Variable Aleatoria - 2do. Medio

Qué es una Variable Aleatoria ?

¿ Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (o son) falsa(s) ?

I) Una variable discreta es aquella que toma infinitos valores.
II) Una muestra de una población no se debe escoger al azar.
III) Una variable continua es aquella que toma un conjunto finito de valores.

A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II, III

Solución:

Vamos a analizar cada una de las tres proposiciones:

Análisis de I) Una Variable Aleatoria Discreta es aquella que puede tomar solo un número limitado de valores numerables. De otra forma, se dice que una variable es discreta, si su recorrido es discreto, lo que se contradice con "tomar infinitos valores". Esta proposición es FALSA.

Análisis de II) Si no se escoge al azar, habrá un criterio de elección que hace que la muestra esté sesgada en torno a ese criterio. Una muestra, para ser VERDADERAMENTE REPRESENTATIVA, DEBE ser al azar.Imaginemos preguntar por una candidatura presidencial en un sólo estrato social, esto sesgaría la muestra y NO lograría ser verdaderamente representativa.Esta proposición es FALSA!

Análisis de III) Una variable aleatoria continua es aquella que puede tomat cualquier valor dentro de un intervalo dado de valores no numerables. Dicho de otro modo, el conjunto de valores de la variable abarca todo un intervalo de números reales. Para el caso de la estatura, que es una variable continua por ejemplo entre 0 y 2,5 metros (por poner dos cotas)- las estaturas posibles que se pueden escoger en este intervalo son infinitas. Esto contradice lo de "toma un conjunto finito de valores". Esta proposición es FALSA!

I) , II) , III) son FALSAS, Alternativa E)

Variable Aleatoria - Gráfico de frecuencia de una Variable Aleatoria

Curriculum chileno:
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: III. Estadística y Probabilidad.
CMO: a. Variable Aleatoria: estudio y experimentación en casos concretos. Gráfico de frecuencia de una variable aleatoria a partir de un experimento estadístico.
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VARIABLE ALEATORIA:

Sea S el espacio muestral de un experimento. La asignación de valores numéricos a los sucesos elementales de S, se denomina variable aleatoria.

Ejemplo: Se lanza un par de dados equilibrados. El espacio muestral S conformado por 36 pares ordenados (a,b) donde a y b pueden ser cualquier enetro entre 1 y 6 (incluídos), es decir:

S= { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}

Construiremos dos variables aleatorias: X e Y de la siguiente forma:

X asigna a cada suceso elemental (a,b) el máximos de sus números.

X(1,1)=1; X(5,6)=6
Por tanto el recorrido de X: Rx= {1,2,3,4,5,6}

Y asigna a cada suceso elemental (a,b) la suma de sus números.

Y(2,3)=5; Y(6,1)=7
Por tanto el recorrido de Y: Ry={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}

Estudio de un caso concreto:

Si al lanzar dos veces una moneda contamos el número de caras que aparecen, estamos asociando a cada resultado posible del experimento un único número: al resultado SS le asociamos el cero; a los resultados CS y SC el valor 1; al resultado CC le sociamos el valor 2. De este modo hemos definido una variable aleatoria (Z) cuyos posibles resultados son 0,1 y 2.

Observamos que:

P(Z=0) = 1/4

P(Z=1) = 2/4

P(Z=2) = 1/4

Además, P(Z=0) + P(Z=1) + P(Z=2)= 1

Lo que se generaliza para cada suma de cada uno y todas las probabilidades de los sucesos elementales, en cualquier variable aleatoria.

GRAFICO de la Variable Aleatoria:

Veamos el gráfico de la variable aleatoria anterior:

Distribución Binomial, rudimentos

DISTRIBUCION BINOMIAL:

1) Es la distribución de variable Aleatoria DISCRETA más utilizada.

ACLARANDO ALGUNOS TERMINOS:

2) Variable Aleatoria: Obtenemos una variable aleatoria si a cada suceso elemental de un experimento aleatorio le asociamos un único valor numérico.

3) Distribución de variable DISCRETA: Si los posibles valores de la Variable Aleatoria son sólo números enteros decimos que se trata de una Variable Aleatoria Discreta. Si el conjunto de posibles valores de la variable aleatoria corresponde a un intervalo de números reales, decimos que es una Variable Aleatoria Continua.

4) La Binomial está asociada a fenómenos aleatorios con dos únicos resultados posibles.

Ejemplos:

a) Sacar Cara o Cruz (Cara o Sello)

b) Género de los integrantes de un grupo (Hombre o Mujer)

5) PROPIEDADES de la Binomial:

a) Se realizan n ensayos o repeticiones, cada uno con dos únicas posibilidades de éxito o fracaso (E o F).

b) Probabilidad de Exito: P(E) = p

c) Probabilidad de Fracaso: P(F) = q = 1 - p

d) X : Variable Aleatoria Binomial que da el número de éxitos en n ensayos.

X se conoce como Binomial B (n , p)

Entonces:
Veamos un ejemplo, para aclarar esta distribución:

Observemos un experimento aleatorio que consiste en lanzar una moenada 25 veces y anotar el número de caras obtenidas.

Este experimento se rige por una Binomial B(25 , 0,5): n = 25; p= 0,5; q = 1-p=0,5

PREGUNTA: ¿Cuál es la probabilidad de que salgan 7 caras, al lanzar 25 veces la moneda?