Me mandaron a preguntar por un problema ya resuelto en este blog, pero es tan bello que lo pongo nuevamente ...

Problema:

Solución Rápida: El truco es descomponer el área del cuadrado mayor y la del cuadrado achurado en pequeños triángulos congruentes, en 2o de ellos:

Nota: si hace doble click en la figura se puede ver mejor !!!!!

Y resolviéndole por el camino carretero o más largo: (Si la imagen es muy pequeña puedes hacer doble click en ella y eso te lleva a su tamaño original):

Demostrar que: "Las áreas de los triángulos semejantes son entre sí como los cuadrados de dos lados homólogos"

Por demostrar:

"Las áreas de los triángulos semejantes son entre sí como los cuadrados de dos lados homólogos"

Hipótesis (los datos dados):



Tesis (lo que se quiere demostrar):



Demostración (Proceso por el cual podremos asegurar la veracidad de la tesis):


Marcamos las alturas en ambos triángulos:



Luego, se puede facilmente establecer que los triángulos CDB y C'D'B' son semejantes (por AA)puesto que ambos poseen 2 ángulos iguales:


1) Los ángulos rectos de las alturas son obviamente iguales.
2) Los ángulos DBC y D'B'C' son iguales por ser ambos triángulos semejantes.


Luego, si son semejantes:

Trabajando un poco:

Queda enteramente demostrado (q.e.d.)

Un problema olímpico ....

El cuadrado PQRS de lado 1 m y el círculo de radio 1 m de la figura, tienen el mismo centro.

¿Cuál es, en m^2 (metros cuadrados), el área de la región sombreada?

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NOTA: la resolución que muestro a continuación

es errónea!

Esto me lo ayudó a entender Manolí, del maravilloso BLOG: Viaje a Ítaca con Manolí

ver: httpp://viajeaitacaconmanoli.blogspot.com

(linkeado en este blog como uno de mis favoritos)

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¿Por qué dejo esta publicación aún estando incorrecta?

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1) Porque es bueno equivocarse y reconocerlo.

2) Porque los profesores a menudo nos equivocamos.

3) Porque uno puede aprender de otros y otras.

4) Porque es necesario activar la solidaridad entre pares.

5) Porque no hay que temerle al error, que de allí se aprende mucho.

6) Porque es bueno socializar caminos, que incluyen errores, porque así otros aprenden también.

7) Porque esto ayuda a enfrentar egos equívocos, si los hubiese!

8) Porque quiero ser un maestro humano .... y sé que en esto hay un Viaje a Ítaca, donde lo que importa es el proceso !!!!!

Nota: mi solución (comprobadamente errrónea) incluye el uso de otra nomenclatura.

Plan de TRABAJO:

Plan:

Elementos necesarios:

* Debo saber calcular la altura de un triángulo equilátero y su área, dado su lado.

* Saber calcular la potencia de un punto al interior de un círculo.

Elementos:

GH: diámetro

CI = raiz de 2 (diagonal de cuadrado unitario)

CO = CI/2

CG = 1-CO = 1- raiz de 2

CH = raiz de 2 + 1-(raiz de 2)/2

Como IKCD es cudrado, entonces si FC=KJ=x

FJ= FC + Ck + KJ = x+1+x=1+2x

1) Por Potencia de un punto calculo x

de la ecuación que me resulta, saco que x sólo puede ser (raiz de (3)) - 1

la otra resultante es negativa, no sirve.

2) Cálculo del segmento EF (OJO 1)

3) Cálculo del área de la sección relativa al trazo ED (OJO 2) = a

4) Area pedida = 8 x a

RESPUESTA (errónea):

¿Qué les parece lo que he hecho?

Haz doble click en la figura para verla más grande ....

(chutas, no me resultó! .... espero que a uds. sì)

Respuesta:

La resolución CORRECTA

viene a continuación y fue tomada del blog de Manolí en base a la siguinete figura. Nótese que ella elegantemente aprovecha las similitudes que hay producto de la partición dada por las rectas en juego. Veamos primero la figura: Ahora miremos y designemos con letras las figuras y sus repeticiones regulares:

Y ahora establecemos una ecuación:

Y ahora la corrección de mi resolución anterior... el error consistió en resolver equívocamente la ecuación de segundo grado y luego en ponderar equívocamente el área final ....

Ahora coincidimos en solución con Manolí .....

PSU - DEMRE 2009 - 22

22. En la figura, si ABCD es un rectángulo, entonces el área de la región achurada se expresa como:

A) x(z-y)
B) x(y-z)
C) xz
D) xy/2
E) x(z+y)/3

Respuesta: Alternativa B)

Desafío Olímpico 1 (Enseñanza Media)

En el triángulo ABC, AB = 1, BC=2 y el ángulo ABC es de 72º.

Se rota el triángulo ABC en el sentido de las manecillas del reloj fijando el vértice B, obteniéndose el triángulo A'BC'.

Si A, B, C' son colineales (estar en una misma línea) y el arco AA' es el descrito por A durante su rotación, ¿Cuánto vale el área sombreada?

Alternativas:

Respuesta: Ya vendrá ....

Parece que la correcta es la C)

Cuadrados cuadradosos !!!!

La figura muestra 7 cuadrados. El cuadrado X es el mayor, e Y el más pequeño. ¿ En cuántos cuadrados Y puede ser dividido el cuadrado X ?

A) 16
B) 25
C) 36
D) 49
E) Es imposible.

Desafío PSU - Preu. P. de Valdivia

En el triángulo ABC, rectángulo enC de la figura adjunta, trazo AC = 6 y trazo BC = 8. ¿Cuál es el área del cuadrado CDEF?

A) 12/7
B) 24/7
C) 144/49
D) 576/49
E) Faltan datos.

Respuesta: en la semana !!!!

NEM: Segundo Medio; Eje temático: II. Geometría; CMO: Semejanza.

y si lo resolvemos con GEOGEBRA?

En el sistema de coordenadas Cartesianas hemos dibujado el triángulo rectángulo y luego la recta y=x, que nos da todos los posibles puntos en que se forman cuadrados .... pero sólo uno de ellos está en la hipotenusa del triángulo, es cuando y=x= 3,43 = 24/7. Este punto se puede sacar intersectando las rectas:

x/8 + y/6 = 1 (Ecuación de segmentos), con la recta y=x

o simplemente revisando en Geogebra, las coordenadas de la intersección!

Bakán Geogebra !

COMENTARIO del BLOGGER:

Este ejercicio es muy interesante porque muestra el avance del pensamiento humano. Con la contribución de Descartes, nace una nueva rama de las matemáticas, la Geometría Analítica, es decir, la unión del álgebra y la geometría en los siglos XVI y XVII.

Este es un elemento tan significativo en la aventura humana en las ciencias exactas que se ha sugerido un Contenido Mínimo Obligatorio en nuestros programas de estudio:

NEM: Segundo Medio. Eje Temático: I. Algebra y Funciones. CMO: 2. Funciones. b. Evolución del pensamiento geométrico durante los siglos XVI y XVII; aporte de René Descartes al desarrollo de la relación entre álgebra y geometría.

Desafío Olímpico

En la figura, los triángulos equiláteros pequeños tienen un área de 1 cm2. ¿Cuál es el área de la región sombreda?

A) 20
A) 22,5
A) 23,5
A) 25
A) 32

Respuesta: Obviamente la respuesta es la alternativa A) ..... je je je !!!

Respuesta = ((4+5)/2) x 5 = 22,5

Serie 1ro.2do. Medio - Juegos Matemáticos Interregionales - Chile 2008

La suma de las áreas de todos los triángulos que se pueden formar en la figura es de:

A) 3

B) 4

C) 7

D) 8

E) 10

Respuesta:

Hay 3 triángulos de base 1

Hay 2 triángulos de base 2

Hay un triángulo de base 3

Entonces,

3 veces áreas de (base 1) + 2 veces áreas de (base 2) + 1 vez área de (base 3) =

3 (1 x 2/2) + 2(2x2/2) + 1(3x2/2) = 3 + 4 + 3 = 10

Alternativa E)

Variación de elementos lineales en fórmulas de perímetros, áreas y volúmenes

Curriculum chileno ....
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: II. Álgebra y Funciones.
CMO: b. Análisis de fórmulas de perímetros, áreas y volúmenes en relación con la incidencia de la variación de elementos lineales y viceversa.
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Puros ejemplos concretos:



1) Un cubo de lado "a", aumenta su lado a 2 veces "a". ¿Cómo varía el volúmen?





2) Exprese en función de "a" el área y el perímetro del siguiente rectángulo:

¿Qué pasa con el área y perímetro si a aumenta al doble?

¿Qué pasa con el área y perímetro si a disminuye a la mitad?

Calcule el área de cada una de las piezas del TANGRAMA si el cuadrado mayor es de lado unitario

Solución: en la entrada del Jueves 3 de Julio ,,,,,