Probabilidad Geométrica

¿Cuál es la probabilidad de impactar el cuadrado rojo con un dardo lanzado totalmente al azar a través de la ventana azul?. Note que el vértice (P) del cuadrado rojo está exactamente en el centro de la ventana (Cuadrado Azul).

A) 1/8
B) 1/2
C) 1/3
D) 1,1
E) es independiente de la posición del cadrado rojo.

Respuesta:

Fuente: Mare Nostrum
Nivel: 8avo. y 1ro. medio.
Eje Temático: IV) Datos y Azar.
Aprendizaje Esperado: (05) Asignar probabilidades teóricamente a la ocurrencia de eventos, en esperimentos aleatorios con resultados finitos y equprobables, y contrastar con resultados experimentales. Modelo de Laplace.

Nota 1: Este ejercicio involucra el tema de Congruencia.

Nota 2: Este ejercicio ocupa el concepto de Regla de Laplace, pero aplicado a sucesos que son áreas. En este caso, matemáticamente esto se llama: Espacios Uniformes NO Contables, porque las superficies tienen infinitos puntos y corresponden a un espacio NO enumerable, en teoría de conjuntos, en lo que respecta al tema del infinito.

Desafío PSU - Preu Nacional

En un polígono de tiro, el blanco está constituido por dos círculos naranjos, tangentes, de igual radio R, puesto sobre una pared. Los proyectiles no pueden impactar sino en esta pared que contiene de manera tangente a ambos círculos.

¿Cuál es la probabilidad de impacto al blanco?

Área del rectángulo = 4R x 2R

Área de los dos círculos = 2 x Pi x (R al cuadrado)

PSU La Nación 2

Si se lanza la flecha de la ruleta de la figura, ¿Cuál es la probabilidad de que NO salga color verde?

A) 1/3; B) 5/12; C) 7/12; D) 2/3; E) 3/4

El área Roja se asocia a 120º

El área Amarilla se asocia a 90º

El área verde se asocia (360º - 120º - 90º=150º) a 150º (aunque sacar esto NO es necesario.

P(NO salir color verde) = (120º+90º)/360º = 210º/360º = 7/12, Alternativa C)

La Aguja de Buffon

La aguja de Buffon

Existen muchas formas de calcular π mediante series,productos infinitos y otros procesos aritméticos. En esta ocasión sin embargo vamos a ver un método para obtener π de modo estadístico mediante un experimento desarrollado en 1777 por el naturalista francés Buffon en lo que es el primer ejemplo de probabilidad geométrica.

Supongamos que disponemos de una superficie rayada con líneas paralelas y una aguja de tal modo que si la aguja tiene una longitud l, la distancia d que separa a todas las paralelas es mayor que l. Si se tira la aguja sobre la superficie puede que esta corte o no a alguna de las líneas. Consideramos como favorable aquel lanzamiento en el que la aguja efectivamente cae sobre alguna de ellas. Pues bien: lo que demostró matemáticamente Buffon es que la probabilidad de que un lanzamiento sea favorable en este sentido es igual a 2l/dπ . Es evidente entonces que si hacemos l y d iguales la probabilidad será 2/π.

Por otra parte, si llamamos N al número de lanzamientos y N' al número de casos favorables, el cociente N'/N se aproximará a dicha probabilidad a medida que N aumente. Por lo tanto, si tiramos la aguja un número grande de veces podremos escribir, y de donde despejando se tiene:

Pues esta es la idea: buscamos una aguja, rayamos una hoja de papel de modo que las líneas estén separadas entre sí una distancia igual a la longitud de la aguja y la tiramos una y otra vez sobre el papel, contando el número de lanzamientos y el número de veces que la aguja corta a alguna de las líneas. Después, un buen montón de lanzamientos después, aplicamos la última de las fórmulas y, voilà, tenemos un valor aproximado de π.

Una advertencia: esto funciona siempre y cuando lancemos la aguja de modo realmente aleatorio. Podría sorprendernos la tendencia que tenemos a repetir, si nada nos lo impie, los mismos gestos.

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Pero, aquí debe haber un error, ¿no? Si π es el cociente entre la longitud de la circunferencia y su diámetro, ¿que tiene que ver con agujas y probabilidades? Pues todo y nada: hay que pensar en π como una constante universal, como un reflejo de las profundas conexiones que existen entre unos objetos maemáticos y otros, como una de las caracterísicas básicas del universo que habitamos. El hecho de que el primer sitio donde encontramos a π fuese en el círculo fue una mera casualidad. O quizá, se me ocurre, es que era el más sencillo de los lugares.

(Tomado de Epsilones)