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Una Ecuación Logarítmica Interesante ....

Solución: Es muy bella !!!!!!

PSU - DEMRE 2009 - 31

Respuesta:

Alternativa correcta es A)

El sentido de los Logaristmos en la voz de Napier

Nadie mejor que el propio Napier, para explicar el sentido de los Logaritmos:

El trabajo de más de veinte años de Napier sobre logaritmos lo publicó su hijo en la obra Mirifici logarithmorum canonis descriptio ( Descripción de la maravillosa regla de los logaritmos). En el prefacio del libro Napier explica sus ideas:

" Ved que no hay nada (queridos estudiantes de matemáticas) que sea tan perturbador para la práctica de las matemáticas, nada que sea más molesto y farragoso, que la multiplicación, división y extracciones cuadradas y cúbicas de grandes números que, además de consumir una gran parte del tiempo, puede llevar a cometer muchos errores que pasarán desapercibidos; por tanto pensé que por certero y avanzado arte podría evitar tales males. Y habiendo considerado muchas cosas para este propósito encontré al final algunas excelentes y reducidas reglas para que se puedan usar (quizás) en el futuro. Pero entre todo, nada más aprovechable que esto, unido a las difíciles y tediosas multiplicaciones, divisiones y extracciones de raíces, para que puedan ser obtenidos los resultados en números procedentes de multiplicaciones, divisiones y raíces, para conseguir que sean sustituidos por otros números que se comporten como ellos, sólo sumando o restando, dividiendo por dos o por tres."

Kepler, hacia el 1600 se benefició enormemente de una herramienta matemática que le ayudara en sus cálculos astronómicos ....

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NEM: Cuarto Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Función Logarítmica. Historia de los Logaritmos: de las tablas a las calculadoras.

Desafío PSU - Santillana

Solución, uno de estos días .....

MARAVILLOSA: Una fórmula para generarlos todos .... La Ecuación de Dirác

Paul Adrien Maurice Dirac fue un físico inglés del siglo XX considerado un pionero en el campo de la física cuántica. Dirac es recordado como un genio excéntrico por sus ideales y sus brillantes intervenciones. Cuenta la historia que Dirac se encontraba en la Universidad de Göttingen, donde los físicos y matemáticos de la época jugaban a escribir todos los números del 1 al 100 usando todo tipo de operaciones algebraicas únicamente con el número 2. Por ejemplo para 1 tenemos 2/2, para 2 tenemos 2/1, para 3 tenemos 2^2 – (2/2), ... Cuando le plantearon el problema a Dirac dió como solución la siguiente ecuación





donde el número de radicales es igual al número dado N. Con esta solución general, se dejó de jugar en la Universidad de Göttingen.



(Tomado de Genciencia)

Otra de olimpiadas .... Serie 3ro.4to. Juegos matemáticos interregionales -2008 Chile

Desafío PSU - La Nación

El conjunto de las soluciones de la ecuación logarítmica log(x+6)=2Log x, es:

A) [3]
B) [-2]
C) [2]
D) [3,-2]
E) Vacío.

Alternativa correcta es la A)

Historia de los Logaritmos .....

En el Currículum chileno:

NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: b. Historia de los Logaritmos; de las tablas a las calculadoras.
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Los logaritmos fueron descubiertos por el matemático escocés Juan Na`piér o Néper (1550-1617) quien llegó a construir la primera tabla de logaritmos. Posteriormente el matemático suizo Leonardo Euler (1707 - 1783) cimentó la teoría de los logaritmos por un camino diferente al seguido por Néper.

En la expresión:
puede calcularse una de estas tres cantidades si se conocen dos de ellas resultando de este modo, tres operaciones distintas:

Si se calcula P, el resultado de la Potencia tenemos la operación: POTENCIACION.

Si se calcula b, la base de la Potencia, tenemos la operación de la: RADICACION.

Si se calcula e, el exponente de la Potencia, tenemos la operación: LOGARITMACION.

Tomado de Wikipedia:

Joost Bürgi, un matemático y relojero suizo al servicio del duque de Hesse-Kassel, concibió por vez primera los logaritmos. El método de logaritmos naturales fue propuesto inicialmente en 1614, en un libro intitulado Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, escrito por John Napier (latinizado Neperus), Barón de Merchiston en Escocia, que nació cerca de 1550, y murió en 1617, cuatro años después de la publicación de su memorable invención.

Este método contribuyó al avance de la ciencia, y especialmente de la astronomía, facilitando la realización de cálculos muy complejos. Antes del advenimiento de las calculadoras y computadoras, era constantemente usado en estadística, navegación, y otras ramas de la matemática aplicada. Además de su utilidad en el cómputo, los logaritmos también ocuparon un importante lugar en las matemáticas más avanzadas.

De las tablas de Logaritmos a las calculadoras-computadoras:

Antes de la aparicón de las calculadoras y los computadores, los cáculos se hacían a mano .... Pensemos que tenemos una multiplicación bien grande:

M=45678 x 99889 (aunque no sea tan tan grande en este ejemplo)

procedemos tomado logaritmos a ambos lados:

Casi no hay diferencias .....

Se transforman así, grandes multiplicaciones y divisiones a sumas y restas .... y en nuestro caso, los números elegidos eran pequeños, pero imaginen en la Astronomía (una ciencia floreciente en esos instantes) ..... Logaritmos alivianaba MUCHO las tareas .....

Logaritmos - Propiedades de los LOGARITMOS

Curriculum:
NM4
I. Álgebra y Funciones
b. Función Logarítmica. Análisis de expresiones algebraicas logarítmicas.

Ejercicios Tradicionales de Logaritmos

Primer Ejercicio

Segundo Ejercicio: reducir a la mínima expresión:

Tercer Ejercicio: Calcular, dados los valores de Log 2 = 0,301; Log 3 = 0,477

Función Logaritmica - Función Exponencial: Crecimiento de Poblaciones

Curriculum Chileno:
NM4
I. Álgebra y Funciones
b. Funciones Logarítmica y Exponencial, sus gráficos correspondientes. Análisis de las expresiones algebraicas y gráficas de las funciones Logarítmica y Exponencial.

Función EXPONENCIAL:

Crecimiento de Poblaciones:

La ameba es un organismo vivo muy simple que se reproduce dividiéndose en dos; cada nueva ameba vuelve a dividirse en dos, y así sucede con todas las que se generen.

Supongamos que tenemos 10.000 amebas por milímetro cúbico, en cierto cultivo de laboratorio. Llamaremos b al número inicial de amebas en un medio de cultibo. Entonces, 2b será la cantidad de amebas después de transcurrido el tiempo de una generación. Así, después de n generaciones la cantidad de amebas, N, será:

Esta expresión es de carácter exponencial en n. Grafiquemos esta situación para el valor b=10.000 y para n variando de 1 hasta 10. Gráfica:

Realizado con Graphmatica.

Entonces, en la décima generación, si se sigue esta regla sin probelmas en el ecosistema, la población será: 5.120.000 individuos.

En el caso anterior, la gráfica está puesta de forma CONTINUA porque a pesar de que reflexionábamos lo que pasaba de generación en generación, los procesos de crecimiento de las poblaciones de amebas se produce de forma continua, ya que nos es simultáneo el desdoblamiento de todas las amebas en cada generación. (Editorial ZIG ZAG).

El crecimiento se produce de tal forma que si se contabiliza la población a intervalos de tiempo regulares, en cada instante de tiempo considerado, la población es el doble que en el instante inmediatamente anterior.

Se trata de un crecimiento a tasa constante. Tal comportamiento se llama crecimiento exponencial.

Cualquier función de la forma:

se conoce como función Exponencial, de base "a" y exponente "t", en este caso. Su representación se situará sólo en los cuadrantes I y II.

Grafiquemos

Función Logaritmo:

Volviendo al ejemplo de las amebas, podemos preguntarnos qué nçumero de generaciones deberán pasar para que haya, por ejemplo un billón de amebas por milímetro cúbico. Veamos la fórmula que modela el crecimiento de las amibas:

Encontrar el valor de n, que haga válida esta igualdad, es lo que llamaremos aplicar logaritmos.

Para la relación anterior diremos que:

Y generalizando:

Para el caso de las amebas, n= 26,57542475 (Usando una calculadora) .... es decir, deben pasar cerca de 27 generaciones para que halla un billón de células.

FUNCION LOGARITMO: Estudiaremos una muy particular, en que la base es 2.

Hagamos una tabla para la gráfica:

Veamos una gráfica de ambas funciones .....

Nótese que y=x actúa como un espejo entre ambas funciones: ¿Por qué sucede?

Desafío PSU - La Nación

Si Log x = a, Log y=b, entonces

Solución:

Desafío PSU - U. Católica

De la función logarítmica graficada se afirma que:

I) La base "b" es mayor que cero y menor que uno.

II) Es un punto de la curva:

III) Los logaritmos de números positivos son siempre positivos.

A) Sólo I; B) Sólo II; C) Sólo III; D) Sólo I y II E) I, II, III

Solución: uno de estos días .....

I) Verdadera, cuando la base está entre 0 y 1, es decir: 0 menor que b menor que 1, entonces la gráfica es decreciente, como se muestra en la figura.

II) Ese punto si pertenece a la gráfica, veamos:

III) Es falsa, en la propia gráfica se ve que esta propuesra es falsa .... o pensemos en un ejemplo:

Base de los Logaritmos (Un tema que se descuida en la enseñanza)

Base Negativa:

Calculemos:

Base Igual a 1:

Calculemos dos casos:

Resumiendo (Tomado de Santillana del Cuarto Medio):

Trazar la gráfica de Logaritmo en base 2 de x

Trazar la gráfica de:

Solución:

Podemos trazar la gráfica anterior, pensando en que -acorde a la definición de los logaristmos- que:

Hagamos una tabla de valores ....

Y veamos la gráfica (hecha con Graphmática e intervenida con Paint .....

Desafío PSU (Potente!) - Tomado del SIES

El Blogger: me encantan los terremotos (los que no dañan), la Tierra está VIVA !!!!!

En la escalade Richter, la magnitud (M) de un terremoto se mide por la fórmula M= log I, donde I es la intensidad medida en un sismógrafo. Estos son los valores de algunos terremotos:

¿Cuál de las siguientes afirmaciones se ajusta en forma más precisa a la información propocionada?

A) El terremoto de Valdivia fue 10 veces más intenso que el de Kansu y 100 veces más intnso que el de Messina.
B) El terremoto de Valdivia fue 10 veces más intenso que el de Kansu y aún más intenso que el de Messina.
C) El terremoto de Valdivia fue 1,12 veces más intenso que el de Kansu y 1,27 veces más intenso que el de Messina.
D)El terremoto de Valdivia fue dos veces más intenso que el de Messina.
E) El terremoto de Valdivia fue dos veces más intenso que el de Kansu y éste, 2 veces más intenso que el de Messina.

Solución:

Usamos la definición de Logaritmos, para transformar los datos en potencias y poder comparar. Factoramos en pro de la comparación:

Se puede ver que el terremoto de Valdivia es 10 veces más fuerte que el de Kansu y 100 veces más fuerte que el de Messina. Alternativa A)

PSU - DEMRE - 2008 - Ejercicio 33

33.

A) 2.

B) a + b

C) log a + 3 log b

D) los a + log b

E) log (a + b)

La alternativa correcta es la E)

Variación del Carbono 14 a través del tiempo .....

La variación de la masa del carbono 14, en el tiempo, puede calcularse mediante la aplicación de la siguiente función:

En esta fórmula, Ci es la masa inicial de Carbono, y el tiempo t se mide en miles de años. C8t) es la masa del carbono que queda -para esos años transcurridos- como resultado de la transformación desintegrativa.

Usando esta fórmula es que se puede calcular la edad de cualquier fosil.

Supongamos Que se halló un fósil con 150 gramos de carbono-14 y se sabe que cuando estaba vivo contenía alrededor de 300 gramos de carbono-14. ¿Cuántos años de edad tiene?

Entonces el fósil tiene cerca de 6.000 años de existencia.

Modelación Matemática de Poblaciones y su crecimiento .....

La biología de poblaciones intenta desarrollar modelos matemáticos para el análisis de una población o de un grupo, incorporando el mayor número posible de variables y parámetros. Estos modelos permiten predecir cuales serán los efectos que producirá, sobre el conjunto de la población, un cambio en alguna de las variables. © 1993-2003 Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos.

veamos un modelo muy sencillo:

CRECIMIENTO de las AMEBAS

Las amebas son organismos vivos muy simples, se reproducen por simple autodivisión.

Supongamos que en un milímetro cubo tenemos 10.000 amebas.

Preguntemos por el número de generaciones que deben pasar para que haya por ejemplo un billón de ellas por milímetro cúbico.

Para entender el modelo de crecimiento, llamaremos No al número incial de amebas. Entonces 2No será el número de individuos luego de una generación y 4No luego de dos generaciones.

Así, luego n generaciones, la cantidad de amebas será:

Acá, N es una función exponencial de "n", por tanto el modelo de crecimiento es de tipo exponencial.

Veamos el caso de la cantidad de generaciones que deben pasar, para a partir de 10.000 amebas, lleguemos a tener un millón de millones.Usando la calculadora, N está entre 26 y 27. Deeben pasar 26,5754 generaciones para lograr tener un billón de amebas por milímetro cúbico.

- - - - - Alternativa:

Aplicando Logaritmos de Brigss a ambos lados: