Teorema de Viviani - Demostración

TEOREMA de VIVIANI:

Demostrar que en todo triángulo equilátero la suma de las distancias desde un punto en el interior (o sobre el triángulo) a los lados del triángulo es una constante que no depende del punto elegido.

Y tal como se ha demostrado, el valor de esa constante coincide con la altura del triángulo equilátero ....

Desafío - Un ángulo de 105 que se transforma en 2 bien conocidos nuestros

Respuesta:

Un problema geométrico (de Gaussianos)

Partimos de tres circunferencias iguales. Las colocamos de forma que las tres sean tangentes entre si, es decir, cada una es tangente a las otras dos. Entre ellas queda una porción del espacio, que en la imagen está coloreada de rojo. El problema consiste en calcular el área de dicha porción del espacio sabiendo que el diámetro de cada una de las circunferencias es 10.

Respuesta: ya viene y no es tan difícil !

Considere que el triángulo que une los centros de las tres circunferencias es EQUILÄTERO de lado 2r. Cada uno de sus lados lo forman dos radios unidos, en línea recta, en los puntos de tangencia .... No olvidemos que el ángulo de un triángulo Equilátero es de 60º.

Muchas veces en este blog hemos calculado la altura de un triángulo equilátero correspondiendo a la mitad de su lado por raiz de tres .... (Hagan click en las etiquetas)

Miremos estos acuerdos en la siguiente figura:

Luego el área roja será:

(Area del Triángulo Equilátero Total) menos (TRES veces el área Amarilla (trozo torta))

Ojo que el área del trozo de torta es (60º/360º) el área del círculo !!!! La sexta parte, Veamos:

Uds. pueden ponerle los valores concretos a este cálculo genérico ....

Un problema olímpico ....

El cuadrado PQRS de lado 1 m y el círculo de radio 1 m de la figura, tienen el mismo centro.

¿Cuál es, en m^2 (metros cuadrados), el área de la región sombreada?

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NOTA: la resolución que muestro a continuación

es errónea!

Esto me lo ayudó a entender Manolí, del maravilloso BLOG: Viaje a Ítaca con Manolí

ver: httpp://viajeaitacaconmanoli.blogspot.com

(linkeado en este blog como uno de mis favoritos)

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¿Por qué dejo esta publicación aún estando incorrecta?

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1) Porque es bueno equivocarse y reconocerlo.

2) Porque los profesores a menudo nos equivocamos.

3) Porque uno puede aprender de otros y otras.

4) Porque es necesario activar la solidaridad entre pares.

5) Porque no hay que temerle al error, que de allí se aprende mucho.

6) Porque es bueno socializar caminos, que incluyen errores, porque así otros aprenden también.

7) Porque esto ayuda a enfrentar egos equívocos, si los hubiese!

8) Porque quiero ser un maestro humano .... y sé que en esto hay un Viaje a Ítaca, donde lo que importa es el proceso !!!!!

Nota: mi solución (comprobadamente errrónea) incluye el uso de otra nomenclatura.

Plan de TRABAJO:

Plan:

Elementos necesarios:

* Debo saber calcular la altura de un triángulo equilátero y su área, dado su lado.

* Saber calcular la potencia de un punto al interior de un círculo.

Elementos:

GH: diámetro

CI = raiz de 2 (diagonal de cuadrado unitario)

CO = CI/2

CG = 1-CO = 1- raiz de 2

CH = raiz de 2 + 1-(raiz de 2)/2

Como IKCD es cudrado, entonces si FC=KJ=x

FJ= FC + Ck + KJ = x+1+x=1+2x

1) Por Potencia de un punto calculo x

de la ecuación que me resulta, saco que x sólo puede ser (raiz de (3)) - 1

la otra resultante es negativa, no sirve.

2) Cálculo del segmento EF (OJO 1)

3) Cálculo del área de la sección relativa al trazo ED (OJO 2) = a

4) Area pedida = 8 x a

RESPUESTA (errónea):

¿Qué les parece lo que he hecho?

Haz doble click en la figura para verla más grande ....

(chutas, no me resultó! .... espero que a uds. sì)

Respuesta:

La resolución CORRECTA

viene a continuación y fue tomada del blog de Manolí en base a la siguinete figura. Nótese que ella elegantemente aprovecha las similitudes que hay producto de la partición dada por las rectas en juego. Veamos primero la figura: Ahora miremos y designemos con letras las figuras y sus repeticiones regulares:

Y ahora establecemos una ecuación:

Y ahora la corrección de mi resolución anterior... el error consistió en resolver equívocamente la ecuación de segundo grado y luego en ponderar equívocamente el área final ....

Ahora coincidimos en solución con Manolí .....

PSU - DEMRE 2009 - 42

Respuesta:



Si uno tiene u triángulo equilátero y traza culaquier altura, esta es bisectriz, y dimidia la base asociada. En nuestro caso, como el lado del triángulo es 2, la base queda segmentada en dos trazos de lado unitario. Y puesto que la altura es a la vez bisectriz, entonces el ángulo generado por la altura es de 30º.



Los dos triángulos que se genera con la altura son congruentes por LAL y la altura es igual a la mitad del lado por raiz de 3 .... todo lo podemos ver en:

Luego son sólo verdaderas: I) y II), Alternativa C)

y nótese que la Congruencia está correctamente planteada en la secuencia de los lados de cada uno de los triángulo, lo que es algo importante.