La más famosa fórmula de las Matemáticas: La fórmula de EULER

¿No es increíble la fórmula de Euler? No es de extrañar que en cierta ocasión el matemático Benjamin Peirce les dijese a sus alumnos: "Caballeros, esto es sin duda cierto, es absolutamente paradójico, no podemos comprenderlo y no sabemos lo que significa, pero lo hemos demostrado y, por lo tanto, sabemos que debe ser verdad" (De Epsilones)

Esta es la fórmula más famosa de las matemáticas, reune en una sencilla afirmación los cinco números más fundamentales (0, 1, Pi, e, i) y los conceptos básicos de suma, exponenciación, multiplicación e identidad (=). Es imposible de emjorar, hasta el punto de que las palabras no son capacesw de trasmitir su belleza.

Aunque tampoco son necesarias ....

En el próximo posteo -y si me hacen algunas concesiones- trataré de "semi"demostrarla .....

- - - - - Apartado: Biografía Euler Wikipedia - - - -

Leonhard Euler (nombre completo, Leonhard Paul Euler) nació el 15 de abril de 1707 en Basilea, Suiza y murió el 18 de septiembre de 1783 en San Petersburgo, Rusia. Fue un respetado matemático y físico, y es considerado uno de los más grandes matemáticos de la historia.
Vivió en Rusia y Alemania la mayor parte de su vida y realizó importantes descubrimientos en áreas tan diversas como el cálculo o la teoría de grafos. También introdujo gran parte de la moderna terminología y notación matemática, particularmente para el área del análisis matemático, como por ejemplo la noción de función matemática.[1] También se le conoce por sus trabajos en los campos de la mecánica, óptica y astronomía.
Se le considera como el principal matemático del siglo XVIII y como uno de los más grandes de todos los tiempos. También es uno de los más prolíficos, y se calcula que sus obras completas reunidas pueden ocupar entre 60 y 80 volúmenes.[2] Una afirmación atribuida a Pierre-Simon Laplace expresa la influencia de Euler en los matemáticos posteriores: «Lean a Euler, lean a Euler, él es el maestro de todos nosotros.»[3]
En conmemoración suya, Euler ha aparecido en la serie sexta de los billetes de 10 francos suizos, así como en numerosos sellos postales tanto suizos como alemanes y rusos. El asteroide (2002) Euler recibió ese nombre en su honor.

Demostración de la más famosa fórmula de las Matemáticas: Fórmula de EULER

Acéptenme sin más, que hay una suma infinita para:
Así, para calcular e, basta con sustituir x por 1

Pero si las sumas infinitas pueden ser usadas para expresar la función exponencial, también pueden ser usadas para las funciones seno y coseno. Aunque sean necesarias construcciones diferentes, el principio es el mismo. Así,

Y ojo que Ud. puede verificar que estas relaciones están buenas porque se pueden verificar para valores como el cero o Pí. (Sen de 0 = 0, véalo; Cos de 0=1).

Y si bien estas fórmulas se piensan por lo general para un "x" Real, también en ellas se puede reemplazar un número Complejo z= a + bi.

La susutición es mecánica, no hay nada que reflexionar ....

Pero recordemos de los complejos, las potencias de i

Usando lo anterior:
No obstante las sumas infinitas, al interior del primer y segundo corchete, las sumas infinitas designan al seno y coseno. Se sigue entonces que:

Esta es la fórmula de Euler .....

Pensemos que x=0 e y=Pi (180º). esto os llevará a la misteriosa fórmula. Ojo que seno de Pí (180º)= 0; Coseno de Pí (180º) = -1.