Ecuación Diofántica de Olimpiadas (ver dos posteos más abajo)

Resolver (x/2) + (y/4) + (z/16) = 1,4375, de modo que x,y, z son números naturales y las fracciones resultantes son irreductibles.

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Tomado de los Juegos Interregionales SUR - Osorno

Respuesta: OJO que una ecuación diofántica puede tener muchas respuestas!

Multiplicamos la ecuación por el mayor denominador (16), entonces queda:

8x + 4y + z = 23

Acá z debe ser un número tal que al ser restado de 23 de otro número que sea divisible por 4. z puede ser: 3, 7, 11, 15, 19 ....

1) Pensemos en z=3

8x + 4y + 3 = 23
8x + 4y = 20 / Dividiendo por 4
2x + y = 5

si x = 2, y = 1

(Entonces x=2: y = 1 ; z=3)
y se cumple que: 2/2 + 1/4 + 3/16 = 1,4375 ....

Pero la fracción x/2 no sería irreductible!

2) También hay solución para z=7

8x + 4y + 7 = 23
8x + 4y = 16 /Diviidnedo por 4
2x + y = 4

Se cumple para x=1; y=2
(Entonces x=1 ; y=2 ; z=7), pero NO todas las fracciones serían irreductibles (y/4, NO!)

3) Veamos z=11
8x + 4y + 11 = 23
8x + 4y = 12 /Dividiendo por 4.
2x + y = 3

Aquí vale para x=1; y = 1 y si todas las fracciones serían irreductibles !!!!

1/2 ; 1/4 ; 11/16 BIEN !!!!!

4) Veamos z=15

8x + 4y + 15 = 23
8x + 4y = 8 /dividiendo por 4
2x + y = 2

No hay combinaciones de 2 números naturales que la cumplan (tomando el cero como NO natural !)

5) Pero no se cumple cuando z=19

8x + 4y + 19 = 23
8x + 4y = 4 /dividiendo por 4
2x + y = 1

En este caso x e y no podrían ser a la vez números naturales ....

Ecuaciones Diofánticas

Se llama ecuación diofántica a cualquier ecuación algebraica, generalmente de varias variables, planteada sobre el conjunto de los números enteros o los números naturales , es decir, se trata de ecuaciones cuyas soluciones son números enteros.

Un ejemplo de ecuación diofántica es: x+y = 5

Esta ecuación tiene infinitas soluciones en los números reales. Como regla general, sin embargo, las ecuaciones que aparecen en los problemas tienen restricciones que nos ayudan a limitarnos a un pequeño número de casos e incluso a una única solución.
Por ejemplo, en nuestra ecuación, si restringimos los posibles valores de x e y a los enteros positivos, tenemos 4 soluciones para (x,y):

(1,4) (2,3) (3,2) (4,1).

Un problema matemático muy famoso que se resuelve por medio de ecuaciones diofánticas es el del mono y los cocos.

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Más sobre Ecuaciones Diofánticas:
http://www.telefonica.net/web2/lasmatematicasdemario/Algebra/Ecuaciones/EcuDio.htm