PSU - DEMRE 2009 - 47

47. Si en la figura L1 // L2, entonces el valor de x es:

A) 2.

B) 7.

C) 12,5.

D) 18.

E) Ninguno de los anteriores.

Respuesta: Utilizando semejanza o Teorema de Thales postulamos la siguiente proporción:

15/5 = (15+6)/x

15/5 = 21/x

15(x) = (5)(21)

15(x)= (5)(3)(7)

x = 7; Alternativa B)

Otro Desafío PSU (Santillana) MUY anclado a la realidad

Tres sitios se extienden desde calle Oriente hasta la calle Poniente, como muestra la figura. Los límites laterales son segmentos perpendiculares a la calle Poniente, además el frente total de los sitios en la calle Oriente es 120 mteros.

El frente del sitio 2 de la calle Oriente es:

A) 53 m.
B) 40 m.
C) 36 m.
D) 27 m.
E) 26,6 m.

Solución: Uno de estos días !

Como al parecer está poco legible el escrito escaneado:

Que corresponde a la siguiente figura:

Aplicaciones de Thales - Proporcionalidad de trazos en triángulos, cuadriláteros, circunferencia

Curriculum chileno ....
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Teoremas relativos a proporcionalidad de trazos en triángulos, cuadriláteros y circunferencia, como aplicación del teorema de Thales. Relaciones entre paralelismo, semejanza y la proporcionalidad entre trazos.
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1) Un ejemplo clásico: Teorema de Semejanza de Thales:

Toda paralela a un lado de un triángulo determina otro triángulo semejante al total.


Hipótesis: DE // AB
Tesis: Triángulo CDE es semejante a Triángulo CAB


Demostración:



1) Ángulo CDE es congruente con Ángulo CAB

2) Ángulo CED es congruente con Ángulo CBA


Por AA, ambos triángulos son semejantes.


2) Uno NO clásico: Desde D se traza una transversal que divide al lado AB en razón de 1:n. Demostrar que esta transversal divide a la diagonal AC en razón de 1:(1+n).

Demostración:
AE /EB = 1 / n
Pero Triángulo AEF Es semejante a Triángulo CDF por (AA)
Luego:
AF/AE = CF/CD
Alternando
AF/CF = AE/CD ; pero CD = AB
AF/CF = AE/AB (*)
pero AE/EB = 1/n, Componiendo
AE/(AE + EB) = 1/(1+n)
AE/AB=1/(1+n)
Poniendo esto en (*)
AF/CF=1/(1+n); q.e.d.

3) Uno Clásico: "Los segmentos de dos cuerdas que se cortan dentro de un círculo son inversamente proporcionales".

Hipótesis: AB corta a CD en {P}

Tesis: PA x PB = PC x PD

Demostración:

1) Ángulo 1 = Ángulo 2 (opuestos por vértice)

2) Ángulo 3 = Ángulo 4 (subtienden el mismo arco)

Por AA son semejantes triángulos: APC con DPB

Luego: PA / PC = PD / PB ; Entonces: PA x PB = PC x PD

Desafío PSU - CEPECH

Para que el segmento DE sea paralelo a AB, ¿Cuánto debe valer el segmento x?

A) 3

B) 6

C) 9

D) 12

E) 15

Nota pro comprensión: La relación entre el paralelismo y la proporcionalidad entre los trazos (en el Teorema de Thales) es una relación VINCULANTE-BIDIRECCIONAL a través de conector SI-ENTONCES. Es decir: si hay paralelismo entonces se dan las proporciones ó si se dan ese tipo de proporciones entonces hay paralelismo ....

Si fueran paralelos, deberían entonces cumplir el Teorema de Thales. 3/x = (3+6)/18

de donde x= 6

Desafío PSU - La Nación

L1 // L2 // L3

AC = 12

DF = 15

FE = 3

AB = ?

x= 9,6

Demostrar .....

Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto. (Esta propiedad del ángulo inscrito se conoce con el nobre del Teorema de Thales).

Una Primera DEMOSTRACION: Muy SIMPLE !

Si sabemos -axiomáticamente- es decir, si sentamos como sabido que un ángulo INSCRITO mide la mitad del arco que subtiende, entonces estamos LISTOS ! (por qué?), porque un ángulo que subtiende un ángulo inscrito en una semicircunferencia es de 180º (grados), por tanto mide la mitad, es decir: 90º (grados).

Una Segunda DEMOSTRACION (un poco más formal) :

Tesis :

Un ángulo incrito en una semicircunferencia mide 90º.

(Nota: En el dibujo, habría que demostrar que ángulo ACB es de 90º)

Hipótesis :

El ángulo ACB (vértice en C) está inscrito en una semicircunferencia. Esta semicircunferencia pertenece a la circunferencia de centro O y radio r.

Demostración :

Construcción Primera: construimos el trazo: OC, desde O, el centro de la Circunferencia.

Señalamos los ángulos: ángulo 1, ángulo 2, ángulo 3, ángulo 4.

El triángulo AOC es isósceles, pues AO y OC son radios.

El triángulo BOC es i´sosceles, pues OB y OC son radios.

Por tanto, ángulo 1 = ángulo 2 ; ángulo 3 = ángulo 4. (*)

Sabemos que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º. Sumemos los ángulos internos de los dos triángulos AOC y BOC:

(Suma de ángulos en triángulo AOC) + (Suma de ángulos en triángulo BOC) = 180º + 180º

(ángulo 1 + ángulo 2 + ángulo AOC) + (ángulo 3 + ángulo 4 + ángulo BOC) = 180º + 180º

reordenando y recordando (*):

Que es lo que queríamos demostrar ....

q.e.d.

PSU - DEMRE - 2008 - Ejercicio 50

CREO QUE, EL DOCUMENTO PRESENTA UN ERROR

EN LA RESPUESTA ENTREGADA A ESTE EJERCICIO

50. Una persona está situada en el punto A, y tiene al frente dos postes: trazo ED y Trazo BC perpendiculares al plano, como se muestra en la figura 11. Si la distancia entrre el punto A y el poste trazo BC es (4x+5) metros y la distancia entre los postes es (x+5) metros, ¿Cuántos metros separan a la persona (punto A) del poste trazo ED?
A) 1 metro
B) 9 metros
C) 6 metros
D) 3 metros
E) 30 metros.



Solución: Por Thales o por semejanza de triángulos:




La alternativa correcta es B) y en el faccímil dice D)

PSU - DEMRE - 2008 - Ejercicio 49

49. En la figura 10, x es igual a

Solución: Usando Thales, tras capturar las longitudes necesarias:

La alternativa correcta es la C)