Un árbol se compone de árboles pequeños ....

Entrevista a Benoît Mandelbrot: suavidad, rugosidad y fractales

Para saber más de Benoit Mandelbrot, mirar en WIKIPEDIA:

http://es.wikipedia.org/wiki/Beno%C3%AEt_Mandelbrot

Robert L. Devaney: "La geometría de la naturaleza no se enseña en las escuelas"

(Tomado de Planeta matemático)

"Robert Devaney, doctor Chaos para los amigos". Así reza la tarjeta de visita de uno de los matemáticos más activos de los últimos decenios. Nacido en 1948 en Methuen (Estados Unidos), es profesor de matemáticas en la Universidad de Boston y es experto en caos y fractales. Ha visitado recientemente Barcelona para impartir una conferencia en CosmoCaixa. Los sistemas más caóticos e impredecibles, como la atmósfera y los ecosistemas, se han estudiado con sus modelos, pero no es un académico altivo. Su estilo desenfadado le acompaña en los encuentros con el público, especialmente dedicados a enseñar a los más jóvenes la belleza de las matemáticas modernas. Afirma que la geometría puede describir las estructuras más irregulares de la naturaleza.

"La geometría tradicional que aprendemos en la escuela es útil para representar los productos humanos: una caja de zapatos se parece a un cubo, y un globo, a una esfera. Pero los sistemas naturales tienen otra clase de geometría: se pueden representar por medio de estructuras llamadas fractales". "Un fractal es una estructura geométrica interativa. Si miramos la península Ibérica desde el espacio, sus costas parecen más o menos lisas. Pero si ampliamos la zona de Catalunya, por ejemplo, vemos que lo que parecía una línea continua está llena de recovecos. En este nivel, la costa situada delante de Barcelona sigue pareciendo lisa, pero si la ampliamos aún más volvemos a encontrar una forma accidentada. Y así hasta llegar al nivel de las rocas y los granos de arena: cada vez que ampliamos, obtenemos una estructura parecida a la precedente, pero en escala más pequeña".

Publicado en: EL PERIÓDICO, 26 de mayo de 2008

Ir a la entrevista en EL PERIÓDICO

Ir a la página oficial de Robert L. Devaney (en inglés)

Applets sobre Caos y Fractales El conjunto de Mandelbrot

Tomado de su entrevista:

--Usted quiere acercar la matemática moderna a los jóvenes. ¿No es demasiado difícil?--¿Le parecería normal que en los colegios se enseñara solo la literatura y la física del siglo IV antes de Cristo? Pues esto es lo que pasa con las matemáticas. Por esta razón, a los alumnos les parece algo aburrido y distante. En los campamentos matemáticos que organizo cada año, unos 500 estudiantes pueden ver lo más nuevo y bonito de las matemáticas. El ordenador es protagonista en la matemática moderna: tendría que desempeñar un papel clave también en su enseñanza.

El propio Benoit Mandelbrot explica los fractales

La Explicación Fractal

Tomado de el
"Ascenso Infinito"
Breve historia de las Matemáticas
David Berlinski
Editorial DEBATE
Año 2007

El autor dice (editado) : "Benoit Mandelbrot es un matemático que ha enriquecido mucho la orninaria felicidad de la humanidad al mostrar como se pueden realizar de modo simple hermosos dibujos con un ordenador (...)

Estas imágenes se conocen como Conjuntos de Mandelbrot (....)

Su cosntrucción depende de una iteración recursiva y de un programa de ordenador que puede asignar colores a regiones del plano complejo. El procedimiento es de una simplicidad extrema. Se empieza por elegir un número complejo particular c y se introduce la función compleja

Esta función le dice al matemático y, en última instancia al ordenador, que tome cualquier número complejo z, lo eleve al cuadrado y después lo sume a c. Es obvio que si z=0, f(0)=c.

En lo sucesivo, con z todavía 0, se aplica f a sí mismo, dando lugar a

Y a fin de cuentas, a la secuencia:

A partir de ese esquema, los dibujos se generan mediante un algoritmo que elige los colores y que, a su vez, depende de una sóla condición.

Primero la condición: Para ciertas elecciones de c, las secuencias resultantes están acotadas. Nunca abandonan cierta región del plano complejo -digamos un círculo cuyo origen es el cero- Si dejamos z fijo en cero, dos elecciones que producen secuencias acotadas son c=-1 y c=el número imaginario i. Otras elecciones de c hacen que la secuencia no tenga límites: c=1 de apariencia tan inocente lleva a una secuencia que sobrepasa cualquier cota y parte hacia regiones desconocidas.

A continuación, el algoritmo para colorear: Al examinar varias elecciones de c y las secuencias que producen, el algoritmo asigna un color a los valores de c que llevan a secuencias acotadas y otro color a las que no. El resultado es un conjunto de Mandelbrot.

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Nota del Blogger: Yo que no soy experto en estos temas, encuentro que esta explicación es poco didáctica, no me da elementos para generar mi propio conjunto de Escobar .... pero vamos a seguir investigando a ver si algun día esto es transparente como el agua .... ¿Alguien tiene una explicación didáctica, como para generar conjuntos en nuestros ordenadores y de manera fácil como advierte Berlinski?

Conjunto de Cantor y perturbaciones en una red computacional

En el año 1958 Mandelbrot ingresa a trabajar en los laboratorios IBM para hacer un análisis del ruido y de las perturbaciones que tenía la red. Se perdía data o se alateraba cuando pasaba entre computadores.

Mientras realizaba dichos estudios encontró un patrón en su comportamiento y comenzó a descifrar su estructura escondida que era la de jerarquías de fluctuaciones en diversas escalas, que no podían ser descritas por la matemática y la estadística que se aplicaba usualmente.

El notó que había una conexión entre objetos matemáticos "misteriosos" y ese tipo de fenómeno y así encontró que la distribución de errores en la red se parecía fuertemente al conjunto de cantor puesto que los errores ocurrían en lotes con regiones libres de errores.

En su libro "The Fractal Geometry of Nature" escribió: "Construimos el conjunto d errores comenzando con una línea recta, digamos el eje del tiempo, luego cortándola y haciéndola más corta y más corta en las regiones libres de errores. Este procedimiento no era familar en las ciencias naturales pero la matemática pura lo había utilizado desde Cantor. Como el análisis fue hecho tres veces de manera más precisa, esto reveló que el estallido original es intermitente".