Grupos de Transformaciones (Isometrías)

"A finales del siglo XIX, Felix Klein, en una famosa conferencia (conocida como "El Programa de Erlangen"), se ATREVE a afirmar, basado en el trabajo de su gran amigo Sophus Lie, que la geometría es el estudio de un espacio (un conjunto de puntos, piénsese en el plano) junto con un GRUPO de TRANSFORMACIONES (un conjunto específico de funciones del espacio en si mismo) y de las estructuras que permanecen INVARIANTES bajo el grupo." (Bracho, Introducción anlaítica a las geometrías, Fondo de Cultura Económica, 2009).

(Haga click sobre la imagen para agrandar-Tomado de Wikipedia)

Transformaciones y Funciones: Vamos a enunciar SIN demostrar, una definición que es muy importante:

DEFINICIÓN (que vincula las Transformaciones con las Funciones):

"Una transformación de A 

es una función BIYECTIVA de A en A."

Aunque transformación se use de otras formas en otros textos matemáticos, acá, estamos pensando en funciones biyectivas de un conjunto en si mismo para el concepto de Transformación.

Grupos de Transformaciones:

Veremos ahora unos conjuntos de transformaciones, que son tan significativas que reciben el nombre de grupos.

Consideremos el conjunto de 2 elementos { 0 , 1 },

(continuará) ...

Desafío PSU - La Nación

A la circunferencia con centro en (1,1) y radio 1 se le aplica una reflexión en torno al eje Y, y posteriormente una reflexión con respecto a la recta y=x. ¿Cuáles son las coordenadas del centro de la circunferencia resultante?

A) (1,-1)
B) (1,1)
C) (-1,1)
D) (-1,-1)
E) (0,-1)

Respuesta: El proceso se ve a continuación:

La alternativa correcta es la A), las coordenadas nuevas del centro son: (1,-1)

La metamorfosis del número 2 -ó- cómo cambiar el número 2 con un .....

La metamorfosis del número 2
Fuente: Matemáticas Divertidas y Curiosas - Malba Taham

¿Cómo puedo, mediante un procedimiento muy simple, convertir el número 2 en el número 3 y la letra M?

(Diapo)

Tranformando Al NúMero2

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Análisis Curricular:

La actividad se enmarca en la unidad de Transformaciones Insométricas o Isometrías (Unidad 3 según el Programa de estdios del MINEDUC), del Primer Año de Enseñanza Media.

CMO Pertinente: Transformaciones. a. Traslaciones, simetrías y rotaciones de figuras planas. Construcción de figuras por traslación, por simetría y por rotación en 60º, 90º, 120º y 180º.

MATERIA:

Isometría viene del Griego:

Iso = Igual o mismo
Metría = Medir

Isometría: Acción o movimiento o transformación geométrica que deja inalterada la figura en el plano.

Esta es una SIMETRIA AXIAL (Axial: Eje): Es una transformación en la cual cada punto de una figura se asocia a otro punto llamado imagen, que cumple las siguientes condiciones:

1) El punto y su imagen está a igual distancia de una línea recta llamada Eje de Simetría.
2) El segmento que une un punto con su imagen es perpendicular al Eje de Simetría.

Ejercicio 1: ¿Cuál es la figura que viene en la serie?
En la secuencia vienen 2 números cuatro, uno bien escrito y el otro dibujado simétricamente respecto de una vertical como se indica en la figura de a continuación ....

Ejercicio 2: ¿Qué habría que hacer, para dejar el 3 de la anterior presentación (Power Point) tal como lo suamos siempre? Respuesta: Provocar una simetría axial (o especular: de espejo) respecto de un eje vertical a la tangente inferior de (pendiente cero) all número, a cualquier distancia ....

Desafío PSU: Traslación

Si el triángulo ABC de la figura, se traslada de modo que el vértice C queda en el vértice A, entonces el punto B queda en el punto de coordenadas:

A) (3, 1)

B) (-1, -3)

C) (-1, -2)

D) (0, -2)

D) (0, -3)

Solución: en la semana !!!!

Llamemos t (x,y) al vector traslación. Entonces, como C se transforma por la traslación en A (al aplicar el vector traslación), tenemos que:

(0,2) + (x,y) = (-2,0)

(x,y) = (-2,0) - (0,2)

(x,y) = (-2,-2),

queda determinado el véctor traslación ....

apliquémosle al punto B (1,-1)

(1,-1) + (-2,-2) = (-1,-3), la respuesta es B)

PSU - DEMRE - 2008 - Ejercicio 36

36. La figura 3 se rota en el plano, en 180º en torno al punto P. ¿Cuál de las opciones representa mejor la rotación de la figura 3?


Solución:

La alternativa correcta es C)