"Educar no es llenar un recipiente, sino encender una hoguera ..."

por amor a las matemáticas .....

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Pienso en MATEMÁTICAS ..... pero NO sólo en esto

miércoles, 30 de abril de 2008

Los fractales al servicio de la investigación - Joan carles Ambrojo


Un fractal es un patrón geométrico repetitivo que se puede encontrar en la naturaleza. Una definición corta para una realidad difícil de entender. Casi tres décadas después de que el matemático Benoit Mandelbrot acuñara el término, todavía se desconoce mucho de su funcionamiento. Hace unos años, estaban de moda. Ahora parece que pasan de puntillas por los medios de comunicación.

"La investigación en fractales es un gran campo de las matemáticas conocido como sistemas dinámicos y la teoría del caos, por tanto, surge en cualquier ámbito de la ciencia, desde la biología a la química o la ingeniería. Se ha progresado en el conocimiento, pero dado que los fractales se encuentran en tantos campos, hay mucho que hacer", dice el matemático Robert Devaney, de la Universidad de Boston, que ha impartido una conferencia en Barcelona, invitado por la Obra Social La Caixa.

"En la mayoría de campos científicos, en la ingeniería, todo el mundo pensaba que todo debía ser previsible y que, por ejemplo, una reacción química no podía tener un comportamiento caótico", dice Devaney.

Uno de los ámbitos en los que se ha pensado aplicar la teoría de los fractales es la meteorología. ¿Por qué es tan complicado predecir el tiempo a medio plazo, a partir de tres a cinco días? "Es necesario entender cómo funciona cada molécula del aire, es imposible, y por tanto los científicos intentan realizar predicciones más simples, con fractales, que puedan ayudar a entender qué es lo que está pasando en una situación meteorológica". Reconoce Devaney que los investigadores aún trabajan en los fractales más simples, en los conjuntos de Mandelbrot, "que son muy bellos". "Pero si aún no los entendemos bien, ¿cómo podemos predecir el tiempo, que se mueve en variables infinitas? El camino es muy largo", añade.

El conjunto de Mandelbrot se basa en unas expresiones matemáticas simples (x2
+c) que producen hermosas y complicadas imágenes, cada una de ellas con significados matemáticos propios. El problema es que sólo es posible entender completamente esa ecuación si el límite del conjunto de Mandelbrot está localmente conectado, y hasta ahora nadie sabe si esto es cierto.

Los fractales pueden funcionar bien en biología, para analizar los tumores, dicen los expertos: "Si las células cancerosas son benignas, entonces el fractal es muy redondo; pero si el cáncer es maligno, si se extiende, el fractal será diferente. Y tenemos herramientas que miden cuál será la dimensión fractal del conjunto y determinan si el cáncer hace metástasis. Por tanto, los fractales son una herramienta matemática de la medicina", explica. Devaney participa en algunas reuniones mensuales que hacen en Boston un equipo de biomédicos, discuten sobre el caos y los fractales y cómo pueden incidir éstos en la medicina.

En España también hay varias iniciativas empresariales que utilizan los fractales en el desarrollo de productos: por ejemplo, una empresa nacida en la Universidad Politécnica de Cataluña ha creado unas antenas fractales capaces de enlazar señales de varias bandas de telecomunicaciones simultáneamente.
(www.elpais.com - colabora joelle)

Suspensión de actividad del BLOG


Se suspenden nuevos posteos hasta el Lunes 5 de mayo. Abrazos fraternales, Claudio.

Optimización: Unir dos rectángulos (juntando un lado de cada uno) buscando el mayor perímetro.

¡ bELLÍSIMO !
Un ejercicio MUY SENCILLO de Optimización MUY Educativo


Autor: Uldarico Malaspina Jurado.
Pontificia Universidad Católica del Perú
Revista Unión - Revista Interamericana de educación Matemática (Link en este Blog)
Marzo 2005 - Nro. 1 - Pgas. 105-106

El Rincón de los problemas


PROBLEMA: Se tiene dos láminas rectangulares: Una de 9 cm de largo por 5 cms de ancho y otra de 6 cm por 2 cm.

¿Cómo es la figura de mayor perímetro que se puede formar pegando un lado completo de una de las láminas a uno de los lados de la otra? Justificar e ilustrar gráficamente.

- - - - -

nOTA DEL bLOGGER: eSTE EJERCICIO ES BELLÍSIMO POR SU SIMPLEZA. pUEDE DAR PARA EDUCAR MUCHO. eL PROFESOR MALESPINA, RECOMIENDA NO INTERVENIR, DEJAR QUE LOS EDUCANDOS DISCUTAN, PRUEBEN, ENSAYEN CON O SIN ERROR. sUGIERE QUE UNA VEZ SEA RESUELTO PREGUNTES QUÉ OTRAS PREGUNTAS SE PUEDEN HACER .... EN LA WEB, PROPONE Y ANALIZA 4 PREGUNTAS INTERESANTES REFERIDAS AL MISMO PROBLEMA.

Reacción al anterior problema de optimización

1) Este es un problema de optimización, porque queremos buscar el MAYOR perímetro. Esta condición está impuesta por el problema, encontrar el mayor perímetro es lo óptimo.

2) Perímetro es la suma de los lados de una figura como un rectángulo. Sólo queestavez "pegaremos" los rectábgulos, por uno de los lados. ¿Cuáles? Nosotros debemos escoger para que haya el MAYOR perímetro.

3) Obvio que aquí es bueno trabajar bajo la idea de ensayo y error.

4) Se pierde en este tipo de contacto 6 cm de perímetro por rectángulo. Y ninguna de las variaciones tampoco sirve, como las que se presentan a continuación.

5) Aquí aparece un concepto simpático, las tres anteriores figuras son equivalente aunque NO iguales. Son todas distintas, pero tienen equivalencia en perímetro y área ....

En este caso el perímetro lograría ser apenas 32 cm. Cuenten por ejemplo en la primera figura.

6) Por lo anterior, el contacto que favorece al mayor perímetro es el a través de el lado de 2 cm de longitud.7) Obviamente, el perímetro de esta solución es la suma de los dos perímetros menos 2 veces 2 cm, que se pierden en el contacto:

Óptimo =

Perímetro rectángulo grande + Perímetro rectángulo menor - 2 x 2 cm

Óptimo = 28 + 16 - 4 = 44 - 4 = 40 cm.

8) Si definiéramos algebraicamente la solución, la función que define este problema para el intervalo abierto ) 0; 2) es:

f(x) = 44 - 2x; donde x es la longitud común ....

9) Revisemos lo anterior.

El intervalo es abierto, excluye al cero (0) porque obligatoriamente debe haber una longitud de contacto, que no puede ser cero.

Veamos la función cuando el contacto es 2:

f(2) = 44 - 2 x 2 = 40; que es la solución óptima.

Veamos la función cuando el contacto es 6:

f(6) = 44 - 2 x 6 = 32 (Que ya habíamos visto antes)

Nota: El profesor Uldarico Malaspin Jurado propone el intervalo abierto hasta el 2, inclusive. Yo creo que perfectamente puede ser definida en el intervalo abierto por la izquierda ) 0; 6).

Pero eso sí, no puede ser más allá de 6, porque no hay rectángulos -en el problema real, que tengan un lado mayor que 6 Y que se pueda pegar al otro íntegramente! Por ejemplo no podemos pensar en pegar por el lado de 9 cm porque no habría posibilidad de pegarlo íntegramente al otro.

10) Para valores intermedios, por ejemplo x = 3, se describe la situación como la que ilustra la figura. Situación posible pero que es negada por el enunciado, aunque algenraicamente ES POSIBLE:

11) Para los más estudiosos, la gráfica de la anterior función:

12) Si la gráfica continuara, obviamente f(6) = 32. y AUNQUE ESCAPANDO DEL EJERCICIO, f(22) = 0

13) Esta es una función que en el intervalo )0,2) no posee un máximo, pero si un Optimo (Esta es mi propuesta. y SIGO DICIENDO QUE EL INTERVALO PUEDE SER ) 0, 6)

14) ayuda TIPO psu:

Otro(s) problema(s) de Optimización: Buscar en este Blog por "Programación Lineal y Abejas .... (11 de Anbril). Pronto vendrán otros problemas de optimización un poco más complejos ....

Agradecimientos y felicitaciones al profesor Uldarico!

martes, 29 de abril de 2008

Ágora - Un film de Amenábar



El director español Alejandro Amenábar iniciará en Malta el rodaje de su nueva película "Agora", un drama épico, ambientado en el siglo IV y protagonizado por la actriz británica, Rachel Weisz. Amenábar incursionará por primera vez en el cine épico con esta película, en la que Weisz encarnará a Hypatia de Alejandría.

(Tomado de la WEB de Mujeres y matemáticas, linkeado acá)

El director español Alejandro Amenábar iniciará el próximo lunes en Malta el rodaje de su nueva película "Agora", un drama épico, ambientado en el siglo IV y protagonizado por la actriz británica, Rachel Weisz.

"Agora", que se rodará en Malta durante 15 semanas, será la segunda película rodada en inglés por Amenábar, tras "Los otros", que protagonizó la actriz Nicole Kidman, informó este jueves Telecinco Cinema, productora de la nueva cinta del director español, en un comunicado.
Amenábar incursionará por primera vez en el cine épico con esta película, en la que Weisz encarnará a Hypatia de Alejandría "la primera mujer científica y filósofa de Occidente que contribuyó al desarrollo de las matemáticas y la astronomía".

El director español "ha escrito una historia épica y apasionada sobre una mujer y su incansable búsqueda de la verdad", dijo la actriz protagonista de cintas como "Enemigo a las puertas" o "El jardinero fiel", por la que ganó un Oscar a la mejor interpretación de reparto.
"Alejandro se sumerge en el corazón de la oscuridad y de la belleza de lo que representa ser humano. Estamos a punto de comenzar una aventura increíble", añadió Weisz, quien estará acompañada por actores como Max Minghella ("Syriana"), Rupert Evans ("Hellboy") o el veterano Michael Lonsdale ("Munich", "Ronin" o "Moonraker").

La película se ambienta en las revueltas religiosas en la Alejandría del Egipto controlado por el imperio romano, en cuya famosa biblioteca Hypatia trata de salvar la sabiduría encerrada entre sus muros.

El director de películas como "Mar adentro", por la que ganó un Oscar a la mejor película extranjera, destaca su deseo de hacer revivir al espectador el esplendor del mundo antiguo.
"Resulta sorprendente como un mundo legendario: la biblioteca de Alejandría, la Vía Canópica, el Faro... parece haber sido condenado al olvido, sobre todo por el cine. El empeño de todo el equipo es devolverle a la vida con un enfoque hiperrealista, conseguir que los espectadores vean, sientan y huelan una civilización remota como si fuera su propia realidad", dijo Amenábar.
"Agora" será el resultado de tres años de trabajo de documentación llevado a cabo por el director español junto con el productor Fernando Bovaira y Mateo Gil, co-guionista del film, junto a Amenábar.

El director español contará además con un gran equipo técnico entre los que destaca el director de producción británico Guy Dyas, quien ha trabajado en la última película de Indiana Jones, "King Arthur" o "Elisabeth: la edad de oro".

Geometría en las Leyes de Kepler

De Wikipedia:












"en mismos tiempos se barren iguales áreas"

Las leyes de Kepler fueron enunciadas por Johannes Kepler para explicar el movimiento de los planetas en sus órbitas alrededor del Sol.
La segunda de ellas se puede enunciar así:

Segunda Ley (1609): El radio vector que une el planeta y el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales.

Dejemos Wikipedia y explique más simplemente: Si trazo una recta del sol hasta el planeta y después de determinado lapso -digamos de tres semanas- trazo otra recta, entonces el área barrida por el planeta es exactamente igual a la que barrerá en las tres semanas siguientes ....

Partamos con la imagen de un sol y un planeta. Imaginemos que en cierto momento se encuentra en la posición 1. Pensemos que en un cierto lapso, se traslada a la posción 2. Si el sol no ejerciera fuerza sobre él, entonces, por el principio de inercia de Galileo, el planeta seguría desplazándose en línea recta. Así, en igual lapso, se habría movido la misma distancia hasta el punto 3.

Aquí es muy fácil demostrar que -NO HABIENDO NINGUNA FUERZA- entonces en tiempos iguales se recorren áreas iguales.


Recordamos que el área de un triángulo es el semiproducto entre base y altura. Es decir, multiplico base por altura y luego divido en 2.

Cuando hay un triángulo obtuso, el área es como en el siguiente esquema:

En nuestro esquema del viaje planetario, las distancias de 1 a 2 y de 2 a 3 son iguales, porque el planeta las viaja -sin ninguna coacción- durante un miemo lapso de tiempo. Además, ambos triángulos poseen la misma altura, el trazo SB. Por tanto las áreas a1 y a2 son iguales,


En iguales lapsos de tiempo, el trazo que une el sol y el planeta barren áreas igaules .....

PERO EL SOL EJERCE ATRACCION sobre el planeta, por tanto en el camino 1-2-3, el planeta se desvía hacia el sol, "que lo trata de atrapar".

Tomando en cuenta la atracción del sol, el planeta no irá al punto 3 sino al punto 4. El esquema es como sigue:

Aproximadamente, se piensa en la posición 2 y se piensa que el efecto total en el intervalo 1-3 fue cambiar de movimiento en cierta magnitud, en la dirección de la recta S-2. Esto significa, que por efecto de la gravedad del sol, el planeta altera su movimiento en una cierta magnitud que tiene una dirección paralela a la recta S-2.

Ahora hay que comparar las áreas de los triángulos S23 y S24 y obviamente poseen igual ´rea pues,

1) tienen la misma base: S2; 2) Tienen la misma altura, pues la reacta que pasa por 34 es paralela.

Luego ambas áreas so iguales .....

¿Por qué yo digo que hasta aquí la demostración está hecha?

OJO: Hoy en día esto se demuestra con matemáticas más elevadas, esta fue la demostración que hizo el mismísimo Newton en su libro PRINCIPIA .... era capo el viejo!

Hay un divorcio entre la escuela y la vida (Tomado de El Perjurio, perdón, el Mercurio)

María del Carmen Chamorro, doctora en educación:
"Hay un divorcio entre la escuela y la vida"


Mejorar la formación docente y que los profesores integren a las clases la vida cotidiana de los alumnos son las claves para mejorar el aprendizaje de las matemáticas en los colegios, según la especialista en didáctica de la U. Complutense de Madrid.

Manuel Fernández Bolvarán
El motivo que llevó a María del Carmen Chamorro a interesarse por la forma en que se enseñan las matemáticas fue constatar que la gente "luce normal hasta que se le pide resolver un ejercicio numérico. Ahí se vuelven tontos radicales, dicen que para eso no sirven, que no entienden. Eso no es normal".Esta española lleva 32 años estudiando la didáctica de las matemáticas en los colegios y encabeza el Instituto de Ciencias de la Educación de la Universidad Complutense de Madrid. Una larga trayectoria y un diagnóstico categórico: "Las clases de matemáticas son muy aburridas".La experta vino a exponer sus ideas en la 21ª Conferencia Educacional de la Asociación de Colegios Británicos de Chile, que reúne a planteles como The Grange, Redland, Santiago College y Craighouse. Además, se reunió con docentes de Junji y Fundación Integra.
-¿Dónde está el problema?"
En que las matemáticas no son fáciles de enseñar. No es una materia que se aprenda copiando y repitiendo. Pero la escuela no se da cuenta de eso y lo que hace es darles largas listas de ejercicios a los alumnos, quienes esperan que en la prueba les aparezca uno parecido. Eso no funciona y se ve en que si uno en la prueba presenta la operación de otro modo, el niño se equivoca. Las matemáticas requieren de otros métodos e ignorar eso ha provocado la debacle que hay".
-¿Eso es válido para colegios públicos y privados?
"Son problemas parecidos, porque los docentes son formados con prismas similares. Incluso entre los países hay pocas diferencias, salvo en lugares como Francia, que tienen un mejor nivel porque invierten mucho en investigación didáctica".
-¿Qué prácticas usuales ayudan poco a que los alumnos aprendan?"
Al resolver sumas, restas, multiplicaciones o divisiones, se enseña un único método y no siempre el más fácil de comprender. Como si sólo hubiera una forma de resolver un ejercicio. Ése es un error tremendo".
-O sea, se enseña una mecánica que no siempre se entiende.
"Exacto. Y no se estimula a que los chicos busquen métodos propios de resolución. Formas quizás más artesanales, pero que entiendan mejor. Las matemáticas tienen la ventaja de que se puede llegar al resultado de distintas maneras. Si se enseña en forma dogmática, si se obliga a hacer todo como dice el maestro, no se aprende realmente".
-¿Y cómo llevar eso a la práctica?
"Un ejemplo es al dividir. En un nivel muy inicial, se les puede decir a los niños que hay unos piratas que se tienen que repartir una cantidad de monedas. Lo primero que harán es tomar las monedas y entregarlas de a una, como repartiendo cartas. Después, si se les pide hacerlo más rápido, lo harán entregando de a dos. Y así. Hasta que el niño entregue la cantidad exacta de un golpe, que es el fin de una división. En el proceso, el alumno busca su propia forma de resolver el problema y, además, comprende qué significa dividir".
-Entonces, habría que ocupar más los juegos.
"Claro. En vez de hacer recitar las tablas de multiplicar, se puede jugar al bingo. Si el profesor sortea el número 12, lo puede cantar como '3 por 4'. Y los muchachos van a esforzarse por resolver eso lo más rápido posible de alguna forma. Porque si no, pierden y a los chicos no les gusta perder. Eso es mucho más entretenido. Y también hay que incorporar los conocimientos cotidianos de los niños a la clase".
-¿En qué sentido?
"Al niño no lo engañan cuando compra golosinas. Sabe cuántas le deben dar y cuánto vuelto recibir. ¿Y acaso lleva papel y lápiz? ¿Acaso hace cuentas como le ha enseñado el maestro? No. Y no lo engañan, pero después se equivoca en la prueba. Ahí hay un divorcio entre la vida y la escuela. Eso no puede ser: la escuela tiene que ayudar al alumno en su vida, no ponérsela difícil".-El recurrir a ejemplos cotidianos no siempre convence a los educadores, porque pueden distraer a los niños de los contenidos de fondo."Es que hay que ver los ejemplos que se usan. Muy típico es plantear 'diez obreros cavan una zanja en 3 horas, ¿cuánto tardarán 30 obreros en cavar la zanja?'. Eso es absurdo. ¿Alguien ha visto alguna vez 30 obreros cavando una zanja? ¡No podrían ni moverse! Es un problema que carece de realismo. Los ejemplos deben ser razonables".
-¿Cómo producir ese cambio?
"Hay que mejorar la formación inicial de maestros, entregarles mejores métodos de didáctica para las matemáticas. Si sabemos que enseñar estos contenidos no es fácil, debemos corregir eso y darles a los profesores, durante su carrera, instancias para ir actualizándose según los avances que generan las nuevas investigaciones".
Dos textos de María del Carmen Chamorro están disponibles en Chile. Se trata de "Didáctica de las Matemáticas Preescolar" (2005) y "Didáctica de las Matemáticas Primaria" (2003), en que presenta ideas concretas para que los profesores apliquen en la sala de clases. Ambos libros son editados por Pearson."No son reflexiones en abstracto, sino estrategias concretas, probadas en la práctica. Las he visto funcionar personalmente en colegios de las barriadas pobres de Madrid", explica Chamorro, quien dice que su idea era la de entregar a los maestros una ayuda para mejorar sus clases.Innovar en la enseñanza"Se insiste mucho en que los niños no usen los dedos para sacar cuentas. ¿Por qué? ¡Si es un recurso utilísimo! ¿Acaso la escuela es para mancos? Los dedos son como las rueditas chicas de la bicicleta. Que los niños los usen mientras los necesiten. Si no, vamos a tener adultos que sacan cuentas con los dedos".
"¿Por qué somos tan fariseos de prohibir en la escuela la calculadora? 'Es que si no, aprenden a calcular a mano. ¿Qué será de ellos cuando no tengan una calculadora?', dicen los profesores. Pero esa situación es muy improbable... quizás cuando escalen el Everest. Pero ahí creo que se morirían de frío antes que por no poder hacer una multiplicación"."No creo que la solución sea reformar el currículum. La experiencia me dice que hacer un cambio curricular es la mejor forma de no cambiar nada. Lo que se debe transformar son las metodologías, la forma de hacer clases. Ésa es la clave en Chile, en España y en todas partes".
"Camila toma el dinero de su alcancía y gasta en un barquillo $399; además, se compra un chocolate de $150, quedándole $167. ¿Cuánto dinero tenía Camila en su alcancía?". www.sectormatematica.clIdeas probadasDos textos de María del Carmen Chamorro están disponibles en Chile. Se trata de "Didáctica de las Matemáticas Preescolar" (2005) y "Didáctica de las Matemáticas Primaria" (2003), en que presenta ideas concretas para que los profesores apliquen en la sala de clases. Ambos libros son editados por Pearson."No son reflexiones en abstracto, sino estrategias concretas, probadas en la práctica. Las he visto funcionar personalmente en colegios de las barriadas pobres de Madrid", explica Chamorro, quien dice que su idea era la de entregar a los maestros una ayuda para mejorar sus clases.
MARÍA DEL CARMEN CHAMORRO
Es licenciada en Ciencias Matemáticas y doctora en Educación. Ha escrito varios libros sobre didáctica de las matemáticas y, actualmente, dirige el Instituto de Ciencias de la Educación de la U. Complutense de Madrid.

lunes, 28 de abril de 2008

Qué sale de esta máquina como resultado imprimible?

Respuesta en el comentario ....

Autofelicitaciones !!!!!

pasamos las 1.000 visitas !!!!

Encontrar el valor del ángulo x, usando dos métodos


Solución al anterior problema


Aquí se ha usado:
Primera solución:
1) Los ángulos opuestos por vértice son iguales.
2) Un triángulo que posee dos lados que son radios de una circunferencia es isósceles, por tanto sus ángulos basales son iguales.
Segunda solución:
3) Un ángulo del centro mide el doble que su ángulo inscrito.
4) La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360 grados.

Desafío al ingenio !!!!!


Tomado de la página: La habitación de mi gato .....

Haciendo escombro de mis cosas encontré una hoja con problemas de matemáticas interesantes, iré poniendo algunos así como su solución. Dejo aquí el primero de ellos:

Se eligen cuatro dígitos del conjunto {1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

Se forman con estos dígitos elegidos todos los posibles números de cuatro cifras distintas.La suma de todos los números generados es 193314.

Sin usar calculadora ni computadora, ¿cómo sabemos cuáles son los dígitos que se eligieron?

Reacción al anterior planteamiento

Lo primero que debemos recordar para solucionar este acertijo es lo que significa un número en el sistema decimal .... por ejemplo, el número
12.308 = 1 x 10.000 + 2 x 1.000 + 3 x 100 + 0 x 10 + 8

Ahora, pensemos que las cuatro cifras escogidas - de entre 1,2,3,4,5,6,7,8,9 - son x, y, z, u.

Con cuatro cifras, se pueden formar 4 ! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 números,

porque si pensamos que debemos llenar cuatro casilleros, se pueden poner 4 en el primero, pero sólo 3 en el segundo (porque ya uno está puesto en el primero) y así dos en el tercero y la cifra que queda en el último.

Usando las cuatro letras para designar los ´TODOS los posibles números a generar, demosno el trabajo de explicitar los 24 números: Si Ud. se fija,
x tiene peso 1.000 en 6 oportunidades,
y tiene peso 1.000 en 6 oportunidades,
z tiene peso 1.000 en 6 oportunidades,
u tiene peso 1.000 en 6 oportunidades.

x tiene peso 100 en 6 oportunidades, y tiene peso 100 en 6 oportunidades, z tiene peso 100 en 6 oportunidades, u tiene peso 100 en 6 oportunidades.

x tiene peso 10 en 6 oportunidades, y tiene peso 10 en 6 oportunidades, z tiene peso 10 en 6 oportunidades, u tiene peso 10 en 6 oportunidades.

x tiene peso 1 en 6 oportunidades, y tiene peso 1 en 6 oportunidades, z tiene peso 1 en 6 oportunidades, u tiene peso 1 en 6 oportunidades.

De lo anterior se desprende:

6000 x + 6000 y + 6000 z + 6000 u + 600 x + 600 y + 600 z + 600 u + 60 x + 60 y + 60 z + 60 u + 6 x + 6 y + 6 z + 6 u = 193.314

es decir,

6.666 x + 6.666 y + 6.666 z + 6.666 u = 193.314

factorando,

6.666 ( x + y + z + u ) = 193.314

de donde x + y + z + u = 29

y por simple asociación de números, x,y,z,u deben ser: 5, 7, 8, 9.

AYUDA: Encontrar estos 4 números se debe al pensamiento lógico. Supungamos que deseamos descartar al 9. Como 29 es un número alto, es muy probable que deba estar el 8. Si está en 8, me faltarán 21 unidades para llegar al 29. Pongamos el 7, 8 + 7 = 15, me faltan 14 unidades. Para formar un 14 necesitaría dos números:

(9 y 5), descartados porque ya dijimos que no al 9. (8 y 6) NO porque ya ocupamos en 8. (7 y 7) NO porque sólo podemos usar un 7. (10 y 4) NO porque sólo usamos números del 1 al 9.

Queda enteramente resuelto !!!!!

Autor de la solución, Claudio Escobar Cáceres.

domingo, 27 de abril de 2008

Totalización Matemática I: El Programa de Hilbert.


El gran matemático David Hilbert, tras 30 años de logros creativos en la frontera de las matemáticas, penetró en lo que para muchos fue el callejón sin salida del reductivismo: En los últimos años se dedicó a crear un programa de formalización que apuntaba a reducir todas las matemáticas a una colección de proposiciones formales, usando un alfabeto finito de símbolos, axiomas y reglas de inferencia.


Entonces Hilbert propuso resolver los problemas matemáticos encontrando un proceso de decisión general que determinara, dada cualquier proposición formal compuesta de símbolos matemáticos, si era verdadero o falsa. Lllamó a este problema ENTSCHEIDUNGSproblem. Este mecanismo, soñaba Hilbert podría resolver todos los problemas matemáticos famosos no resueltos ..... Para ello, el protocolo que generaría, debería operar sobre símbolos de una manera totalmente mecánica, sin que fuese necesario incluso conocer los significados.

Para ello quiso revisaar todos los conocimientos matemáticos y aceptar de ellos las premisas básicas que le ayudaran a construir este entramado gigantesco ..... A pesar de los esfuerzos de Hilbert y sus discípulos, el ENTSCHEIDUNGSproblem jamás se resolvió.
En Wikipedia:
David Hilbert (23 de enero de 1862, Königsberg, Prusia Oriental14 de febrero de 1943, Göttingen, Alemania) fue un matemático alemán, reconocido como uno de los más influyentes del siglo XIX y principios del XX. Estableció su reputación como gran matemático y científico inventando o desarrollando un gran abanico de ideas, como la teoría de invariantes, la axiomatización de la geometría y la noción de espacio de Hilbert, uno de los fundamentos del análisis funcional. Hilbert y sus estudiantes proporcionaron partes significativas de la infraestructura matemática necesaria para la mecánica cuántica y la relatividad general. Fue uno de los fundadores de la teoría de la demostración, la lógica matemática y la distinción entre matemática y metamatemática. Adoptó y defendió vivamente la teoría de conjuntos y los números transfinitos de Cantor. Un ejemplo famoso de su liderazgo mundial en la matemática es su presentación en 1900 de un conjunto de problemas que establecieron el curso de gran parte de la investigación matemática del siglo XX. Algunos historiadores siempre han creído que David Hilbert descubrió las ecuaciones correctas para la relatividad general antes que Einstein. Sin embargo esto nunca ha sido probado.

Totalización Matemática II: Chaitin nos habla en torno al Programa de Hilbert

Extracto NO editado de Aleatoriedad en Aritmética y la declinación y caída del reduccionismo en matemáticas puras, por Gregory J. Chaitin


La idea de Hilbert es la culminación de dos mil años de tradición matemática, empezando con el tratamiento axiomático de la geometría de Euclides, el sueño de una lógica simbólica de Leibnitz y la monumental obra Principia Mathematica de Russell y Whitehead. El sueño de Hilbert era clarificar de una vez por todas los métodos de razonamiento matemático. Quería formular un sistema axiomático formal que abarcara todas las matemáticas.

Hilbert destacó una cantidad de propiedades clave que son necesarias para este sistema axiomático formal. Es como un lenguaje de programación computacional. Es una afirmación precisa sobre los métodos de razonamiento, los postulados y los métodos de inferencia que nosotros aceptamos como matemáticos. Hilbert estipuló, además, que el sistema axiomático formal que abarcara todas las matemáticas que quería construir, debería ser "consistente" y "completo".

"Consistente" significa que usted no podría probar una afirmación y su contradictoria. No podría probar A y no A. Sería muy desconcertante. "Completo" significa que si usted hace una afirmación con sentido, podría establecerla de una u otra manera. Eso significa que A o no A serían un teorema, comprobable desde los axiomas y empleando las reglas de inferencia en el sistema axiomático formal.

Considere usted una afirmación significativa A y su contradictoria no A. Exactamente una de las dos debería ser probada si el sistema axiomático formal es consistente y completo.

Un sistema axiomático formal es como un lenguaje de programación. Hay un alfabeto y reglas gramaticales; en otras palabras, una sintaxis formal. Es un tema con el que ahora estamos familiarizados. Reflexione usted sobre los tres enormes volúmenes llenos de símbolos de Russell y Whitehead, y sentirá que está ante un enorme programa computacional en un lenguaje de programación incomprensible.

Ahora hay un hecho muy sorprendente. "Consistente y Completo" significa sólo la verdad y toda la verdad. Parecen ser requisitos razonables. Sin embargo, hay una consecuencia graciosa relacionada con lo que llamamos el problema de la decisión. En alemán es llamado Entscheidungsproblem. Hilbert atribuyó gran importancia a este problema.

Al resolver el problema de la decisión para un sistema axiomático formal, usted tendrá un algoritmo que le permitirá decidir si una afirmación significativa dada es o no un teorema. Una solución al problema de la decisión es el llamado procedimiento de decisión.

Esto suena mal. El sistema formal axiomático que Hilbert quería construir habría incluido todas las matemáticas: aritmética elemental, cálculo, álgebra, todo. Si existe un procedimiento de decisión las matemáticas quedan obsoletas. Este algoritmo, este procedimiento mecánico, puede comprobar si algo es teorema o no; puede comprobar si es verdadero o no. Así, requerir que exista este procedimiento de decisión para este sistema axiomático formal suena como si estuviéramos pidiendo demasiado.

Sin embargo, es muy fácil darse cuenta de que si es consistente y completo debe haber un proceso de decisión. Es así como se hace. Se tiene un lenguaje formal con un alfabeto finito y una gramática. Y Hilbert recalcó que lo más importante en el sistema axiomático formal es que exista un procedimiento mecánico para comprobar si una demostración significativa es o no correcta, si obedece o no las reglas. Es la noción de que la verdad matemática debería ser objetiva, de modo que todos podamos saber si una prueba sigue o no las reglas.

Así, si éste es el caso, hay que recorrer todas las demostraciones en orden de tamaño, y mirar toda la secuencia de símbolos del alfabeto del largo de un, dos, tres, cuatro, mil, mil una... cien mil caracteres de largo. Usted aplica el procedimiento mecánico, que es la esencia del sistema axiomático formal, para comprobar la validez de cada prueba. Naturalmente la mayor parte del tiempo serán disparates, serán agramaticales. Pero eventualmente usted encontrará toda demostración posible, pero sólo en principio, por supuesto. El número crece en forma exponencial y eso es algo que usted no podría hacerlo en la práctica. Nunca llegaría a demostraciones de una página de largo.

En principio puede recorrer todas las demostraciones posibles, comprobar cuáles son válidas, ver qué demuestran y de ese modo puede encontrar sistemáticamente todos los teoremas. En otras palabras, hay un algoritmo, un procedimiento mecánico para generar uno por uno cada teorema que pueda demostrarse en un sistema axiomático formal. Entonces, si para cada afirmación significativa en el sistema, o la afirmación es un teorema o lo es su contradictoria, sólo una de ellas, usted llega a un procedimiento de decisión. Para saber si una afirmación es teorema o no, sólo debe recorrer todas las demostraciones hasta encontrar si la afirmación proviene de un teorema, o prueba la afirmación contradictoria.

Parece que Hilbert realmente creyó que iba a resolver de una vez y para siempre todos los problemas matemáticos. Suena increíble pero aparentemente fue así. Creyó ser capaz de encontrar un sistema formal axiomático completo para todas las matemáticas, y desde ahí obtener un proceso de decisión para todas ellas. Esto sólo sigue la tradición formal y axiomática de las matemáticas.

Estoy seguro que no creyó que éste sería un procedimiento de decisión práctico. El que yo he esbozado funcionaría sólo en principio. Es exponencialmente lento: ¡terriblemente lento! Totalmente impracticable. Pero la idea era que, si todos los matemáticos pudieran estar de acuerdo en que una demostración es correcta, consistente y completa, ello podría entregar en principio un procedimiento de decisión para resolver automáticamente cualquier problema matemático.

¡Por supuesto el único problema con este inspirado proyecto es que resultó ser imposible!
Nota del Blogger: Quien demostró que el programa de Hilbert es imposible fue finalmente Kurt Godel, del cual hay varios posteos en este BLOG.

sábado, 26 de abril de 2008

Queda demostrado que

Queda enteramente demostrado que
El SEXO es pura DIVERSION
(para los que no cacharon: SEX = FUN)

Inducción Matemática (Demostraciones por Inducción)

(TEXTO: Extracto editado del libro de Polya: "Cómo plantear y cómo resolver un problema")

La inducción es un modo de razonar que conduce al descubrimiento de leyes generales a partir de la observación de ejemplos particualres y de sus combinaciones. Se emplea en todas las aciencias, aún en las matemáticas, donde se focaliza a la demostración de ciertos tipos de teoremas.

realicemos primero una:

INDUCCION SIMPLE
(no como protocolo de demostración)

Casualmente podemos observar que:


1 + 8 + 27 + 64 = 100


Y, constatando que dichos numeros son cubos y su suma un cuadrado, podemos presentar esta observación bajo la forma siguiente:


¿Sucederá siempre que la suma de cubos de números consecutivos sea siempre un cuadrado?

Un científico partiría por tratar de comprobar otros casos, encontrando:


El hecho de que estas diversas sumas de cubos consecutivos sean cuadrados dificilmente puede atribuirse al azar .... Así en primera instancia podríamos decir -por inducción simple: "la suma de los primeros n cubos es un cuadrado .....

Luego la fórmula, la podemos expresar de manera más aprecisa ahora, nuevamente induciendo ....
Pero esta expresión aún es posible simplificarse, porque la suma de la derecha posee una fórmula. Efectivamente es posible disponer una fórmula para:

1+2+3+4+5+6+ .......... + (n-2) + (n-1) + n

Esta fórmula es:

Esta fórmula es fácilmente demostrable y se basa en el mismo tipo de argumentos antes visto en la "Suma de Gauss". Pensemos en la suma que queremos lograr, llamémosla "S":

Escribámosla al revés:

Y luego procedamos a sumar ambas sumas S:



Entonces, tras nuestra inducción intuitiva, la gran fórmula que hemos construido es:

Hsata aquí hemos estado pirateando a POLYA !!!!!

Esta es la fórmula que ahora procederemos a DEMOSTRAR por INDUCCION COMPLETA, un protocolo matemático establecido. Nótese que comstruimos la fórmula inductivamente, pero no bajo el protocolo que es conocido como Inducción Matemática y que ahora revisaremos:


INDUCCION COMPLETA
(Como protocolo de demostración)

La Inducción Completa posee un protocolo que resumimos a contiuación:

1) Se verifica si la fórnula se cumple para algunos casos sencillos, los más fáciles, los iniciales.

2) Se supone que se cumple para n.

3) A partir de la aceptación de cumplirse para n, se comprueba que parmanece cierta para el siguiente entero (n+1).

Demostremos entonces el teorema-fórmula anterior:

Hay que demostrar que, para n natural:

Procedamos paso a paso los tres elementos del protocolo anteriomente descrito:

1) Se verifica si la fórnula se cumple para algunos casos sencillos, los más fáciles, los iniciales.

para n = 1






Se cumple la fórmula !

para n= 2






Se cumple la fórmula !

2) Se supone que se cumple para n.

Aceptamos entonces que se cumple para n:

3) A partir de la aceptación de cumplirse para n, se comprueba que parmanece cierta para el siguiente entero (n+1).

Sumemos (n+1) al cubo a la fórmula anterior:

Fíjense que la fórmula es como si en n hubiésemos reemplazado (n+1) .....

Se CUMPLE para (n+1) !!!!! q.e.d.

- - - - -

Que dice la Enciclopedia Encarta de lo que es la inducción?

Inducción matemática, axioma y a veces método de demostración usando el axioma de inducción. La inducción matemática no debe confundirse con la inducción en otros campos, en donde se define como la técnica de extracción de conclusiones generales a partir de un gran número de casos o experimentos individuales. En matemáticas, esta conclusión, aunque pueda parecer completamente razonable, puede ser falsa. Sin embargo, la inducción matemática se usa a menudo para verificar, o probar, una conjetura obtenida mediante inducción no matemática. Hablando con precisión, el axioma de inducción dice: si M es un conjunto de enteros positivos, con las siguientes propiedades
IA. M contiene al entero 1, y,
IIA. si M contiene al entero n, se puede demostrar que M contiene además al entero n + 1,
entonces M contiene a todos los enteros positivos.
La primera parte del axioma de inducción, IA, suele llamarse base, y la segunda parte, IIA, parte inductiva. El axioma de inducción es útil para demostrar ciertas expresiones matemáticas. Suponiendo que la proposición P(n) es verdadera o falsa dependiendo sólo del valor de la n, el axioma de inducción se puede utilizar para demostrar que si
IB. P(1) es verdadera, y
IIB. el saber que P(n) es verdadera, implica que P(n+1) es también verdadera,
entonces P(n) se cumple para cualquier n.
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Editorial; Ciencia y Rebeldía

NO existe una visión hegemónica de lo que es la ciencia. La ciencia más bien, es un rompecabezas, un collage difuso de miradas a veces incluso conflictivas unas para con otras. No obstante hay un elemento inherente que permea a todas estas visiones: la ciencia es una rebelión frente a las imposiciones levantadas por la cultura prevaleciente.
La ciencia dibujada como subversión tiene data e historia larga, para ello basta invocar los casos de Galileo y Giodano Bruno. Sin embargo hay casos más actuales como el de Chandler Davis que en 1957 estuvo convicto debido a que se negó a delatar a amigos cuando fue interrogado por la House of Unamerican Activities Committee o el caso de Kapitsa apelando a Stalin por la vida del físico Landau para salvarlo -en la Unión Soviética- del presidio y de una muerte segura.
Si la ciencia no dejara de ser una rebelión contra la autoridad, no merecería los mejores talentos de nuestros hijos e hijas.
Tal como dice "Freeman Dyson", "deberíamos tratar de introducir a nuestros niños(as) en la ciencia como una rebelión contra la pobreza, la fealdad, el militarismo y la injusticia económica".
"Creo que una de las cosas para aprender de Freeman Dyson es que no se puede ser un científico que se respete a si mismo sin ser al mismo tiempo un rebelde", ( Roger Penrose).

La Suma del pequeño Gauss

Uno de los garndes de la matemática, Carl F. Gauss, tenía en 1787 sólo diez años de edad, cursaba su educación primaria. En su clase, un día en que la clase tenía mal comportamiento, el profesor molesto ordenó a todos los niños que, como castigo, le sumaran todos los números de 1 al 100.

El joven Gauss demoró escasos instantes en entregar la respuesta perfecta en su pequeña pizarra: 5050.

Y eso que NO nunca comenzó a sumar como sus compañeros. ¿Qué hizo Gauss ? Utilizó su lógica para darse cuenta de un aspecto interesante de aquella sucesión ....

¿Cómo lo hizo el pequeño Gauss para obtener tan rápido la solución?


viernes, 25 de abril de 2008

Contrato Didáctico y su NECESARIA Ruptura

Si se interpreta –el contrato didáctico- en términos de juego, puede decirse que en la si­tuación didáctica juegan al menos dos jugadores: el alumno y el pro­fesor. Uno de los jugadores, el profesor, busca que el otro jugador, el alumno, se apropie, responsabilice o haga suya una situación de aprendizaje …..

Si el contrato se establece sobre reglas de comportamiento del profesor y el alumno, entonces su respeto escrupuloso condenaría la relación didáctica al fracaso. De hecho el contrato pone a profesor y alumno ante una paradoja: si aceptan que, como indica una cláusula del contrato, el profesor "enseñe" los resultados al alumno, entonces éste no puede establecerlos por sí mismo y, por tanto, no aprende matemáticas. El aprendizaje no descansa, en realidad, sobre el buen funcionamiento del contrato sino sobre sus rupturas ….

Ecuaciones con RADICALES - Miradas alternativas

En un colegio un niño dicta mal un ejercicio de una guía y transforma la ecuación con radicales, a una que no posee solución. El error de dictado fue que el radical de la derecha, debía tener un 8 en vez del 7. Intentamos resolver, la ecuación mal dictada: Tras intentar resolverla, llegamos a un resultado que luego no satisface la ecuación. Veamos el procedimiento: Esta raíz no verifica la igualdad al sustituirla en la ecuación .... Por lo tanto la ecuación no tiene solución o su solución es el conjunto vacío. Veamos los pasos ..... Pero EUREKA, se ocurre utilizar GRAPHMATICA para graficar cada uno de los lados de le ecuación y resulta:

Queda MUY bien demostrado -gráficamente- que no hay solución pues las gráficas de cada uno de los lados de la ecuación NO se cortan ......

¿Hay o no hay error en este razonamiento?

jueves, 24 de abril de 2008

Olimpiadas de matemáticas

¡Comenzaron las Inscripciones al CMAT Media 2008!
Por Rurouni Kenshin -

Así es, la 6° versión del Campeonato Escolar de Matemáticas para la Enseñanza Media (CMAT-Media) ya abrió su proceso de inscripciones a todos los colegios y alumnos de las ciudades: Arica, Iquique, Antofagasta, Valparaíso, Santiago, Talagante, Melipilla y Rancagua (y sus alrededores). Únete a esta competencia que busca potenciar la matemática y descubrir talentos en esta disciplina en nuestro país.En el CMAT Media 2007 participaron más de 1500 alumnos de todo Chile.La versión 2008 será una competencia que consta de 6 fechas, la primera de ellas el sábado 10 de Mayo a las 12.30 hrs, y hay competencias individuales, por equipos y por Colegios.Para saber más del CMAT Media 2008 pincha aquí o escríbenos para resolver tus dudas al mail cmat@fermat.usach.cl o cmat2008@gmail.com

¿ Qué es un Agujero Negro ?

AGUJEROS NEGROS y la MORATORIA DE LA ENTROPIA :

“Al parecer, dice S. Hawking, no son muy abundantes por aquí”
(Refiriéndose a los Agujeros Negros).

“El término agujero negro tiene un origen muy reciente. Fue acuñado en 1969 por el científico norteamericano John Wheeler como la descripción gráfica de una idea que se remonta hacia atrás en un mínimo de 200 años, a una época en que había dos teorías sobre la luz: una, preferida por Newton, que suponía que la luz estaba compuesta por partículas, y la otra que asumía que estaba formada por ondas. Hoy en día sabemos que ambas teorías son correctas. Debido a la dualidad onda/corpúsculo de la mecánica cuántica, la luz puede ser considerada como una onda y/o como una partícula. En la teoría de que la luz estaba formada por ondas, no quedaba claro como respondería ésta ante la gravedad. Pero si la luz estaba compuesta por partículas, se podría esperar que éstas fueran afectadas por la gravedad del mismo modo que lo son las balas, los cohetes y los planetas. Al principio, se pensaba que las partículas de la luz viajaban con infinita rapidez, de forma que la gravedad no hubiera sido capaz de frenarlas, pero el descubrimiento de Roemer de que la luz viaja a una velocidad finita, significó el que la gravedad pudiera tener un efecto importante sobre la luz.

Bajo esta suposición, un catedrático de Cambridge, John Michell, escribió en 1783 un artículo en el Philosophical Transactions of the Royal Society of London en el que señalaba que una estrella que fuera suficientemente masiva (con mucha masa) y compacta tendría un campo gravitatorio tan intenso que la luz no podría escapar: la luz emitida desde la superficie de la estrella sería arrastrada de vuelta hacia el centro por la atracción gravitatoria de la estrella, antes de que pudiera llegar muy lejos. Michell sugirió que podía haber un gran número de estrellas de este tipo. A pesar de que no seríamos capaces de verla porque su luz no nos alcanzaría, sí notaríamos su atracción gravitatoria. Estos son los objetos que hoy llamamos agujeros negros, ya que esto es precisamente lo que son: huecos negros en el espacio. (S. Hawking, Historia del tiempo – del Big Bang a los agujeros negros-)”.

Físicamente, toda acumulación de masa genera un campo gravitatorio a su alrededor cuya potencia depende de la cantidad de masa y también del tamaño que tenga esa acumulación. Por esta razón, por ejemplo, una nave espacial que debe escapar de nuestro planeta, necesita poseer suficiente energía para vencer la atracción gravitatoria terrestre. Si a la nave se le imprime una velocidad menor que la necesaria para que escape (11,2 km/seg) caerá a la Tierra, imposibilitada de salir.

Cuanto más masivo sea un astro (sea planeta o estrella) mayor será la velocidad de escape del mismo; debe tenerse presente entonces, que en objetos muy masivos (enanas blancas o estrellas de neutrones) la atracción gravitatoria es enorme.
La teoría indica que los objetos llamados agujeros negros se formarían cuando una cantidad apreciable de materia cósmica se acumula en un volumen extremadamente reducido del espacio; por ejemplo, luego del colapso de una estrella.

En un agujero negro, la fuerza de atracción que ejerce su gravedad es tan intensa que la materia se comprime hasta límites increíbles; al adquirir un estado tan denso, la gravedad resulta tan elevada que ni la luz puede escapar de él. Cualquier cuerpo que se aproxime a esa región, conocida como horizonte de suceso, sería absorbido hacia el interior del agujero negro, donde la densidad de la materia es infinita, y acabaría completamente destruido. Por esta causa el objeto no será observable: será "negro", a decir por los astrónomos. La denominación de "agujero" surge al designar al cuerpo del que no puede escapar nada a causa de su gravedad y que parece absorber toda la materia circundante.

Se ha calculado que las dimensiones de un agujero negro no superarían 1 km de diámetro, y que le correspondería una cantidad de masa entre una similar a la de la Tierra y masas equivalentes a varios miles de soles.

Los astrónomos han estimado que la materia atraída hacia un agujero negro será fuertemente acelerada por su gravedad y, por lo tanto, las partículas que la componen entrarán en un estado de continua colisión mutua, cayendo a muy grandes velocidades en una curva de forma espiral. Por consiguiente, en los alrededores de un agujero negro se creará un violento torbellino, en el cual la materia trata de penetrar en un muy pequeño volumen del espacio.

El continuo choque de partículas acaba calentándolas muy intensamente y dando lugar a una radiación muy fuerte de energía. Si la temperatura alcanza a ser suficientemente elevada como para alcanzar los millones de grados (lo cual es muy probable en esas circunstancias), se puede detectar ese torbellino mediante observaciones de la radiación en Rayos X (Esta característica de emitir rayos “X” ha llevado a Hawking a afirmar que los agujeros negros NO SON TAN NEGROS, es decir se pueden observar a partir de estas emisiones).

Hasta el momento no existe ninguna prueba concluyente de la existencia de agujeros negros. Por ser invisibles, sólo podrían ser detectados a través de sus efectos gravitacionales sobre otros cuerpos celestes, o bien en el caso singular de que se halle junto a otra estrella formando un sistema doble. Existe un sistema binario en la constelación del Cisne, donde se ha observado una potente fuente de Rayos X; aparentemente es de una de las dos componentes del sistema, justamente aquella que no es visible. Los datos recogidos de un sistema doble sugieren que un enigmático objeto (que sería muy pequeño), tendría masa suficientemente grande como para ser identificado como serio candidato a agujero negro. En 1972, de detectó a través de rayos X el primer posible agujero negro: Cygnus X-1, a 14.000 años luz de nosotros.

Por otra parte se detectaron fuertes radiaciones de Rayos X en determinadas regiones del espacio; muchas de esas fuentes X son de carácter explosivo, lo que implicaría que podrían ser debidas también a agujeros negros. Algunos núcleos de galaxias además, son muy difíciles de identificar con algo conocido, por lo que algunos científicos consideran que podrían vincularse también con fenómenos similares a los agujeros negros.

Algunos físicos han sugerido la idea de que un agujero negro podría tener una salida –denominada agujero blanco- por donde toda la materia y energía engullida sería expulsada, bien en otra región del Universo, o bien en un universo paralelo (Ver sección Multiverso).

AGUJEROS Y MORATORIA : Por otra parte, la fuerza gravitatoria no ha podido, con su gradiente de entropía, concentrar las masas en agujeros negros: el tirón que hace que la materia se precipite en un derrumbe hacia el espacio interior de dicho agujero. Desde la física de Newton se sabe el estilo de acción de la fuerza gravitacional: es proporcional al valor de las masas e inverso al cuadrado de las distancias. ¿Por qué entonces las masa están separadas, por qué conservan sus distancias aparentes, por qué no se convocan en un sólo punto y arman un agujero negro final? En otras palabras, la fuerza gravitacional está sin cumplir su tenaz propósito entrópico: concentrar las masas en agujeros negros. ¿Por qué? La respuesta la sabemos todos hoy: porque el universo se halla en expansión. Porque hubo una explosión inicial o Big Bang cuya velocidad de escape no dejó actuar a la gravedad. Stephen Hawking ha propuesto que si la densidad hubiese sido mayor en sólo una millonésima parte, la gravedad habría podido hacer su trabajo: frenar la voladura, obligarla a retornar y en sólo diez años hacer colapsar en un Big Crunch a ese universo recién nacido.

Colisiones Galácticas en sitio del Telescopio Hubble

Destrucción y Renacimiento de Galaxias - 59 imágenes
sitio Telescopio Hubble
http://hubblesite.org

Física Actual - Charla


Tema: ¿Qué son los agujeros negros?
Expositor: Jorge Zanelli.
Lugar: Av. República 252, Sala 002
Hora: 19:00
Organiza: Universidad Andrés Bello - Grandes Ideas de la Física Contemporánea.
Gratuito.

¿ Cómo llenar un Sudoku ?

Mucha gente no sabe como iniciar el desarrollo de un SUDOKU .... Aquí algunas sencillas pistas ....

Primero: ¿ Qué es un SUDOKU ? (Yo le llamaría SUDAdoku porque algunos me han hecho SUDAR !!!!

El Sudoku es un juego de ingenio que consiste es un cuadrado de 81 casillas, divididas en nueve cajas de nueve casillas cada una. Al comienzo del juego, algunas casillas contienen números del 1 al 9. El objetivo es llenar las restantes también con cifras del 1 al 9, de modo que en cada fila, en cada columna y en cada caja aparezcan solamente esos nueve números SIN repetirse.

Veamos un SUDOKU sencillo .... así sale en el diario ....
Si te fijas en los tres subcuadros superiores, hay un tres en la fila de arriba y en la de abajo .....Miremos ahora el 8 que hay en los dos primeros subcuadrados de la fila de arriba, para poner un 8 en el tercer subcuadrado de la misma fila de arriba, pero en el marco de la tercera subcolumna: Y el sudoku se nos va llenando ..... ahora estamos en:Ahora Ud. puede seguir llenando ..... y trabajando sobre esta lógica llegamos a: (está bien?)

De Wikipedia:

Sudoku (en japonés: 数独, sūdoku) es un pasatiempo que se popularizó en Japón en 1986, aunque es originario de Estados Unidos (1979), y se dio a conocer en el ámbito internacional en 2005. Un sudoku está bien planteado si la solución es única. La resolución del problema requiere paciencia y ciertas dotes lógicas.

En Wikipedia, temas interesantes:

1) Métodos de resolución; 2) Grado de dificultad (¿Tiene que ver con la cantidad de números que nos dan o con la posición de ellos?); 3) Resolución Computacional.

en:

http://es.wikipedia.org/wiki/Sudoku