Función Cuadrática - Contenidos (3ro. Año Medio): Primer Posteo

NM3 : Enseñanza Media, tercero Medio:
CMO : I Algebra y Funciones. 2. a. Función Cuadrática. Gráfico de las siguientes Funciones:

Tabla de Funciones Cuadráticas:

Discusión de los casos de intersección de la parábola con el eje x. Resolución de ecuaciones de segundo grado por completación de cuadrados y su aplicación en la resolución de problemas.

(Matemáticas) Programa de estudios de Primer año Medio.
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Función Cuadrática:

Una Función Cuadrática es una expresión de la forma:
en donde (único requisito), el cieficiente "a" es distinto de cero.

"a", "b", "c" son coeficientes numéricos conocidos.
"x" es la variable independiente
"y" es la variable dependiente, aquella que depende de los valores que toma "x".

Dependiendo de los valores que tomen "a", "b", "c", se obtendrán, todas y cada una de las funciones expuestas en la Tabla de Funciones Cuadráticas, presentada más arriba. Para muestra un botón:

Ahora vamos a graficar la función anterior, cuando a toma el valor 1: a=1.

Demos algunos valores a la variable independiente (x), para lograr los de la variable dependiente (y):

Tabla de valores PRO gráfica:

Y ahora veamos la gráfica:

PSU La Nación 6

Si \x\ corresponde al valor absoluto de x, ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) con respecto a la gráfica de la función:

y= - \x-1\ + 1

1) Pasa por el punto (-2,2)
2) Intercepta al eje x en dos puntos.
3) Intercepta al eje Y en el origen.

A) Sólo I; B) Sólo II; C) Sólo I y II; D) Sólo II y III; E) I, II, III

Solución: Alternativa E): I, II, III


El dibujo muestra un trabajo secuencial, la figura 1 muestra la grñafica de Valor Absoluto; Figura 2, el desplazamiento a la derecha, cuando en el argumento le restamos 1; Figura 3, la inversión de la curva al anteponerle un menos y la Figura 4, El desplazamiento hacia arriba al sumarle 1. Las tres alternativas I, II, III son correctas acorde a la gráfica !

Desafío PSU - U. Católica

De la función logarítmica graficada se afirma que:

I) La base "b" es mayor que cero y menor que uno.

II) Es un punto de la curva:

III) Los logaritmos de números positivos son siempre positivos.

A) Sólo I; B) Sólo II; C) Sólo III; D) Sólo I y II E) I, II, III

Solución: uno de estos días .....

I) Verdadera, cuando la base está entre 0 y 1, es decir: 0 menor que b menor que 1, entonces la gráfica es decreciente, como se muestra en la figura.

II) Ese punto si pertenece a la gráfica, veamos:

III) Es falsa, en la propia gráfica se ve que esta propuesra es falsa .... o pensemos en un ejemplo:

Curvas asintóticas (en el infinito ....)

Observe la gráfica de las dos curvas:
Veamos esas dos gráficas:

Por qué sucede que son curvas muy parecidas, que van muy pegaditas ????

Se puede decir que hacia los dos infinitos (positivo, negativo) las dos curvas se comportan asintóticamente. ¿Qué es asíntota?

Una asíntota es una "recta" hacia la cula se aproxima una curva indefinidamente.

Ojo con el siguiente razonamiento: Simplifiquemos la Función Racional (tanto su numerador, como su denominador) por x al cuadrado:

Trazar la gráfica de Logaritmo en base 2 de x

Trazar la gráfica de:

Solución:

Podemos trazar la gráfica anterior, pensando en que -acorde a la definición de los logaristmos- que:

Hagamos una tabla de valores ....

Y veamos la gráfica (hecha con Graphmática e intervenida con Paint .....

Un pequeño problema de Optimización .....

Supongamos que queremos construir el mayor rectángulo posible con alambre de cercar, con un perímetro dado (con una longitud dada de alambre). Pensemos que este perímetro sea de 800 metros. ¿ Cuál será el mayor rectángulo que podamos construir ?

Podemos pensar en uno que tenga largo 300 y ancho 100. Así su área será de 30.000 metros cuadrados y su perímetro será de 800 metros. ¿ Pero es éste el mayor rectángulo que podemos construir con esa cantidad de alambre de cercar ?

Veamos la solución:

Sea A el Ancho.
Sea L el Largo. Claramente

2A + 2 L = 800

(Ec. Perímetro)
Área = A x L

(Ec. de Área)

Trabajemos estas ecuaciones .....

Integrado este resultado en la Ecuación del Área y trabajando (Completando cuadrado):

Y en este ecuación, relativa al área que queremos MAXIMIZAR, es obvio que el Área será mayor en la medidad que le restemos una menor cantidad a 40.000.

Para que ello suceda, L tendría que ser igual a 200, porque así restaremos cero a 40.000.

Entonces el Largo= L= 200; Pero antes sabíamos que L + A = 400, entonces, A= 200.

Por tanto, al maximizar el área, para el perímetro fijo de 800 metros, descubrimos que el rectángulo de mayor área ES UN CUADRADO de lado 200. Bueno, los cuadrados también son una clase muy particular de rectángulos.

Veamos esto gráficamente .....