Me desafían con un problema potente

(Colegas, este problema necesita revisión)

El desafío:

Hola! mi nombre es Boris Illanes del colegio cristiano emmanuel /santiago, la florida/
bueno justamente con saludarles les mando este e-mail por un problema planteado, que nose como resolverlo, y se que ustedes podrán ...
es este:

Se lanza un dado "n" veces ¿cual es la probabilidad que la sucesión de números obtenidos sea estrictamente creciente?

Gracias de antemano.
Boris Illanes Valenzuela - Estudiante Enseñanza Media
P.D: Exelente el material del blog me ha servido mucho..

La Respuesta:

Peko, te voy a contestar lo que estrictamente digo a la gente: mi blog no es uno que resuelve problemas porque yo no soy MUY bueno en eso, sobretodo problemas como el que me haz mandado, porque suelen ser complejos y en algunas ocasiones -incluso- hay una suerte de enviar problemas que aproblemen (como para pillar bloggers y yo soy MUY pillable) ....

Lo que si hago es tratar de resolverlos porque un aprendiz de educador debe siempre tratar de educar, de ayudar y aquí va mi humilde camino a la respuesta .... tu jusgarás!

1) Primero analicé casos límites o de borde .... No debemos pensar en que sea igual a uno (n=1) porque no podemos en este caso formar una secuencia extrictamente creciente ...

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2) El último de los n posibles es 6, porque si lanzamo el dado 7 veces, uno de los números se va a repetir y lo de "extrictamente creciente" fallaría! Piensa en que vamos bien, en el lanzamiento de 7 veces un dado, que en los primeros 6 intentos han salido: 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6, el siguiente intento será uno de los mismos números y la exigencia de crecimiento extricto habrá fallado ...

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3) Entonces como que el problema se me reduce -incluso a explorar manualmente- 5 posbilidades .... n= 2, 3, 4, 5, 6 ....

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4) Como el problema es complejo, me lancé a explorar, a indagar desde los casos particulares, intentando en algún monento generar una INDUCCION, es decir: pasar de los casos particulares a la formulación GENERAL.

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5) Veamos esos casos particulares, uno a uno: OJO que en esto hay que ser ordenados, muy ordenados:

n=2

Casos extrictamente crecientes:

12 - 13 - 14 - 15 - 16

23 - 24 - 25 - 26

34 - 35 - 36

45 - 46

56

Total de casos extrictamente crecientes: 15

Total de casos (principio multiplicativo): 6 x 6 ó 6 al cuadrado

(porque en cada lanzamiento de dado pueden haber 6 posibilidades)

Ello lo puedes visualizar en la siguiente tabla, donde se muestran todos los pares posibles en que el primer número representa lo salido la primera vez que se tira el dado y el segundo, lo que sale la segunda vez!:

11 12 13 14 15 16

21 22 23 24 25 26

31 32 33 34 35 36

41 42 43 44 45 46

51 52 53 54 55 56

61 62 63 64 65 66

Son 36 los casos y 15 los que sirven, en color verde.

Esto se podría hacer en cada uno de los siguientes análisis (n=3, n=4, n=5, n=6), pero es similar, así es que no vamos a hacer esta tabla, todas las veces)

n=3

Casos extrictamente crecientes:

123 - 124 - 125 - 126

134 - 135 - 136

145 - 146

156

234 - 235 - 236

245 - 246

256

345 - 346

356

456

Total de casos extrictamente crecientes: 20

Total de casos: 6x6x6 ó 6 al cubo.

n=4

Casos extrictamente crecientes:

1234 - 1235 - 1236

1245 - 1246

1256

1345 - 1346

1356

1456

2345 - 2346

2356

2456

3456

Total de casos extrictamente crecientes: 15

Total de casos: 6x6x6x6 ó 6 a la cuarta.

n=5

Casos extrictamente crecientes:

12345 - 12346

12356

12456

13456

23456

Total de casos extrictamente crecientes: 6

Total de casos: 6x6x6x6x6 ó 6 a la quinta.

¿Sospechas algo?

n=6

Casos extrictamente crecientes:

123456

Total de casos extrictamente crecientes: 1

Total de casos: 6x6x6x6x6x6 ó seis a la sexta.

Lo que hay que sospechar es que estos: 15, 20, 15, 6, 1

son los números combinatorios cuando se eligen 2, 3, 4, 5, 6 elementos de un total de 6, sin que importe el orden de ellos ....

puedes visualizarlo en el triángulo de Pascla (o Tartaglia) que te adjunto.

(Ver imagen adjunta, Triángulo de Pascal)

Revisemos el Concepto de Números Combinatorios:

Luego, la fórmula genérica INDUCIDA es:

Probabilidad, que salgan secuencias extrictamente crecientes al lanzar n veces un dado es:

(Ver imagen adjunta, Fórmula Genérica)

Nota: Ojo que Combinación de 6 sobre n se puede escribir también como: C(6,n)

5) El problema se transforma en uno más interesante si me pidieran calcular la probabilidad tortal, la de todos los eventos excluyentes, porque entraría en juego el hecho de que lanzando un dado de 5 caras, para elegir también el que se lancen 2, 3, 4, 5 o 6 veces el dado).

Aquí se incluyen sumas y productos de probabilidades y la fórmula sería más o menos así:

(1/5) x C(6,2)/(6x6) +

(1/5) x C(6,3)/(6x6x6) +

(1/5) x C(6,4)/(6x6x6x6) +

(1/5) x C(6,5)/(6x6x6x6x6) +

(1/5) x C(6,6)/(6x6x6x6x6x6)

6) Hay un problema simétrico y es el mismo problema anterior, pero exigiendo que la serie que salga sea extrictamente decreciente! Da el mismo resultado !!!!

¿Qué piensas?

Escríbeme cualquiera sea lo que pienses de esta ayuda, te lo agradecería y así yo podría aprender de vos (y así cerrar el ciclo debidamente)! De dónde eres? Claudio