1)
Vamos a modelar el crecimiento de una población.2) En este caso, observaremos un caso MUY sencillo, estudiado por el biólogo Robert May y el físico Mitchell Feigenbaum.3)
Imaginamos que el crecimiento de una cierta población animal (ratones) se rige por la fórmula: X' = RX(1-X)
4)
La anterior expresión es conocida como fórmula LOGISTICA y es una expresión recursiva.X es la población de un año cualquiera y,
X' es la población del año siguiente.
R es un parámetro, un valor numérico que puede variar entre 0 y 4.
Nota: Una función recursiva se define como:
5) Para simplificar, vamos a suponer que X y X' son números entre 0 y 1, y que la población de veras es un millón de veces estos valores.
6) De lo anterior, sin X fuese 0,1, significaría esto que hay 100.000 personas. Si además, R fuese igual a 1,5, podemos, usando la fórmula logística calcular la población del siguiente período (año).
7) Hagamos ese cálculo:
X= 0,1
R = 1,5
X' = 1,5 x 0,1 x (1-0,1) = 1,5 x 0,1 x 0,9 = 0,135. La población habrá crecido.
8) Para calcular la población de un tercer año (año siguiente), debemos introducir en la fórmula, el valor calculado para el segundo año:
Tercer año: X'(3) = 1,5 x 0,135 x (1-0,135) = 1,5 x 0,135 x 0,865 = 0,1752.
La población sigue creciendo.
9) En tres años, la población será 0,21676. Y así se puede averiguar la población de cualquier año futuro.
10) Si seguimos, comprobaríamos que la población crece aprisa y que se estabiliza en 0,3333. Comprobaríamos también que, al margen del tamaño de su valor primitivo, la población se estabiliza siempre en 0,3333. En este valor de R la población se denomina estable (véase el diagrama).
Diagrama:
11) Si hacemos cálculos parecidos con un R menor, por ejemplo R = 1, averiguaremos que, al margen de su valor inicial, la población se «estabiliza» en 0; se extingue.
Grafiquemos en EXCEL:
En la celda A1, ponemos el valor inicial: 0,1 (100.000 ratones),
En la celda A2, tomamos el valor de A1 y lo metemeos a la ecuación: x(1-x)
Vemos la tabla que genera EXCEL por orden de uno:
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12) Cuando R es mayor —2,5 en concreto—, vemos que, sea cual fuere su valor inicial, la población se estabiliza ahora alrededor de 0,6, el estado estable de este R.
13) ¿Sólo esto? Bueno, aumentemos R otro poco, esta vez a 3,2. Al igual que antes, la población de partida no importa, pero si hacemos sustituciones iterativas en la fórmula X' = 3,2X(1-X), averiguaremos que la población de la especie no se estabiliza en un valor, sino que al final cae en una alternancia repetitiva entre dos valores: alrededor de 0,5 y 0,8; es decir, que la población será un año 0,5 y el otro 0,8.
14) Elevemos el parámetro R a 3,5 y veamos lo que ocurre. La población inicial es una vez más intangible, pero esta vez tenemos que, a la larga, la población alterna de manera periódica entre cuatro valores, aproximadamente 0,38, 0,83, 0,50 y 0,88, en años consecutivos.
15) Si volvemos a subir R un poco, la población cae en una alternancia periódica entre ocho valores distintos.
16) Elevaciones de R cada vez menores multiplican por dos la cantidad de valores.
17) Pero, de pronto, hacia R = 3,57, la cantidad de valores aumenta hasta el infinito y la población de la especie varía de manera azarosa de año en año. (Es una rara clase de azar, sin embargo, puesto que viene de iterar la fórmula 3,57X(1—X), con lo que la serie de las poblaciones está totalmente determinada por la población del principio.)
18) Más extraño aún que esta caótica variación en la población de las especies es el hecho de que un ligero aumento de R redunda otra vez en una alternancia periódica de año en año y que otro aumento conduce a la variación caótica. Estas alternancias ordenadas seguidas de caos aleatorio, seguido a su vez de ventanas de periodicidad, dependen muchísimo del parámetro R, que parece reflejar bastante bien la irregularidad del modelo.
===== En el Curriculum chileno =====
NEM : Cuarto Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
OBJETIVO FUNDAMENTAL (OF): 5. Aplicar el proceso de formulación de modelos atemáticos al análisis de situaciones y a la resolución de problemas.
CMO: Análisis y comparación de tasas de crecimiento.
Bibliografía: Tomado del artículo: "Problemas en la interpretación de los patrones de población de los roedores - Ecología, caos y prensa." Tomado del libro: "Un matemático lee el periódico" de John Allen Paulos, TusQuets, 2005.
I) Con una tasa del 20 % mensual el capital se triplicó.
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