Un pequeño problema de Optimización .....

Supongamos que queremos construir el mayor rectángulo posible con alambre de cercar, con un perímetro dado (con una longitud dada de alambre). Pensemos que este perímetro sea de 800 metros. ¿ Cuál será el mayor rectángulo que podamos construir ?

Podemos pensar en uno que tenga largo 300 y ancho 100. Así su área será de 30.000 metros cuadrados y su perímetro será de 800 metros. ¿ Pero es éste el mayor rectángulo que podemos construir con esa cantidad de alambre de cercar ?

Veamos la solución:

Sea A el Ancho.
Sea L el Largo. Claramente

2A + 2 L = 800

(Ec. Perímetro)
Área = A x L

(Ec. de Área)

Trabajemos estas ecuaciones .....

Integrado este resultado en la Ecuación del Área y trabajando (Completando cuadrado):

Y en este ecuación, relativa al área que queremos MAXIMIZAR, es obvio que el Área será mayor en la medidad que le restemos una menor cantidad a 40.000.

Para que ello suceda, L tendría que ser igual a 200, porque así restaremos cero a 40.000.

Entonces el Largo= L= 200; Pero antes sabíamos que L + A = 400, entonces, A= 200.

Por tanto, al maximizar el área, para el perímetro fijo de 800 metros, descubrimos que el rectángulo de mayor área ES UN CUADRADO de lado 200. Bueno, los cuadrados también son una clase muy particular de rectángulos.

Veamos esto gráficamente .....