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por amor a las matemáticas .....

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martes, 5 de agosto de 2008

Función Logaritmica - Función Exponencial: Crecimiento de Poblaciones

Curriculum Chileno:
NM4
I. Álgebra y Funciones
b. Funciones Logarítmica y Exponencial, sus gráficos correspondientes. Análisis de las expresiones algebraicas y gráficas de las funciones Logarítmica y Exponencial.

Función EXPONENCIAL:
Crecimiento de Poblaciones:

La ameba es un organismo vivo muy simple que se reproduce dividiéndose en dos; cada nueva ameba vuelve a dividirse en dos, y así sucede con todas las que se generen.

Supongamos que tenemos 10.000 amebas por milímetro cúbico, en cierto cultivo de laboratorio. Llamaremos b al número inicial de amebas en un medio de cultibo. Entonces, 2b será la cantidad de amebas después de transcurrido el tiempo de una generación. Así, después de n generaciones la cantidad de amebas, N, será:
Esta expresión es de carácter exponencial en n. Grafiquemos esta situación para el valor b=10.000 y para n variando de 1 hasta 10. Gráfica:

Realizado con Graphmatica.

Entonces, en la décima generación, si se sigue esta regla sin probelmas en el ecosistema, la población será: 5.120.000 individuos.

En el caso anterior, la gráfica está puesta de forma CONTINUA porque a pesar de que reflexionábamos lo que pasaba de generación en generación, los procesos de crecimiento de las poblaciones de amebas se produce de forma continua, ya que nos es simultáneo el desdoblamiento de todas las amebas en cada generación. (Editorial ZIG ZAG).

El crecimiento se produce de tal forma que si se contabiliza la población a intervalos de tiempo regulares, en cada instante de tiempo considerado, la población es el doble que en el instante inmediatamente anterior.

Se trata de un crecimiento a tasa constante. Tal comportamiento se llama crecimiento exponencial.

Cualquier función de la forma:

se conoce como función Exponencial, de base "a" y exponente "t", en este caso. Su representación se situará sólo en los cuadrantes I y II.

Grafiquemos

Función Logaritmo:

Volviendo al ejemplo de las amebas, podemos preguntarnos qué nçumero de generaciones deberán pasar para que haya, por ejemplo un billón de amebas por milímetro cúbico. Veamos la fórmula que modela el crecimiento de las amibas:

Encontrar el valor de n, que haga válida esta igualdad, es lo que llamaremos aplicar logaritmos.

Para la relación anterior diremos que:




Y generalizando:

Para el caso de las amebas, n= 26,57542475 (Usando una calculadora) .... es decir, deben pasar cerca de 27 generaciones para que halla un billón de células.

FUNCION LOGARITMO: Estudiaremos una muy particular, en que la base es 2.

Hagamos una tabla para la gráfica:


Veamos una gráfica de ambas funciones .....


Nótese que y=x actúa como un espejo entre ambas funciones: ¿Por qué sucede?