Una anécdota muy curiosa de Hardy respecto de la Hipótesis de Riemann

Hardy usó la hipótesis de Riemann como seguro cuando atravesaba el mar del norte, tras su visita a su amigo Harald Bohr en Dinamarca. Antes de dejar el puerto envió una postal a su amigo en la que afirmaba que había demostrado la hipótesis de Riemann. Era una inteligente apuesta en la que era imposible perder: Si el barco se hundía, tendría el honor póstumo de haber resueklto un importante problema .... Por otro lado, si Dios existía no permitiría que un ateo como Hardy tuviera el honor y por consiguiente impediría que el barco se hundiera ....

(tomado de "100 cosas que debes saber de matemáticas")

Hipótesis de Riemann

En matemática pura, la hipótesis de Riemann, formulada por primera vez por Bernhard Riemann en 1859, es una conjetura sobre la distribución de los ceros de la función zeta de Riemann ζ(s).[1]
La hipótesis de Riemann, por su relación con la distribución de los números primos en el conjunto de los naturales, es uno de los problemas abiertos más importantes en la matemática contemporánea.
Se ha ofrecido un premio de un millón de dólares por el Instituto Clay de Matemáticas para la primera persona que desarrolle una demostración correcta de la conjetura.[2] La mayoría de la comunidad matemática piensa que la conjetura es cierta, aunque otros grandes matemáticos como J. E. Littlewood y Atle Selberg se mostraron escépticos, si bien el escepticismo de Selberg fue disminuyendo desde sus días de juventud. En un artículo en 1989 sugirió que un análogo debe ser cierto para una clase mucho más amplia de funciones (la clase de Selberg).

(Tomado de Wikipedia)

¿ Se habría Demostrado ? (tomado de Microsiervos)

A proof of the Riemann hypothesis [PDF v2, 40 págs.]

Resumen - Aplicando el análisis de Fourier en campos numéricos, se demuestra en este trabajo la versión refinada de E. Bombieri sobre la condición de positividad de A. Weil, lo cual implica la hipótesis de Riemann para la función zeta de Riemanm en el espíritu del acercamiento de A. Connes a dicha hipótesis.

Dado que se trata de uno de los Problemas del Milenio y que está entre las cuestiones matemáticas más profundas, complejas y desafiantes para los expertos, toda precaución sobre la confirmación de la noticia es poca. De cuando en cuando aparecen noticias sobre descubrimientos de este tipo y han de se comprobadas con cautela. Adicionalmente, sucede que el número de expertos en el problema es tan reducido que una confirmación podría tardar meses o años.
El caso es que Li parece tener cierto renombre en el entorno de los investigadores sobre el centenario problema y ha publicado durante las últimas décadas otros trabajos, que guardan cierta relación, en diversas publicaciones tradicionales. Recientes avances hacia resolución del problema pueden haber abierto la puerta hacia un atajo, y Li tal vez ha unido todas las piezas. El Criterio de Li es una de las ideas que presentó en 1997, buscando convertir la Hipótesis de Riemann en un equivalente más manejable y sencillo.

arXiv es un repositorio donde la gente envía sus trabajos, que no necesariamente han superado una revisión por pares ni cuentan con otro tipo de apoyos «oficiales» o académicos. Como decía alguien en el hilo de Slashdot sobre la noticia, «Cada semana aparecen en arXiv una prueba sobre la Hipótesis de Riemann, que nunca resulta válida.» Una sencilla búsqueda muestra un buen número de estas «pruebas», que duermen allí ignoradas por la comunidad matemática.
La Hipótesis de Riemann fue mencionada en un trabajo de 1859 del matemático alemán Bernhard Riemann. Surgió colateralmente mientras investigaba algunas de las propiedades de los números primos y tiene como cuestión de fondo su curiosa distribución, si es en cierto modo predecible o no, algo que relacionó con con la llamada función Zeta de Riemann. La hipótesis describe lo que sucede cuando se hacen participar en esa función números complejos.
La resolución de la Hipótesis de Riemann problema conlleva, además de la merecida gloria matemática eterna, la no menos despreciable suma de un millón de dólares para quien de con la demostración.

Problema 8 de la lista de Hilbert

La hipótesis de Riemann (la parte real de cualquier cero no trivial de la función zeta de Riemann es ½) y la conjetura de Goldbach (cada número par mayor que 2 se puede escribir como la suma de dos números primos).

(Tomado de Wikipedia)

Hilbert y la Hipótesis de Riemann ....

"En el año 1900, Hilbert (David) expuso sus ya famosos 23 problemas, que en ese entonces estaban pendientes para ser solucionados por la comunidad matemática internacional. Respecto de su octavo prblema, se cuenta que dijo: "si me despertase tras haber dormido por 500 años, mi primera curiosidad sería: ¿ Se ha demostrado la hipótesis de Riemann ?

Primero Pasos en Torno a la Hipóstesis de Riemann (tomado de: www.soygik.com)

La hipótesis de Riemann explicada para Dummies

En la universidad ya son bastantes las veces que nos han hablado o nombrado a Riemann y su hipótesis (la más conocida) así que he pensado poneros un poco al corriente de que se trata esta hipótesis, explicado de una forma vulgar para que lo pueda entender todo el mundo.

La hipótesis de Riemann es un problema en las matemáticas que está actualmente sin resolver. Es más, se ofrecen sumas bastante importantes de dinero por su resolución. (Se ha ofrecido un premio de US$1.000.000 por el Instituto Clay de Matemáticas para el que descubra una demostración.)

Para explicarla, primero veremos algunos conceptos de base.

1. Los números complejos. Seguro que alguna vez has oído la pregunta ¿cual es la raíz cuadrada de un número negativo, por ejemplo, cual es la raíz de -1? Bien, pues en las matemáticas la solución sería: (-1)^1/2 = i. (La raíz cuadrada de -1 es i)
   1. Una forma mejor de verlo es representándolo, en el eje horizontal ponemos los números reales y en el eje vertical (Y) ponemos los número imaginarios. Así tendríamos el plano complejo.
   2. Cada número complejo se puede representar de la forma a+bi. Para los números reales, tomamos simplemente b=0.
2. Las funciones. En matemáticas, una función es una caja negra, en la que cuando ponemos un número en ella, ésta nos devuelve otro número (explicación vulgar ya lo dije arriba)
   1. Las funciones las representamos generalmente con la letra f. De tal modo que si queremos que nuestra variable sea “x”, la función se escribiría de la forma “f(x)”.
   2. En la mayorí­a de los casos hay una manera conveniente de expresar el f(x) en términos de x. Por ejemplo, el f(x)=x², que es una función muy simple. Para cualquier x que pongamos dentro, conseguiremos x². Por tanto algunos resultado serían: f(1)=1. f(2)=4. f(3)=9. Etcétera.
   3. Seguramente estarás más familiarizado con las funciones que devuelven números reales. Ponemos un número real como “x” y conseguimos un número real al hallar la función. Sin embargo, no hay nada que nos impida poner estos números complejos “extraños” en una función. Por ejemplo, si el f(x)=x² y nosotros decimos que x=i, que es la raí­z cuadrada de menos uno que mencionaba arriba, entonces obtendremos f(i)=-1. Esto es justamente el principio de que se conoce más generalmente como funciones complejas – donde se puede poner cualquier número complejoa+bi dentro y conseguir (potencialmente) cualquier número complejo como resultado.
3. La función de Riemann, que llamaremos Zeta es justamente una función compleja. “Zeta” es una letra griega se escribe así: “ζ”. Para cualquier número complejo a+bi, tenemos que ζ(a+bi) será otro número complejo, c+di. La hipótesis de Riemann es una conjetura sobre la distribución de los ceros de la función zeta de Riemann ζ(s). La descripción real de la función de Zeta se complica demasiado y es aburrida para explicar aquí­.

Pero dando una pincelada gracias a la wikipedia, podríamos decir que la función Zeta de Riemann ζ(s) está definida para todos los números complejos s ≠ 1 y posee ciertos ceros “triviales” para s = −2, s = −4, s = −6, … La conjetura de Riemann hace referencia a los ceros no triviales afirmando:

• La parte real de todo cero no trivial de la función zeta de Riemann es 1/2.

Por lo tanto los ceros no triviales deberían encontrarse en la línea crítica 1/2 + i t donde t es un número real e i es la unidad imaginaria. La función zeta de Riemman, a lo largo de la línea crítica ha sido estudiada en términos de la función Z, cuyos ceros