Lagunas de números PRIMOS (Precioso !)

Editado de Matemática ... ¿Estás ahí?, x Adrián Paenza.

LAGUNAS de números PRIMOS.

Uno de los problemas más interesantes de la matemática es tratar de descubrir un patrón en la distribución de los números primos. Es decir: ya sabemos que son infinitos.

Miremos ahora los primeros cien números naturales. En este grupo hay 25 que son primos (aparecen en rojo). Es fácil encontrar tres números consecutivos que no sean primos: 20, 21, 22. Hay más en la lista, pero no importa. Busquemos ahora una tira de cuatro números consecutivos que no sean primos: 24, 25, 26, 27 sirven (aunque todavía está el 28 para agregar a la lista). Y así siguiendo, uno puede encontrar “tiras” de números (consecutivos) de manera tal que sean “no primos” o “compuestos”.

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,12, 13, 14,15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100.

La pregunta es: las tiras, ¿pueden tener cualquier longitud? Es decir: si yo quiero encontrar diez números consecutivos tal que ninguno sea primo, ¿la podré encontrar? ¿Y si quiero encontrar cien seguidos, todos compuestos? ¿Y mil?

Lo que quiero tratar de contestar es que, en verdad, uno puede “fabricarse” tiras de números consecutivos tan grande comouno quiera, de manera que ninguno de ellos sea un número primo. Este hecho es bastante singular, teniendo en cuenta que el número de primos es infinito. Sin embargo, veamos cómo hacer para demostrarlo.

Primero, quiero dar aquí una notación que es muy útil y muy usada en matemática: se llama factorial de un número n, y se escribe n!, al producto de todos los números menores o iguales que n.

Por ejemplo:

1! = 1 (y se lee, el factorial de 1 es igual a 1)
2! = 2 . 1 = 2 (el factorial de 2 es igual a 2)
3! = 3 . 2 . 1 = 6 (el factorial de 3 es igual a 6)
4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24
5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720
10! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1= 3.628.800

Como se ve, el factorial va aumentando muy rápidamente. En general,
n! = n . (n-1) . (n-2) . (n-3)… 4 . 3 . 2 . 1

Ahora bien: es bueno notar (e importante que ustedes lo piensen) que el factorial de un número n es, en realidad, un múltiplode n y de todos los números que lo preceden.

Es decir:

3! = 3 . 2, es un múltiplo de 3 y de 2
4! = 4 . 3 . 2, es un múltiplo de 4, como de 3, como de 2
5! = 5 . 4 . 3 . 2 = es un múltiplo de 5, de 4, de 3 y de 2.

Luego,

n! es un múltiplo de n, (n-1), (n-2), (n-3),…, 4, 3 y de 2.

Una última cosa antes de construir “tiras” de números compuestos o “no primos”. Si dos números son pares, su suma es par. O sea, si dos números son múltiplos de 2, la suma también. Si dos números son múltiplos de 3, la suma también. Si dos números son múltiplos de 4, la suma también. ¿Descubren la idea general? Si dos números son múltiplos de k, entonces la suma es también múltiplo de k (para cualquier k) (les propongo que hagan ustedes la demostración, que es muy fácil).

Resumo:
a) el factorial de n (o sea, n!) es múltiplo del número n y de todos los números menores que n;
b) si dos números son múltiplos de k, entonces la suma también.

Ahora, vamos a la carga.

Como entrenamiento, voy a hacer algunos ejemplos con la idea de que quien esté leyendo esto sienta que puede “conjeturar” la forma de hacerlo en general. Busquemos, sin necesidad de mirar en la tabla de los primos y “no primos” o compuestos, tres números compuestos consecutivos:

4! + 2
4! + 3 (*)
4! + 4

Estos tres números son consecutivos. Ahora descubramosque, además, son compuestos.

Miremos el primero: 4! + 2. El primer sumando, 4! es múltiplo de 2 (por la parte a). Por el otro lado, el segundo sumando, 2, es obviamente múltiplo de 2. Luego, por la parte b), la suma de los dos números (4! + 2) es múltiplo de 2.

El número 4! + 3 está compuesto de dos sumandos. El primero, 4!, por la parte a), es múltiplo de 3. Y el segundo sumando, 3, es también múltiplo de 3. Por la parte b) entonces, la suma (4! + 3) es múltiplo de 3.

El número 4! + 4 está compuesto también por dos sumandos. El primero, 4! por la parte a), es múltiplo de 4. Y el segundo sumando, 4, es también múltiplo de 4. Por la parte b) entonces, la
suma (4! + 4) es múltiplo de 4.

En definitiva, los tres números que aparecen en (*) son consecutivos y ninguno de los tres puede ser primo, porque el primero es múltiplo de 2, el segundo de 3 y el tercero de 4.

Con la misma idea, construyamos ahora diez números consecutivosque no sean primos, o bien construyamos diez númerosconsecutivos que sean compuestos.

Entonces procedemos así:

11! + 2 (es múltiplo de 2)
11! + 3 (es múltiplo de 3)
11! + 4 (es múltiplo de 4)
11! + 5 (es múltiplo de 5)
11! + 6 (es múltiplo de 6)
11! + 7 (es múltiplo de 7)
11! + 8 (es múltiplo de 8)
11! + 9 (es múltiplo de 9)
11! + 10 (es múltiplo de 10)
11! + 11 (es múltiplo de 11)

Estos diez números son consecutivos y compuestos. Luego, cumplen con lo pedido. Si ahora yo les pidiera que ustedes fabricaran cien números consecutivos compuestos, ¿lo podrían hacer? Yo estoy seguro de que sí, siguiendo la idea de los dos ejemplos anteriores.9 En general, si uno tiene que fabricar n números consecutivos compuestos, hace lo siguiente:

(n+1)! + 2
(n+1)! + 3
(n+1)! + 4
(n+1)! + 5
…
(n+1)! + n
(n+1)! + (n+1)

Estos números son n (y les pido que los cuenten, háganme caso, porque no los veo muy convencidos…) y son consecutivos; además, el primero es múltiplo de 2, el siguiente de 3, el siguiente de 4, y así siguiendo, hasta el último que es múltiplo de (n+1).

Es decir, esta lista cumple con lo que queríamos: hemos encontrado n números consecutivos compuestos.

MORALEJA: esto demuestra que si uno empieza a trabajar con números grandes, muy grandes, aparecen muchos muchos (y no hay error de imprenta… son muchos en serio) números compuestos. Pero, a la vez, esto dice que se pueden encontrar lagunas de primos. O sea, una laguna es un segmento de los números naturales en donde no hay ningún primo. Creo que después de la explicación de más arriba, ustedes están en condiciones de aceptar cualquier desafío de encontrar lagunas (tan grandes como les sean propuestas).