La ciencia es para todos o NO SIRVE

"A otros le enseñaron, secretos que a ti no"

Los Prisioneros

Teorema de Gödel
(aproximación de un inexperto para la comprensión de otros inexpertos e inexpertas)

1) Axiomas y Teoremas: Los axiomas y los teoremas aparecen en toda construcción matemática.

2) Los Axiomas: Son verdades que se aceptan (puntos básicos, de partida) que se aceptan SIN DEMOSTRAR.

3) Los Teoremas: Son verdades que SE DEBEN DEMOSTRAR, a partir de uno o varios axiomas, que se presentan como puntos de partida. Así se crea un andamiaje, cuyos pilares son los axiomas y que se transforman en complejas estructuras de verdades demostradas, llamadas teoremas. Los teoremas de una cierta parte de la estructura, son nuevas bases para la demostración de otros teoremas.

4) OPCIONES: El andamiaje matemático NO es uno sólo. Algunos matemáticos parten de ciertos axiomas y otros de otros, y cada uno construye desde sus bases elegidas. Así se han creado distintos cuerpos matemáticos, cada uno con su lógica interna.Ejemplo: Algunos matemáticos se plantean desde el axioma de Euclides: “Hay sólo una recta paralela a otra que pasa por un punto externo” y desde aquí construyen un tipo de geometría, la Euclideana, que es la que estudiamos en los colegios. Hay otros matemáticos que parten del hecho de que hay infinitas rectas paralelas a una dada que pasan por un punto externo a la dada. Ellos construyen una geometría (No euclideana), distinta. Y ojo, que no se puede decir que hay una MEJOR que otra.

5) TENDENCIA CENTRAL: No obstante lo anterior, hay una cierta tendencia central, más o menos compartida, de una cierta matemática que se utiliza mayoritariamente en la enseñanza (al menos en la no especializada) y que es la que responde de manera pragmática a lo que la realidad (la gente, los técnicos) le pide a los matemáticos. Casi toda la gente que no sabe mucho de esta ciencia, cree que la matemática es UNA sola (y en cierto modo lo es).

6) HILBERT: A principios del siglo XX, según el sentir de Hilbert y la mayoría de los matemáticos, había acuerdo que para cualquier proposición susceptible de ser un teorema, es decir susceptible de ser demostrada haciendo uso de los axiomas en una secuencia bien construida del sistema matemático, habría de existir o bien una demostración de ella o bien una demostración de su negación porque en matemáticas no hay ningún "ignoraremos", kein 'ignorabimus' in der Mathematik. (¡Que vanidoso!)La demostración rigurosa de este hecho, que parecía estar fuera de toda duda razonable, fue un objetivo principal del programa que Hilbert proponía. Con ello se llegaría a establecer claramente esa condición de árbitro supremo de la ciencia matemática.

7) GÖDEL: No habían pasado 6 años cuando en 1931 K. Gödel derribaba de forma definitiva la idea de Hilbert. Pese a todas las expectativas de los matemáticos del tiempo, Gödel demostró que la situación real era precisamente la contraria: En cualquier sistema matemático suficientemente potente para que en él se pueda desarrollar la aritmética de los números naturales existen proposiciones P con perfecto sentido dentro del sistema que son indecidibles, es decir P no se puede demostrar, pero tampoco no-P se puede demostrar.Este es el contenido del primer teorema de Gödel (1931) sobre la incompletitud de la aritmética, que probablemente pasará a la historia como uno de los resultados más importantes de pensamiento matemático, en una artículo titulado “Sobre proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas relacionados”.Poco después Gödel demostraría además, como resultado complementario, algo que hacía apreciar aún mejor la profundidad de su anterior teorema: Una de tales proposiciones indecidibles es precisamente la que afirma que en el sistema en cuestión no existen contradicciones.Es decir, construyamos el sistema matemático que construyamos, con tal tan sólo de que sea suficiente para en él se pueda desarrollar la aritmética ordinaria, no podemos demostrar dentro de él que nunca van a surgir proposiciones contradictorias, es decir no podemos estar seguros de que en él no va a resultar que P es un teorema a la vez que también no-P es un teorema, lo cual naturalmente invalidaría totalmente el sistema, ya que cualquier afirmación y su negación serían igualmente demostrables.

Nota 1: Eintein y el lógico-matemático austriaco Kurt Gödel fueron buenos amigos. Quizás se buscaron como aquellos que buscan referencias y se encuentran comprobando finalmente que no tienen a nadie a quien más recurrir, son el último peldaño escalado en sus respectivas disciplinas ..... Los teoremas de Gödel sobre lo incompleto, publicados en 1931 cuando apenas tenía 25 años, reescribieron las directrices de la ciencia moderna, tanto como la teoría de la relatividad de Einstein lo había hecho hace 15 años antes. La aritmética elemental, según demostró Gödel, estaba incompleta y lo seguiría estando. No importa en que sistema axiomático Ud. base sus cálculos.

Nota 2: Enunciado del TEOREMA DE LA INCOMPLETITUD de Gödel: Todo sistema matemático contiene proposiciones “indecibles”, es decir, que no son ni demostrables ni refutables con los axiomas contenidos en ese sistema matemático. Este teorema subraya además que NO es posible demostrar que un sistema es coherente permaneciendo en su interior ..... para lograr demostrar coherencia, hay que salir del sistema .....

8) Biografía de WIKIPEDIA: Kurt Friedrich Gödel (28 de abril 1906 - 14 de enero 1978), lógico y matemático nacido en Brünn, Austria-Hungría (en la actualidad Brno, República Checa). Su padre fue empresario textil lo que le permitió estudiar con comodidad. Ingresó en la Universidad de Viena en 1924 para estudiar Física pero hacia 1926 su atención se volcó a las Matemáticas. Se unió al que más tarde fue conocido como Círculo de Viena, que fundó la escuela filosófica conocida como Positivismo lógico.

¿Qué es Topología? NO es la ciencia que estudia a los topos .....

TOPOLOGÍA
Una rama de la ciencia geométrica
(Tomado de Geometría y Aprendizaje, Riveros y Zanocco - 1992)

La Topología es la geometría de la distorsión. Estudia propiedades geométricas fundamentales que quedan inalteradas cuando estiramos, retorcemos o cambiamos de cualquier otra manera el tamaño y la forma de un objeto. Estudia figuras lineales, superficies o sólidos; desde toros y nudos a redes y mapas.

A diferencia de la geometría de Euclides, que mide longitudes y ángulos, y se llama por eso métrica, la topología es una geometría NO métrica, o no cuantitativa. Sus proposiciones son ciertas, tanto para un objeto hecho de goma elástica como para las figuras rígidas de la geometría métrica.

La topología parece un tema extraño, dado que aborda formas extrañas y a primera vista improbables. Sus proposiciones o son obvias -hasta que uno se propone demostrarlas- o tan difíciles o abstractas que incluso un matemático no puede explicar su significado intuitivo. Pero la topología no es más extraña que el mundo físico tal como lo interpretamos. La geometría euclideana, a pesar de su apariencia familiar, es demasiado fantástica; trata con objetos totalmente ficticios; figuras permanentemente rígidas y cuerpos que no cambian al moverse. La topología parte de la premisa segura de que no hay objetos rígidos, de que todo el mundo es algo deformado, y se deforma más cuando se altera su posición.

El objetivo de la topología es encontrar los elmentos de orden en este desorden, lo permanente en este cambio constante (....) La Topología busca cualidades intrínsecas, aquellas que no cambian cuando la configuración espacial que se está considerando sufre, por ejemplo, un proceso de dilatación y flexion SIN RUPTURA.

La transformación de una figura en otra, SIN RUPTURA, produce una equivalencia topológica u homeomorfismo. Clásico de esto es la transformación de una rosquilla (toro) en una taza y el chiste consiguiente de que "los matemáticos son aquellos que no distinguen entre tazas y roscas".

Veamos aquí incluso un homomorfismo muy fácil, en topología la letra "I" y la letra "L" son homeomorfismos una de otra .... es fácil imaginar:

A continuación, dos videos topológicos bajados de YOUTUBE, en uno de ellos la transformación topológica en una curiosa botella y en el otro un juego de seguir una línea compleja sin pasar dos veces por un mismo camino .....

Dejémosle como desafío:

A trabajar !!!!

Buscando compresiones en el Universo y algunas precisiones en torno al teorema de Gödel

Buscando orden en medio de CAOS:

Supongamos que tenemos dos secuencias distintas de números.

La primera tiene la forma ....

001001001001001001001 ....,

mientras la segunda tiene la forma ....

0100101101011111010010 ....,

Ahora nos preguntamos si estas secuencias son aleatorias u ordenadas. Claramente la primera parece ser ordenada, y decimos esto porque es posible “ver” un patrón en ella; esto es, podemos reemplazar la primera secuencia por una regla que nos permite recordar o comunicarla a otros sin tener que detallar todo su contenido. Así llamaremos a una secuencia NO ALEATORIA si podemos abreviarla con una fórmula o regla más breve que ella (es equivalente al concepto matemático de conjuntos por EXTENSION vs. por COMPRENSION). Si es así decimos que es COMPRIMIBLE.

Por otra parte, si como parece ser el caso de la segunda secuencia (que se generó tirando una moneda), no existe abreviación o fórmula que capture la información que contiene, se dice que es INCOMPRIMIBLE. Si queremos contarle a nuestros amigos de la secuencia incomprimible, tendremos que mostrársela entera. No es posible condensar su información de una manera más corta que la secuencia misma.

Esta simple idea nos permite extraer algunas lecciones sobre la búsqueda científica de una teoría unificada. Podemos definir la ciencia como la búsqueda de compresiones. La ciencia busca PATRONES en los hechos, compresiones de la información que nos ofrece el universo, y estos patrones los hemos llamado leyes de la naturaleza. La búsqueda de una teoría unificada es la búsqueda de una última compresión del mundo. La demostración de Chaitin del teorema de la incompletitud de Gödel, usando los conceptos de complejidad y compresión, revela que el teorema de Gödel es equivalente al hecho que NO SE PUEDE PROBAR QUE UNA SECUENCIA NO SE PUEDA COMPRIMIR. Nunca probaremos que una compresión es la última; siempre existirá una unificación más profunda y simple, esperando ser encontrada. Por todo esto, ¿que piensas del intento de Einstein en buscar una teoría unificada? (John D. Barrow)

Nota: Eintein y el lógico-matemático austriaco Kurt Gödel fueron buenos amigos. Quizás se buscaron como aquellos que buscan referencias y se encuentran comprobando finalmente que no tienen a nadie a quien más recurrir, son el último peldaño escalado en sus respectivas disciplinas ..... Los teoremas de Gödel sobre lo incompleto, publicados en 1931 cuando apenas tenía 25 años, reescribieron las directrices de la ciencia moderna, tanto como la teoría de la relatividad de Einstein lo había hecho hace 15 años antes.

Teorema de Gödel:

La aritmética elemental, según demostró Gödel, estaba incompleta y lo seguiría estando. No importa en que sistema axiomático Ud. base sus cálculos, hay postulados verdaderos más allá del alcance del sistema. Añadir tales postulados al sistema como nuevos axiomas no sirve de nada. El sistema enriquecido es también incompleto, y así “la infección continúa su ascenso gradual”.

Enunciado del TEOREMA DE LA INCOMPLETITUD de Gödel: Todo sistema matemático contiene proposiciones “indecibles”, es decir, que no son ni demostrables ni refutables con los axiomas contenidos en ese sistema matemático. Este teorema subraya además que NO es posible demostrar que un sistema es coherente permaneciendo en su interior ..... para lograr demostrar coherencia, hay que salir del sistema .....

¿Que es la Topología? (Ideas iniciales)

Es la parte de las matemáticasque estudia las propiedades delos objetos que son invariantespor transformacionescontinuas (se preocupa de la continuidad).

Los tamaños, las formas y las posiciones no son importantes ... (Acá no importa lo métrico)

El toro y la taza son topológicamente equivalentes, pues la taza se produjo a partir del toro sin destruir la noción de vecindad de los puntos, por deformaciones continuas.

WIKIPEDIA: Pensemos en un triángulo: Este es topológicamente lo mismo que una circunferencia, ya que podemos transformar uno en otra de forma continua, sin romper ni pegar. Pero una circunferencia no es lo mismo que un segmento (ya que habría que partirla por algún punto). Ésta es la razón de que se la llame la "Geometría de la página de goma", porque es como si estuviéramos estudiando Geometría sobre un papel de goma que pudiera contraerse, estirarse, etc.Una taza transformándose en una rosquilla (toro).

Un chiste habitual entre los topólogos (los matemáticos que se dedican a la topología) es que «un topólogo es una persona incapaz de distinguir una taza de una rosquilla». Pero esta visión, aunque muy intuitiva e ingeniosa, es sesgada y parcial. Por un lado puede llevar a pensar que la Topología trata sólo de objetos y conceptos geométricos (siendo más bien al contrario, es la Geometría la que trata con un cierto tipo de objetos topológicos).

Nota: No sé si se pueda bajar de la red, pero hay un documento precioso y potente llamado el Topologicon, muy recomendable para quienes aman este tema, es un comics, de un grupo llamado saber sin fronteras, probablemente está en: http://www.savoir-sans-frontieres.com/

¿Qué es un fractal?

El concepto de fractal fue acuñado en 1975 por Benoît Mandelbrot, fascinado por la matemática de los patrones repetitivos presentes en muchas facetas de la naturaleza. Objetos como un copo de nieve o los elementos de un paisaje (rocas, montañas, la costa o litoral, etc) ofrecen un aspecto fractal.

Los fractales son formas geométricas que son similares a si mimas a diferentes escalas. Expresándolo de otra forma: de un fractal se ve lo mismo (si es regular) o casi lo mismo (si es irregular), independientemente de la escala en la cual miramos.
Los árboles (sus ramas) poseen estructura fractal irregular. La conformación tronco y sus bifurcaciones principales, se repite al interior de cada una de las bifurcaciones menores. Lo mismo sucede con los helechos, el pulmón y sus alveolos, las formaciones arteriales, los nervios del cuerpo humano, una brócoli, el litoral es una línea quebrada independientemente desde la altura que lo miremos (o lo que es lo mismo decir: independientemente de la escala a la cual lo observemos).

Los estudiosos de la ciencia del caos aseguran que algunos fenómenos son escalares. Su irregularidad peculiar (descriptible en términos de dimensión fractal) no se altera sea cual sea la escala en que se los observe.

Benoît Mandelbrot llegó a la conclusión de que el grado de irregularidad permanecía constante a diferentes escalas. Es decir, desde el nuevo enfoque geométrico el mundo exhibe, pues, una irregularidad regular: hay orden dentro del caos.

NUEVA GEOMETRIA :

Benoît Mandelbrot solía decir que las nubes no son esferas ni los montes conos. La nueva geometría ha de ser capaz de reflejar un universo áspero, rugoso. Para Mandelbrot, la dimensión efectiva de una cosa resultaba distinta de sus tres dimensiones mundanas habituales (largo, ancho y alto; así una línea tiene dimensión uno: largo; una bandera tiene dimensión 2: largo y ancho y; una caja de fósforos dimensión 3: largo, ancho y alto). Así, la dimensión efectiva es la dimensión fraccional, que representa el medio de ponderar cualidades como el grado de irregularidad o discontinuidad de un objeto. Así surge la geometría fractal como un procedimiento de descripción y cálculo sobre las figuras irregulares y fragmentadas, que van desde la línea irregular de un litoral hasta las líneas cristalinas y regulares de los copos de nieve.

CONTRUCCION de UNA LINEA FRACTALIZADA ....

Distancia (INFINITA) entre dos puntos (o la costa de un país es infinita) :

Creemos un fractal dividiendo en sucesivas iteraciones, un trazo de longitud 1.

Sin división la línea mide la longitud 1.

veamos los cáculos:

Y si vemos una tabla de iteraciones:

La longitud de la línea tiende a infinito .....

Una curva cerrada, de área FINITA pero de Perímetro INFINITO

Si yo utilizo tres trazos como el anterior, unidos de dos en dos, se forma inicialmente un triángulo equilátero, en el cual voy a fractalizar cada uno de sus lados, como los pasos que repetimos anteriormente.

La figura final encierra un área FINITA,

pero su perímetro es INFINITO .....

Unificación de la Física: Teoría de CUERDAS

Teoría de CUERDAS

Einstein utilizó infructuosamente gran parte de los últimos años de su vida en buscar una Teoría Unificada o Teoría de Gran Unificación (TGU) o TOE (Theory Of Everything). El momento no estaba maduro: había teorías parciales para la gravedad y para la fuerza electromagnética, pero se conocía muy poco sobre las fuerzas nucleares (*).

Además, Einstein se negaba a creer en la realidad de la mecánica cuántica, a pesar del importante papel que él había jugado en su desarrollo. Sin embargo, parece ser que el principio de incertidumbre es una característica fundamental del universo que vivimos. Una TGU que tenga éxito, tiene, por lo tanto, que incorporar necesariamente este principio.

En esta búsqueda de una TOE, en los años 80 (1984) se produjo un notable cambio de opinión en favor de lo que se conoce como TEORIA de CUERDAS (Construcción teórica en la que no participó Einstein). Dado que el enunciado de esta teoría es muy complejo y que aún se buscan campos matemáticos para su correcta expresión, simplemente diremos que:La Teoría de Cuerdas plantea que los objetos básicos no son partículas que ocupan un único punto del espacio, sino objetos que poseen una longitud pero ninguna otra dimensión más, similares a trozos infinitamente delgados de cuerdas, viajando en un espacio tiempo de 10 u 11 dimensiones. Así, en la Teoría de Cuerdas, lo que anteriormente se consideraban partículas, se describen ahora como ondas viajando por la cuerda ....

Plantea esta teoría que las partículas elementales de la materia son manifestaciones de vibraciones de los extremos de cuerdas sumamente pequeñas (10 elevado a menos 33 cm, longitud que corresponde a la longitud de Plank).Esta teoría parece ofrecer una vía prometedora para unificar la mecánica cuántica y la relatividad, pero permanece envuelta en una especie de nebulosa matemática y no ha sido verificada experimentalmente.

(Para más información leer “Historia del Tiempo de Stephen Hawking, pags. 201 a 218, desde donde se tomó este escueto extracto).

(*) Cuatro tipos de fuerzas UNIVERSALES : 1) Fuerza Gravitatoria: toda partícula la experimenta en base a su masa o energía. Es la más débil de las 4 fuerzas, actúa a grandes distancias y siempre es atractiva; 2) Fuerza Electromagnética: es la que interactúa con las partículas cargadas eléctricamente, como los electrones y los quarks. Es mucho más fuerte que la gravitatoria; 3) Fuerza Nuclear Débil: Es la responsable de la radioactividad; 4) Fuerza Interacción Nuclear Fuerte: Es la que mantiene a los quarks unidos en el protón y neutrón, y a los protones y neutrones juntos en los núcleos de los átomos.

El Hotel infinito (Teoría de Conjuntos)

El Hotel Infinito o el EXTRAÑO Hotel .....

Un hotel tiene, enumeradamente, un número infinito de habitaciones. Sus infinitas piezas van del el 1,2,3, .... hasta el infinito.

El Hotel está a bote, completamente lleno.

Tardíamente llega un último huesped. El conserje le dice: está todo lleno.

Pero el huésped le dice, traslade a la persona de la primera habitación a la segunda, a la de la segunda a la tercera y así sucesivamente. Así la habitación queda libre para el nuevo llegado.

Un poco más tarde llegan 1000 nuevos invitados. En esta oportunidad la solución es trasladar el huésped 1 a la habitación 1001, el 2 a la habitación 1002 y así sucesivamente. Así se abre espacio para los mil nuevos visitantes.

Cerca de la media noche llegan un número INFINITO de huéspedes.

La solución del conserje es llevar al habitante del primer cuarto a la habitación 2, al del segundo cuarto a la habitación 4, al de la tercera habitación a la sexta habitación. Los habitante iniciales se van a las habitaciones pares y el otro infinito llegado a las habitaciones impares ..... y cero rollo con las peizas.

Esta historia la construyó David Hilbert (1862 - 1943). Con ella puso de relieve conceptos que habían sido ya apuntados por George Cantor.

Tanto la sucesión de los naturales: 1,2,3,4,5,6,7 ....

Como la de los números pares : 2,4,6,8,10,12 .....

Son ambas infinitas.

OJO: LOS NÚMEROS PARES, A PESAR DE SER UNA PARTE DE LOS NATURALES, SON AMBOS CONJUNTOS INFINITOS Y NINGUNO POSEE UN NUMERO SUPERIOR O INFERIOR DE ELEMENTOS, cada uno respecto del otro.

Matemáticas TRANSFINITAS: Distintos tipos de INFINITO o el paraiso de Cantor

A veces estas reflexiones asombran todavía la noche conturbada
o el reposo a mediodía.

T. S. Eliot

Matemáticas TRANSFINITAS (elementos básicos .....)

Pa' Niko, Inti y Kristel .....


Al finalizar este lectura, Ud. estará convencido(a) de que hay distintos tipos de infinitos, que hay unos infinitos "MAS GRANDES" que otros .... al menos eso creo poder lograr.

Pensemos en un conjunto infinito. El más simple es de de los números naturales (N), esos que se llaman así porque los usamos para contar:

N=(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ........ , hacia el infinito).

Realmente es gigantezco, pero más eso, es realmente infinito porque nunca habrá un número final.

Sin embargo hay otro tipo de conjunto infinito. Piense Ud. en todos los números decimales que hay entre el cero y el uno .... YO les digo que son infinitos.

Miremos algunos ejemplos:



0,625 está entre 0,5 y 0,75, JUSTO AL MEDIO, entre ambos. Con este proceso de sumar dos decimales y dividir el resultado por 2, se puede encontrar un decimal que está justo en medio de ambos. Este proceso se puede hacer infinitas veces, por lo cual, los decimales que hay entre 0 y 1 son INFINITOS.

En lengua VULGATA:

Lo que vamos a demostrar es que "el infinito de los números naturales, es menor que el infinito de los números decimales que hay entre 0 y 1".

Supongamos que podemos comparar ambos infinitos, que son equivalentes, que tiene cada uno de ellos el mismo número de elementos (hay una BIYECCION entre ellos diría los matemáticos cabezones).

Entonces podríamos asociar a cada número natural, alguno de los números decimales entre 0 y 1.
Hagamos una lista de correspondencia (TABLA):



Si ambos conjuntos tuvieran infinitos equivalentes, significaría que no faltaría ningún número natural y ningún número decimal en esta correspondencia, que se "emparejarían" uno-a-uno.
Pero esto es falso, porque se puede encontrar al menos un decimal que está entre 0 y 1 y no está en esta lista.

Este decimal: 0,27458379632 .... construído bajo el siguiente criterio NO está en la lista.

Criterio:
Se ha construido eligiendo

una primera cifra decimal distinta de la primera cifra del decimal 1 (de la TABLA);
una segunda cifra decimal distinta de la segunda cifra decimal del decimal 2 (de la TABLA),
y así sucesivamente ..... (se pueden construir varios, muchos similares que no están).

¿Puede este decimal estar en la lista? NO, porque difiere de todo "decimal n" precisamente en la cifra n.

Por tanto: HAY MÁS PUNTOS (NÚMEROS decimales) ENTRE CERO Y UNO QUE NÚMEROS (de contar) EN EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS NATURALES. HAY INFINITOS DISTINTOS .... UNOS MÁS GRANDES QUE OTROS.

Ahora pensemos en lo siguiente: Tomemos un segmento de longitud 1 y una recta ilimitada por ambos extremos. Pareciera ser que la recta ilimitada tuviera más puntos. El dibujo que adjunto, en el cual muestra el segmento unitario curvado, nos deja en claro que lo anterior no es cierto. CADA UNO DE LOS PUNTOS DEL SEGMENTO CURVILÍNEO DE LONGITUD 1 ESTA EN CORRESPONDENCIA UNO-A-UNO CON UN PUNTO DE LA RECTA Y VICEVERSA.

Podemos decir, en este caso, que ambos infinitos son iguales. Nótese que el número de puntos no tiene nada que ver con su medida. En efecto, tanto la recta como el segmento tienen el mismo número de puntos y, no obstante, sus longitudes son evidentemente distintas.
Espero se haya entendido pero sobretodo se haya disfrutado ..... Abrazos, Claudio.

(Nota 1, para mi entender, tener un SATORI es casi -dije casi- tan potente como un orgasmo).

(Nota 2: Hablo de Paraíso de Cantor porque fue este matemático (George F. Cantor 1845-1918) el que nos introdujo a las matemáticas transfinitas desde la creación de la Teoría de Conjuntos. Cantor de ejemplar espíritu científico decía:"la libertad es la esencia de las matemáticas", pero a él se la negaron sistemáticamente sus numerosos adversarios, tan poderosos que consiguieron mantenerle arrinconado en puestos de castigo .... )

(Nota 3: DIVERTIMENTO: Una vez yo estaba protestando solo contra Pascualama o algo así en La Moneda y llegó un carabinieri medio enojado, yo conversaba con la gente y me pidió le explicitara la temática, en mi distracción yo saqué un paskin de la temática y se lo dí señalándole que ahí se podía bien informar ,,,, de reojos lo miraba mirar la hoja y darla vuelta y sobretutti darle vueltas al asunto ..... cuando nuevamente se acercó me preguntó -estando yo ya libre de la gente- si no me había equivocado porque él no entendía nada .... miré la hoja y le había pasado una explicación de este tema, un escrito para la universidad de conjuntos enumerables y no enumerables deste Paraíso de cantor .... Plop !!!!)

A modo de despedida ....

Los agujeros negros son los lugares del universo en donde Dios dividió por cero.
STEVEN WRIGHT