Genética y Matemáticas

Los espermatocitos humanos (igual que las células que constituyen el organismo) contienen 24 pares de cromosomas, y de ellos se forman los gametos masculinos o espermatozoides. El espermatozoide contiene 24 cromosomas, cada uno de los cuales procede de uno de los 24 pares de la célula progenitora. Por lo tanto, el conjunto de los cromosomas de un espermatozoide en particular es una de

combinaciones posibles. El ovocito, o célula precursora del gameto femenino, más conocido como óvulo, contiene también 24 pares de cromosomas.

El óvulo que resulta del ovocito contiene 24 cromosomas, cada uno de los cuales procede de uno de los 24 pares del ovocito. Por consiguiente, los cromosomas pueden ordenarse de

maneras posibles para formar un óvulo. En la concepción, un espermatozoide
une o fertiliza a un óvulo.

Habiendo

espermatozoides posibles y óvulos posibles, el número de combinaciones cromosómicas posibles del óvulo fertilizado será:

Éste es el número de variaciones posibles de la dotación genética de cualquier de cualquier pareja humana. En realidad, el número de variaciones es más ie todavía. Cada cromosoma contiene genes, los cuales determinan las cuali-dades hereditarias. Los biólogos han descubierto que, en las células precursoras de los gametos, cualesquiera dos cromosomas que formen parejas pueden intercambiar genes, y de este intercambio resultan nuevas variedades de espermatozoides y óvulos.

(Morris kline, matemáticas para los estudiantes de humanidades)

Me desafían con un problema potente

(Colegas, este problema necesita revisión)

El desafío:

Hola! mi nombre es Boris Illanes del colegio cristiano emmanuel /santiago, la florida/
bueno justamente con saludarles les mando este e-mail por un problema planteado, que nose como resolverlo, y se que ustedes podrán ...
es este:

Se lanza un dado "n" veces ¿cual es la probabilidad que la sucesión de números obtenidos sea estrictamente creciente?

Gracias de antemano.
Boris Illanes Valenzuela - Estudiante Enseñanza Media
P.D: Exelente el material del blog me ha servido mucho..

La Respuesta:

Peko, te voy a contestar lo que estrictamente digo a la gente: mi blog no es uno que resuelve problemas porque yo no soy MUY bueno en eso, sobretodo problemas como el que me haz mandado, porque suelen ser complejos y en algunas ocasiones -incluso- hay una suerte de enviar problemas que aproblemen (como para pillar bloggers y yo soy MUY pillable) ....

Lo que si hago es tratar de resolverlos porque un aprendiz de educador debe siempre tratar de educar, de ayudar y aquí va mi humilde camino a la respuesta .... tu jusgarás!

1) Primero analicé casos límites o de borde .... No debemos pensar en que sea igual a uno (n=1) porque no podemos en este caso formar una secuencia extrictamente creciente ...

-

2) El último de los n posibles es 6, porque si lanzamo el dado 7 veces, uno de los números se va a repetir y lo de "extrictamente creciente" fallaría! Piensa en que vamos bien, en el lanzamiento de 7 veces un dado, que en los primeros 6 intentos han salido: 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6, el siguiente intento será uno de los mismos números y la exigencia de crecimiento extricto habrá fallado ...

-

3) Entonces como que el problema se me reduce -incluso a explorar manualmente- 5 posbilidades .... n= 2, 3, 4, 5, 6 ....

-

4) Como el problema es complejo, me lancé a explorar, a indagar desde los casos particulares, intentando en algún monento generar una INDUCCION, es decir: pasar de los casos particulares a la formulación GENERAL.

-

5) Veamos esos casos particulares, uno a uno: OJO que en esto hay que ser ordenados, muy ordenados:

n=2

Casos extrictamente crecientes:

12 - 13 - 14 - 15 - 16

23 - 24 - 25 - 26

34 - 35 - 36

45 - 46

56

Total de casos extrictamente crecientes: 15

Total de casos (principio multiplicativo): 6 x 6 ó 6 al cuadrado

(porque en cada lanzamiento de dado pueden haber 6 posibilidades)

Ello lo puedes visualizar en la siguiente tabla, donde se muestran todos los pares posibles en que el primer número representa lo salido la primera vez que se tira el dado y el segundo, lo que sale la segunda vez!:

11 12 13 14 15 16

21 22 23 24 25 26

31 32 33 34 35 36

41 42 43 44 45 46

51 52 53 54 55 56

61 62 63 64 65 66

Son 36 los casos y 15 los que sirven, en color verde.

Esto se podría hacer en cada uno de los siguientes análisis (n=3, n=4, n=5, n=6), pero es similar, así es que no vamos a hacer esta tabla, todas las veces)

n=3

Casos extrictamente crecientes:

123 - 124 - 125 - 126

134 - 135 - 136

145 - 146

156

234 - 235 - 236

245 - 246

256

345 - 346

356

456

Total de casos extrictamente crecientes: 20

Total de casos: 6x6x6 ó 6 al cubo.

n=4

Casos extrictamente crecientes:

1234 - 1235 - 1236

1245 - 1246

1256

1345 - 1346

1356

1456

2345 - 2346

2356

2456

3456

Total de casos extrictamente crecientes: 15

Total de casos: 6x6x6x6 ó 6 a la cuarta.

n=5

Casos extrictamente crecientes:

12345 - 12346

12356

12456

13456

23456

Total de casos extrictamente crecientes: 6

Total de casos: 6x6x6x6x6 ó 6 a la quinta.

¿Sospechas algo?

n=6

Casos extrictamente crecientes:

123456

Total de casos extrictamente crecientes: 1

Total de casos: 6x6x6x6x6x6 ó seis a la sexta.

Lo que hay que sospechar es que estos: 15, 20, 15, 6, 1

son los números combinatorios cuando se eligen 2, 3, 4, 5, 6 elementos de un total de 6, sin que importe el orden de ellos ....

puedes visualizarlo en el triángulo de Pascla (o Tartaglia) que te adjunto.

(Ver imagen adjunta, Triángulo de Pascal)

Revisemos el Concepto de Números Combinatorios:

Luego, la fórmula genérica INDUCIDA es:

Probabilidad, que salgan secuencias extrictamente crecientes al lanzar n veces un dado es:

(Ver imagen adjunta, Fórmula Genérica)

Nota: Ojo que Combinación de 6 sobre n se puede escribir también como: C(6,n)

5) El problema se transforma en uno más interesante si me pidieran calcular la probabilidad tortal, la de todos los eventos excluyentes, porque entraría en juego el hecho de que lanzando un dado de 5 caras, para elegir también el que se lancen 2, 3, 4, 5 o 6 veces el dado).

Aquí se incluyen sumas y productos de probabilidades y la fórmula sería más o menos así:

(1/5) x C(6,2)/(6x6) +

(1/5) x C(6,3)/(6x6x6) +

(1/5) x C(6,4)/(6x6x6x6) +

(1/5) x C(6,5)/(6x6x6x6x6) +

(1/5) x C(6,6)/(6x6x6x6x6x6)

6) Hay un problema simétrico y es el mismo problema anterior, pero exigiendo que la serie que salga sea extrictamente decreciente! Da el mismo resultado !!!!

¿Qué piensas?

Escríbeme cualquiera sea lo que pienses de esta ayuda, te lo agradecería y así yo podría aprender de vos (y así cerrar el ciclo debidamente)! De dónde eres? Claudio

Problema MARAVILLOSO - Probabilidades Santillana 3ro. Medio

Tomado de Educación Matemática 3ro. Medio
Editorial Santillana
Página 220.
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Se tienen 3 bolsas, llamadas B1, B2 y B3. Cada una contiene n bolas numeradas por 1,2,3,4, ...., n.
Se extrae al azar una bola de cada bolsa; sean x, y, z los numeros de las bolas extraídas de B1, B2 y B3 respectivamente. Calcula la probabilidad de que x+y = z.

Respuesta:

La verdad es que este ejercicio me pareción desde un comienzo bien complicado. Incluso miré la respuesta y debo reconocer que desde ella construí mi propio camino de solución .... Veamos la respuesta:



¿Se te ocurre algo o te aporta más incertidumbre?

Pero a partir de ella, hice lo siguiente:

CASO Primero (n=3): Pensé en un primer caso, en que en cada una de las bolsas hubiese 3 bolas numeradas del 1 al 3, en este caso n=3.

POR EL PRINCIPIO MULTIPLICATIVO, LA TOTAL POSIBILIDAD DE COMBINACIONES ES 3X3X3 = 27 = 3 al cubo, porque de cada bolsa puedo sacar exactamente cada una de las tres bolas ....

En este caso, nos sirve que en la tercera bolsa se saque el 2 o el 3, porque si saliese el uno, no hay posibilidad de sumar 1 con dos bolas, una de cada unas d4e las dos primeras bolsas .... veamos gráficamente: Y en la gráfica, se cumple la fórmula que han dado ....

CASO Segundo (n=4): Luego pensé en el caso de que cada una de las bolsas tubiese cuatro bolas numeradas del 1 al 4. n=4.

En este caso, las posibilidades totales son 4x4x4 (acorde al principio multiplicativo) pues de cada bolsa se pueden sacar 4 bolas. Veamos gráficamente:

CASO Tercero (n=5): Finalmente pensé en que cada una de las bolsas tubiese 5 bolas numeradas del 1 al 5. n=5


De forma similar:

Suman 5: (1+4) (2+3) (3+2) (4+1) : 4 casos favorables ...
Suman 4: (1+3) (2+2) (3+1) : 3 casos favorables ...
Suman 3: (1+2) (2+1) : 2 casos favorables ...
Suman 2: (1+1) : 1 caso favorable ...

(Recordamos que no nos sirve decir: que sumen 1 .... porque dos bolas, con número mínimo uno, NO pueden sumar 1)


Hay, para n=5, (4+3+2+1) casos favorables ....


Extrapolando para n, hay (n-1)+ (n-2)+ ...... 5+ 4+ 3+ 2+ 1 casos favorables, para n x n x n casos totales ....


Luego, la probabilidad pedida para n bolas en casa saco es:

Para ello debemos recordar previamente que al sumas de 1 a n,
1+2+3+4+5+6+.....+(n-1) + n = {n x (n+1)}/2
Por tanto al sumae sólo hasta (n -1):
1+2+3+4+5+6+....+(n -1) = {(n -1) x n }/2, entonces:


Felicitaciones !

PSU - Técnicas de Conteo

1) ¿Cuántos números de 2 cifras, con repetición pueden formarse con el 3,2 y 5?

A) 3
B) 5
C) 6
D) 9

Respuesta: En cada cifra puede haber tres posibilidades, por el Principio Multiplicativo hay 3 x 3 núemros posibles, ellos son: 33, 32, 35, 22, 23, 25, 55, 53, 52. Alternativa D)

(Nota: Estos 4 ejercicios -posteados seguidamente- fueron tomados del texto CEPECH del año 2007)

PSU - Técnicas de Conteo

2) ¿Cuántos números de 10 cifras formados con los números 1 y 2 existen?

A) 4 elevado a 9
B) 2 elevado a 9
C) 2 elevado a 10
D) 20

Respuesta: en cada posición puede haber un 1 o un 2. Por tanto, y por el principio multiplicativo hay dos elevado a 10 posibilidades. La alternativa correcta es C)

PSU - Técnicas de Conteo

4) ¿De cuántas maneras pueden ingresar de una en una, 8 personas en una sala?

A) C(8,8)
B) P7
C) P5 + P3
D) P8

Solución: Ante el umbral de la puerta hay 8 personas, cualquiera de ellas puede entrar, por lo tanto el primer ingreso puede ser seleccionado de 8 formas. Cuando ya ha entrado una, el segundo ingreso puede ser de 7 formas. hay 8 x 7 formas de darse los dos primeros ingresos .... Como cada vez se va quitando una parsonas, por el principio multiplicativo habrá
8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1= P8 = 8! (Ocho factorial)

Ingenio Futbolero ..... (DivulgaMat)

Acaba de terminar un partido de futbol con resultado 4 a 3 ¿Cuál fue el resultado del descanso (entretiempo)?

Soluciónn en el comentario .... y tú, me dejas uno?

PSU - DEMRE - 2008 - Ejercicio 58

58. Las muestras de ciertas pinturas son de uno de estos colores: rojo, verde o azul, y con una de estas dos terminaciones: opaca o brillante. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir una muestra de pintura al azar, ésta sea de color verde opaco?

A) 1/6
B) 1/3
C) 1/2
D) 2/3
E) 5/6

Las alternativas totales son 6, al suar el principio multiplicativo, porque cada color puede ser opaco o brillante. Etas son las alternativas:

Rojo - Opaco
Rojo - Brillante
Verde - Opaco
Verde - Brillante
Azul - Opaco
Azul - BRillante

Solamente una de estas alternativas es favorable: Verde - Opaco, es decir 1 de 6.

La alternativa correcta es A)