Programación LIneal: ¿Qué es la Programación Lineal? (PL)

La Programación Lineal (PL) es un campo de la matemática que se preocupa de encontrar la mejor solución a un determinado problema, considerando todas sus restricciones.

En la anterior frase, hay dos elementos claves:

Primero) “Encontrar la mejor solución” …..
Segundo) “Considerando todas sus restricciones” ….. ¿Qué significa todo esto?

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Programación Lineal (PL) es la tercera unidad sugerida en el Programa de estudios de Tercer Año Medio de Formación Diferenciada Humanístico-Científica, presentado en el texto Matemática-Álgebra y Modelos Analíticos del MINEDUC.

PL, es un tema relativamente nuevo en el desarrollo de las matemáticas, cobra gran relevancia como aporte significativo a los procesos de optimización. En el ámbito de los negocios, minimizar costos o maximizar ganancias; en el ámbito de la medicina, encontrar dosis óptimas para los pacientes al menor costo; en el ámbito de los deportes, determinar las ingestas equilibradas.

La PL típicamente trata del problema de optimizar funciones lineales de varias variables sujetas a restricciones lineales, vale decir, asignar recursos limitados entre actividades competidoras en la mejor forma posible (óptima). En el programa y en su aplicación concreta se estudiarán sólo problemas bivariados.

La función lineal que se optimizará recibe el nombre de Función Objetivo, mientras que la región del plano determinada por las restricciones recibe el nombre de Región Factible (o Región de Viabilidad).

Para resolver los problemas de Programación Lineal, utilizaremos SIN DEMOSTRAR, el teorema Fundamental de Programación Lineal que señala que en un problema lineal con dos variables, si existe una solución única que optimice la función objetivo, esta se encuentra en un punto extremo (vértice) de la región factible acotada (puede ser acotada parcialmente), y NUNCA AL INTERIOR DE DICHA REGIÓN.

A nivel curricular, la temática está convocada en los siguientes términos:

Programacaión Lineal: Objetivos que se pueden abrir al tratar un problema de Programación Lineal en Enseñanza Media

OBJETIVOS FUNDAMENTALES:

Los alumnos y las alumnas desarrollarán la capacidad de:

1) Analizar, confrontar y construir estrategias personales para la resolución de problemas o desafíos que involucren [....] Programación Lineal.
2) Conocer y utilizar conceptos y lenguaje matemático asociados a expresiones analíticas y gráficas.
3) Percibir la matemática como una construcción enraizada en la cultura, en evolución constante y con estrecha vinculación con otras áreas del conocimiento.

CONTENIDOS MINIMOS:

a. Inecuaciones lineales con dos incógnitas. Descripción de un semiplano por medio de una inecuación lineal con dos incógnitas. Gráfico de semiplanos e intersección de ellos. Relación entre ecuaciones e inecuaciones lineales.
b. Resolución gráfica de sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas.
c. Programación lineal en dos variables. Función objetivo. Planteo y resolución gráfica de problemas sencillos de programación lineal.
d. Uso de programas computacionales de manipulación algebraica y gráfica.

APRENDIZAJES ESPERADOS:

Interpretan gráficamente la solución de un sistema de inecuaciones lineales.
Traducen las restricciones de un problema de programación lineal en un sistema de inecuaciones.
Reconocen y plantean la función objetivo en problemas de programación lineal.
Resuelven problemas sencillos que involucren procesos de optimización.

OFTs CONSIDERADOS:

1) Crecimiento y Autoafirmación Personal : Referidos al interés y capacidad de conocer la realidad y utilizar el conocimiento y la información.
2) Desarrollo del Pensamiento: Búsqueda de habilidades intelectuales.
3) Habilidades de generalización y de modelización a partir de relaciones observadas.
4) Aprendizaje de algoritmos o procedimientos rutinarios. Develación de los basamentos de esos algoritmos. Aplicación pertinente de los mismos.
5) Trabajo Colaborativo.
6) Responsabilidad, rigor y perseverancia en el trabajo.

Programación Lineal: Protocolo de Resolución en 7 pasos

PROTOCOLO: Existe un protocolo, un esquema ordenado para resolver problemas de Programación Lineal (PL), cuyos pasos se detallan a continuación:

1) Fijar (nombrar) Variables de Decisión.
2) Construir la FUNCIÓN OBJETIVO (Determinar si se Maximiza o Minimiza).
3) Establecer las RESTRICCIONES (todas, la explícitas y las implícitas).
4) Graficar la REGIÓN FACTIBLE (Graficar TODAS las restricciones).
5) Hallar las coordenadas de los vértices de la Región Factible (analítica o gráficamente). Estas serán las SOLUCIONES FACTIBLES.
6) Utilizando el TEOREMA de Programación Lineal, encontrar la solución óptima entre las factibles. La solución óptima corresponderá al vértice en el cuál esta función toma el valor máximo (o mínimo según corresponda).
7) VERIFICAR la solución óptima.

Programación Lineal: Un problema de Programación Lineal (PL)

ENUNCIADO: 1) Una familia desea comprar manzanas y peras. 2) Y quiere AL MENOS comprar 3 kilos entre manzanas y peras. 3) Desea además comprar AL MENOS tantas manzanas como peras. 4) Teniendo en cuenta de que cada kilo de manzanas cuesta 300 pesos y cada kilo de peras 200 pesos, ¿Cuánto de cada fruta debe comprar la familia para MINIMIZAR su gasto?

Programación LIneal: 1) Fijar Variables

1) Fijar (nombrar) Variables de decisión:

Llamamos “x” a los kilos de manzanas e “y” a los kilos de peras.

Programación Lineal: 2) Construcción de la Función Objetivo

2) Construir la Función Objetivo (Determinar si se maximiza o minimiza).

GASTO FAMILIAR:

300x+200y
a Minimizar

Función Objetivo:

Es la cantidad, generalmente escrita como polinomio, que se va a maximizar o minimizar en un problema de Programación Lineal (PL).

Programación Lineal: 3) Establecimiento de las Restricciones

3) Establecer las RESTRICCIONES (todas, la explícitas y las implícitas).

Restricciones: Condición limitante, generalmente escrita por medio de desigualdades, en un problema de PL.

Nota:

“ EL CORAZON DE LA PROGRAMACION LINEAL ES LA DETERMINACION DE LA FUNCION OBJETIVO Y EL SISTEMA DE RESTRICCIONES. ”

Programación Lineal: 4) Gráfica de la Región Factible

4) Graficar la Región factible (Graficar TODAS las restricciones).

La Región Factible está achurada en color plomo.

Cada inecuación en un sistema de inecuaciones define una cierta región del plano (semiplano). Si interceptas todas las regiones definidas por las inecuaciones de un sistema, obtienes la REGION de SOLUCIONES del sistema de inecuaciones.

Programación Lineal: 5) Vértices de la Región Factible

5) Hallar las coordenadas de los vértices de la Región Factible (analítica o gráficamente). Estas serán las soluciones factibles.

MUCHO OJO: Esta región NO ES ACOTADA, se extiende hasta el infinito.
Sólo hay dos vértices: (3,0) y (1.5,1.5)

Programació Lineal: 6) Uso del teorema fundamental de PL

6) Utilizando el Teorema de Programación Lineal, encontrar la solución óptima entre las factibles. La solución óptima corresponderá al vértice en el cuál esta función toma el valor máximo (o mínimo según corresponda).

El Teorema Fundamental de Programación Lineal señala que en un problema lineal con dos variables, si existe una solución única que optimice la función objetivo, ésta solución se encuentra en un punto extremo (vértice) de la Región Factible acotada (por las restricciones), y NUNCA al interior de dicha región.

Por lo tanto, deberemos evaluar la función objetivo, en los dos vértices de la Región Factible. Cada uno de los vértices es una solución factible, pero será la que de mínimo gasto, en este caso, la óptima.

Función Objetivo evaluada en (3,0):

Función Objetivo evaluada en (1.5,1.5):

750 es el gasto MENOR, por tanto, la familia debe comprar 1.5 kilos de manzanas y 1.5 kilos de peras.

Programación Lineal: 7) Verificar la solución óptima

Las dos soluciones para las manzanas y peras, son positivas. El gasto además es menor que en el otro caso y cada restricción se cumple bien.

Inecuacionómetro (Graficador de inecuaciones, invento personal): Un material concreto autoconstruible ....

Este fue un material concreto auto-construído en la intervención educativa que me concedió el título de educador (el título no más porque uno se construye en educador toda la vida, sobretodo aprendiendo de los educandos).

La unidad era la PROGRAMACION LINEAL.

La idea del aparato era provocar la imagen mental de traslape de subplanos, determinados por la diferentes inecuaciones.

Se necesitan materiales sencillos:


1) 1 trozo de madera masisa, de esos de desechos que venden a bajo costo en las tiendas de materiales de construcción. De unos 40 cm x 40 com.

2) Palitos para construir maquetas, de esos que usan los estudaintes de áqruitectura o diseño. Son mejores unos tableado, bien delgados.

3) Radigrafías viejas.

4) Pegamento (Agorex) usado de la manera más económica.

5) 1 cucharada chica de Cloro, ni más ni menos. Esto es lo más dañino. Yo pediría que me contasen con qué material se pueden limpiar las radiografías menos dañino, avisen. El agua que se usa mesclada al cloro, es mejor echarla a un pequeño agujero en la tierra .....


En las fotos está el INECUACIONOMETRO y el traslape del dos subplanos determiandos por sendas inecuaciones .....


Inecuacionómetro:




Subplano determinado por la Primera Inecuación:



Subplano determinado por la Segunda Inecuación (y la primera sin sacar):



Traslape de ambas regiones (Destacado):





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Los Peligros del Cloro .... sólo para incentivar vestra curiosidad:

Durante mucho tiempo se nos ha indicado por diferentes medios de comunicación que clorar el agua es el mejor método para eliminar las bacterias que contiene el vital líquido y de esta manera tomarlo sin riesgos a enfermarnos. ¿Pero en algún momento nos hemos preguntado los estragos que causa el cloro en nuestro organismo?

Según Genaro Montoya, licenciado en Física y Matemática, el daño que causa el cloro en nuestro organismo puede ser incluso mayor que el que provoca el arsénico. El Cloro provoca cáncer y serios problemas en la piel .... contamina mares y vaporizado ayuda a destruir la capa de ozono.

Programación LINEAL y Abejas: ¿Saben las abejas, Programación Lineal?

¿ Cómo hacen las celdas, las abejas en su panal, de qué forma?

de forma ¡ HEXAGONAL !

¿ Y por qué eligen esta forma ?

En primer lugar, las abejas eligen para hacer sus celdas, una figura que pueda teselar el plano. TESELAR quiere decir: "Cubrir el plano SIN dejar espacios". Esto es comprensible, porque si eligieran una circunferencia-círculo como forma de sus celdas, quedarían espacios en que podrían cohabitar enfermedades, bacterias, depredadores ....

Por lo tanto, pueden elegir entre tres tipos de figuras geométricas regulares que teselan el plano: El triángulo, El Cuadrado y El Hexágono. Suponemos que se eligen formas regulares porque todas las casitas deben ser iguales, para que no haya diferencias sociales (je, je) .....

En este punto podemos pensar, que para una restricción de material, la abeja tratará de construir la casa más cómoda (NO como las casas Chubi o Copeva), es decir, las más grandes .... (hasta las abejas tienen dignidad!).

Pensemos que las abejas poseen un hilo de cera de longitud 12 cms.

Para el caso de un triábgulo equilátero, cada lado valdría 4 cms (12/3). Para el caso de un cuadrado, cada lado valdría 3cms (12/4) y para el caso de un hexágono, cada lado valdría 2cms (12/6).

Veamos el área de cada una de estas figuras y su cálculo acorde a los lados de anteriores calculados:

Como Ud. puede ver, el Hexágono es la figura que usando la misma línea de cera, entrega la mejor posibilidad de área (+ comodidad) y TESELA el plano .... son MUY inteligentes las abejas ....

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Y ¿Qué es la programación Lineal?

La Programación Lineal (PL) es un campo de la matemática que se preocupa de encontrar la mejor solución a un determinado problema, considerando todas sus restricciones.

En la anterior frase, hay dos elementos claves:

Primero) “Encontrar la mejor solución” …..
Segundo) “Considerando todas sus restricciones”