedad?
Habría que demostrarlo para que deje de ser una conjetura. Eso se ve en el siguiente desarrollo algebraico:


son iguales
la propiedad se cumple!

CONJETURA según WIKIPEDIA:
===========================

Por conjetura (del latín coniectūra) se entiende el juicio que se forma (moral, ético o matemático) de las cosas o sucesos por indicios y observaciones. En la Matemática, el concepto de conjetura se refiere a una afirmación que se supone cierta, pero que no ha sido probada ni refutada hasta la fecha. Una vez se demuestra la veracidad de una conjetura, esta pasa a ser considerada un teorema de pleno derecho y puede utilizarse como tal para construir otras demostraciones formales.

Desde el Libro ELEMENTOS de Euclides

En su famoso libros "ELEMENTOS", Euclides nos da el siguiente protocolo para construir geométricamente el número de Oro:

1) Dibuje el segmento unitario ab (de longitud uno).
2) Perpendicular a ab en "a", trace otro segmento unitario ac.
3) Usando "O" como centro, siendo "O" el punto medio de ac, se traza una circunferencia que tenga por radio oa.
4) Luego, se une b con "O", prolongando más allá de "O" hasta cortar la circunferencia en "d".

¿Por qué Euclides asegura que el segmento bd es el número de oro?


NO OLVIDAR que el número de oro es:

Desafío PSU - Santillana

En la figura, los triángulos ABC y ACD son rectángulos. Además, AB=BC=CD=1 y A tiene suposición en cero en la recta numérica. Si el arco DP tiene centro en A, ¿Cuál es la posición de P?
escaneando la resolución ....

Buscar un contraejemplo ....

Busca un contraejemplo para la afirmación: "la expresión


es siempre un número primo".
=====================

Ojo que se cumple en algunos casos fácilmente comprobables,
cuando n=0, se produce el número primo 17.
cuando n=1, se produce el número primo 19.
cuando n=2, se produce el número primo 23. .... y así, siempre?

Ver la respuesta en los comentarios.

Uno de Olimpiadas - Olimpiada Matemática Ñandú

Tengo 10 fichas iguales y pintura roja, azul y blanca. Quiero pintar todas las fichas de modo que haya alguna ficha de cada uno de los tres colores. De cuántas maneras puedo hacerlo. Dar todas las posibilidades.

Respuesta:
Por lo tanto hay 36 combinaciones posibles ...

Y es aquí donde los matemáticos se les ocurren otros problemas .... en el marco de las 36 combinciones: cúal es la probabilidad de sacar una combinación en que el número de fichas con cada pintura sea par?

miércoles, 17 de junio de 2009

Desafío PSU - Santillana 1

Determinar la recta
que pasa por el punto (0,3) y cuyo ángulo de inclinación es 60 º.

Respuesta:

Usaremos la ecuación PUNTO-PENDIENTE, esto quiere decir que construiremos la ecuación de la recta teniendo en cuenta dos datos: un punto por el que pasa y la pendiente.

Su fórmula es:
y-y1 = m (x-x1)

donde m es la pendiente y (x1,y1) es el punto conocido por el que pasa la recta.

El punto por el que pasa está dado: (0,3) = (x1,y1)

m = Tangente (del ángulo de inclinación) ....

Desafío PSU - Santillana 2

El valor de la expresión:es:

A) 1
B) 5/2
C) 0
D) 7/2
E) Ninguna de las anteriores.

Respuesta:

Fórmula de Baskara, ¿Cómo se deduce?

Es la fórmula de Baskara, que nos sirve para encontrar las raíces de una ecuación de segundo grado ....

Pero cómo se deduce?

La idea central es dejar al lado izquierdo los términos en x y luego con ellos completar el cuadrado de Binomio .... para ello se deberá sumar el cuadrado de la mitad del término que acompaña a la "x" .... veamos:

lo que finalmente queda:


Ojo que son dos las soluciones, dadas por el doble signo +/-

y Quién era Baskara? (Wikipedia)

Bhaskara (1114-1185), también conocido como Bhaskara II y Bhaskara Achārya ("Bhaskara el profesor"), fue un matemático-astrónomo indio. Nació cerca de Bijjada Bida (hoy en día el distrito de Bijapur, estado de Karnataka, India del Sur) y se convirtió jefe del observatorio astronómico de Ujjain, continuando la tradición matemática de Varahamihira y Brahmagupta.
Bhaskara representa el pico del conocimiento matemático y astronómico en el siglo XII. Alcanzó un conocimiento de cálculo, astronomía, los sistemas de numeración y la resolución de ecuaciones, que no había sido alcanzado en ninguna parte del mundo durante varios siglos o más. Sus principales trabajos fueron el Lilavati (sobre aritmética), Bijaganita (Álgebra) y Siddhanta Shiromani (escrito en 1150) que consiste de dos partes: Goladhyaya (esfera) y Grahaganita (matemáticas de los planetas).

Gauss, el teorema de Pitágoras y los extraterrestres.


Gauss sugirió, en el siglo XIX, preparar en Siberia una gigantesca figura con el diagrama de la demostración euclídea del teorema de Pitágoras para que los alienígenas habitantes de la Luna o Marte lo pudieran ver con sus telescopios y dedujesen por él la existencia de seres inteligentes aquí en la Tierra.

Este proyecto fue citado por Jules Verne en su De la Terre à la Lune.

Un siglo después el escritor Pierre Boulle utilizaría esta idea de manera similar: el diagrama de la derecha es el medio que elige Ulises Mérou, el protagonista humano de El planeta de los simios, para mostrar su inteligencia a la chimpancé Zira.


(Tomado de Epsilones)

Dónde está el error? (Tomado de Epsilones)

"...los restos estaban esparcidos en un radio de un kilómetro cuadrado"
Federico Trillo, Ministro de Defensa español,
en una comisión del Congreso
el 4-6-2003.

Etno-Matemáticas - Tomado de Viaje a Ítaca con Manolí



(Extracto) .... La genial Manolí nos desafía a explorar en torno a lo que se ha llamado Etnomatemáticas .....

ETNOMATEMÁTICA, término que Ubiratan D'Ambrosio utiliza para describir las prácticas matemáticas de diferentes grupos culturales.

Por otra parte, Ron Eglash es un matemático que se define a sí mismo como etno-matemático, y es el autor de African Fractals, un libro que examina patrones de fractales en la arquitectura, el arte y el diseño de muchas partes de Africa. Por simple observación de fotos aereas y una posterior investigación descubrió que muchas ciudades africanas contenian estructuras fractales.
Desde la arquitectura de sus aldeas al peinado de sus mujeres y sus mantas nupciales; en tanto que, la cultura europea y americana responden mayormente a la concepción euclidiana.

Al respecto deja un libro y unos enlaces de Ron Eglash:

http://books.google.es/books?id=1t7KaHjLBA8C&printsec=frontcover&dq=africa+fractal
http://www.csdt.rpi.edu/african/African_Fractals/culture2.html
http://www.ccd.rpi.edu/Eglash/cbp/etno.htm
http://www.ted.com/talks/lang/eng/ron_eglash_on_african_fractals.html

Blog para ANTI- matemáticos

Este es un blog de divulgación de matemáticas... escrito por no matemáticos.

¿Es eso intrusismo? ¿Es eso un atrevimiento? ¿Es eso posible? A nosotros --periodistas especializados en ciencia- nos parece injusto que los matemáticos se queden con toda la diversión. Sí, las matemáticas son complejas. Pero se puede entrever de qué van y disfrutar con su belleza sin saber hacer integrales. Hablaremos de arte, de evolución, de música, de cotilleos, de fútbol... Nos preguntaremos si hay que enseñar matemáticas en el cole -¡hay quien piensa que NO!-, y por qué algo que en unos levanta pasiones, en otros muchos genera rechazo. Y que nadie se preocupe por el rigor: los responsables de i-MATH nos echan el ojo.

http://blog.i-math.org/

GRIPE A: ¿Susto (importante) o devastadora pandemia? Las matemáticas buscan la respuesta.

La pregunta del millón ahora mismo es ¿Qué pasará con la gripe A? ¿Se convertirá en una pandemia devastadora o se quedará en un importante susto? También podría ser un aviso: la gran epidemia de 1918, que mató a 70 millones de personas, estuvo precedida por una oleada más suave, unos meses antes. La única manera de responder a estas preguntas, o al menos de intentarlo, es recurrir a modelos. Matemáticos españoles que trabajan en modelización de epidemias admiten que el poder predictivo de estas herramientas es aún bajo. Pero el avance es rápido. Lo mismo que el conocimiento sobre los números que definen la actual epidemia de gripe A.

Joan Saldaña, biólogo y matemático de la Universidad de Girona que trabaja en modelización de epidemias, señala al brote de 2003 de una nueva neumonía, el SARS, como el estreno de la ‘era moderna’ de los modelos matemáticos para epidemiología a gran escala. Las predicciones ‘tradicionales’ en esa ocasión fallaron bastante –se dijo que la epidemia de SARS sería más grave de lo que fue-, y fue entonces cuando entró en juego una nueva herramienta matemática más sofisticada, el estudio de las redes complejas, que sí produjo estimaciones más acertadas.

Los modelos basados en redes complejas usan parámetros no sólo de la propia enfermedad, sino de la sociedad en que ésta se manifiesta. El punto de partida es una obviedad: no es lo mismo un brote de Ébola en un poblado aislado en África que uno de gripe aviar en el superpoblado sureste asiático. Pero lo difícil es afinar: definir la estructura social en México y compararla con la de Madrid o Nueva York. ¿Qué medios de transporte usa la gente cada mañana? ¿Se compra en comercio local, o en grandes centros comerciales? Son parámetros complejos de medir, y además hay que tener en cuenta ‘sorpresas’ -¿y si durante el brote de Ébola hay un antropólogo en el poblado que a las pocas horas de infectarse vuela a Nueva York?-. Todo esto hace que los modelos, por ahora, no puedan predecir bien la evolución de una pandemia. “Más bien pasa como en la economía, que explican a posteriori por qué pasa lo que pasa”, dice Saldaña.

Sin embargo los modelos sí que resultan ya muy útiles a la hora de decidir qué medidas de contención de una epidemia. “Los modelos en epidemiología sí son de gran importancia para el estudio del impacto de distintas medidas que se pueden aplicar para el control de la epidemia (cuarentenas, estrategias de vacunación, etc.)”, señala Saldaña.

En cualquier caso el SARS demostró que, si se quiere mejorar los modelos, hay que incluir variables demográficas. Mientras tanto, es fundamental concentrarse en conocer mejor los números que ‘definen’ la propia epidemia. En el caso de la actual, estos son algunos.
Los números de una epidemia

El ‘número básico reproductivo’, o R0, es el número de nuevos casos a los que dará lugar cada persona infectada. Las estimaciones preliminares de expertos a ambos lados del Atlántico coinciden en general. Ira Longini, epidemiólogo de la Universidad de Washington citado en Nature (7 de Mayo de 2009), se ha basado en datos de un brote en un colegio de Nueva York para dar un R0 de 1,4. Y el 11 de Mayo se publicó en Science un trabajo dirigido por el matemático Neil Ferguson, director del centro de modelización epidemiológica del Imperial College London, concluyendo que cada persona con gripe A podría contagiar a entre 1,2 y 1,6. Es un número inferior al de epidemias pasadas de gripe (el R0 de la gripe de 1918 se ha estimado en menos de 4). Otro número clave es la tasa de mortalidad. Hay aún pocos datos de todo el mundo para tener una buena estimación. Además en México, donde más casos se han dado, los datos no se consideran fiables. Pero en principio los expertos dan una tasa de mortalidad de 0,4%, que podría oscilar entre el 0,3% y el 1,5%. Es inferior a la de la gripe de 1918.

El tiempo de incubación, antes de que un infectado empiece a infectar a otros, también es importante. En el ‘News’ de Nature se da una estimación de entre 3 y 5 días, probablemente más cerca de 3. Cuanto mayor sea R0, y más bajo el tiempo de incubación, más rápido se propaga la enfermedad y más difícil es de controlar.
Otros parámetros importantes son la vía de transmisión y saber si una parte de la población se contagia más fácilmente. En esto último la gripe A es aún un misterio, dice en Nature Stephen Morse, epidemiólogo de la Universidad de Columbia, en Nueva York (EEUU), pero al menos hasta el 4 de Mayo el 62% de casos en EEUU eran en menores de 18 años. “Una mayor virulencia entre adultos jóvenes podría implicar un recrudecimiento de la epidemia”, afirma Morse.

A la luz de los datos de que ya se dispone, Ferguson (Imperial College London), dice que la gripe A “ha estado siguiendo hasta ahora un patrón muy similar al de la pandemia de gripe de 1957, en cuanto a la proporción de población que se está infectando y el porcentaje de casos potencialmente fatales (...) Lo que vemos no es lo mismo que la gripe estacional y aún hay motivos para la preocupación –esperamos que esta pandemia al menos duplique la carga sobre nuestros sistemas sanitarios-. Sin embargo, esta modelización inicial sugiere que el virus H1N1 no se transmite tan fácilmente ni es tan letal como la pandemia de 1918”. Sólo queda esperar que los modelos no se equivoquen.
(Tomado del Blog para ANTI-Matemáticos, relativo a I-Math)

Cortes Horizontales


Interesante promoción de libros relacionados con las mates

martes, 16 de junio de 2009

Enseñar a pensar ....

Enseñar a pensar
escena de la película Lugares comunes de Adolfo Aristarain (2001)

Última clase de Fernando Robles (Federico Luppi),
profesor universitario que se dirige a sus alumnos,
futuros maestros, tras serle notificada la jubilación forzosa ...

"Me preocupa que tengan siempre presente que enseñar quiere decir mostrar. Mostrar no es adoctrinar, es dar información pero dando también, enseñando también, el método para entender, analizar, razonar y cuestionar esa información.

Si alguno de ustedes es un deficiente mental y cree en verdades reveladas, en dogmas religiosos o en doctrinas políticas sería saludable que se dedicara a predicar en un templo o desde una tribuna.

Si por desgracia siguen en esto, traten de dejar las supersticiones en el pasillo, antes de entrar al aula. No obliguen a sus alumnos a estudiar de memoria, eso no sirve. Lo que se impone por la fuerza es rechazado y en poco tiempo se olvida. Ningún chico será mejor persona por saber de memoria el año en que nació Cervantes. Pónganse como meta enseñar a PENSAR, que duden, que se hagan preguntas. No los valoren por sus respuestas. Las respuestas no son la verdad, buscan una verdad que siempre será relativa.

Las mejores preguntas son las que se vienen repitiendo desde los filósofos griegos. Muchas son ya lugares comunes, pero no pierden vigencia: qué, cómo, dónde, cuándo, por qué. Si en esto admitimos, también, eso de que "la meta es el camino", como respuesta no nos sirve. Describe la tragedia de la vida, pero no la explica.

Hay una misión o un mandato que quiero que cumplan. Es una misión que nadie les ha encomendado, pero que yo espero que ustedes, como maestros, se la impongan a sí mismos: despierten en sus alumnos el dolor de la LUCIDEZ. Si límites. Sin piedad".

Fractales irregulares en la naturaleza TORMENTOSA de estos días en Chile


Problema MARAVILLOSO - Probabilidades Santillana 3ro. Medio

Tomado de Educación Matemática 3ro. Medio
Editorial Santillana
Página 220.
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Se tienen 3 bolsas, llamadas B1, B2 y B3. Cada una contiene n bolas numeradas por 1,2,3,4, ...., n.
Se extrae al azar una bola de cada bolsa; sean x, y, z los numeros de las bolas extraídas de B1, B2 y B3 respectivamente. Calcula la probabilidad de que x+y = z.


Respuesta:

La verdad es que este ejercicio me pareción desde un comienzo bien complicado. Incluso miré la respuesta y debo reconocer que desde ella construí mi propio camino de solución .... Veamos la respuesta:



¿Se te ocurre algo o te aporta más incertidumbre?

Pero a partir de ella, hice lo siguiente:

CASO Primero (n=3): Pensé en un primer caso, en que en cada una de las bolsas hubiese 3 bolas numeradas del 1 al 3, en este caso n=3.

POR EL PRINCIPIO MULTIPLICATIVO, LA TOTAL POSIBILIDAD DE COMBINACIONES ES 3X3X3 = 27 = 3 al cubo, porque de cada bolsa puedo sacar exactamente cada una de las tres bolas ....

En este caso, nos sirve que en la tercera bolsa se saque el 2 o el 3, porque si saliese el uno, no hay posibilidad de sumar 1 con dos bolas, una de cada unas d4e las dos primeras bolsas .... veamos gráficamente: Y en la gráfica, se cumple la fórmula que han dado ....

CASO Segundo (n=4): Luego pensé en el caso de que cada una de las bolsas tubiese cuatro bolas numeradas del 1 al 4. n=4.

En este caso, las posibilidades totales son 4x4x4 (acorde al principio multiplicativo) pues de cada bolsa se pueden sacar 4 bolas. Veamos gráficamente:


CASO Tercero (n=5): Finalmente pensé en que cada una de las bolsas tubiese 5 bolas numeradas del 1 al 5. n=5


De forma similar:

Suman 5: (1+4) (2+3) (3+2) (4+1) : 4 casos favorables ...
Suman 4: (1+3) (2+2) (3+1) : 3 casos favorables ...
Suman 3: (1+2) (2+1) : 2 casos favorables ...
Suman 2: (1+1) : 1 caso favorable ...

(Recordamos que no nos sirve decir: que sumen 1 .... porque dos bolas, con número mínimo uno, NO pueden sumar 1)


Hay, para n=5, (4+3+2+1) casos favorables ....


Extrapolando para n, hay (n-1)+ (n-2)+ ...... 5+ 4+ 3+ 2+ 1 casos favorables, para n x n x n casos totales ....


Luego, la probabilidad pedida para n bolas en casa saco es:

Para ello debemos recordar previamente que al sumas de 1 a n,
1+2+3+4+5+6+.....+(n-1) + n = {n x (n+1)}/2
Por tanto al sumae sólo hasta (n -1):
1+2+3+4+5+6+....+(n -1) = {(n -1) x n }/2, entonces:


Felicitaciones !