¿Que es la Topología? (Ideas iniciales)

Es la parte de las matemáticasque estudia las propiedades delos objetos que son invariantespor transformacionescontinuas (se preocupa de la continuidad).

Los tamaños, las formas y las posiciones no son importantes ... (Acá no importa lo métrico)

El toro y la taza son topológicamente equivalentes, pues la taza se produjo a partir del toro sin destruir la noción de vecindad de los puntos, por deformaciones continuas.

WIKIPEDIA: Pensemos en un triángulo: Este es topológicamente lo mismo que una circunferencia, ya que podemos transformar uno en otra de forma continua, sin romper ni pegar. Pero una circunferencia no es lo mismo que un segmento (ya que habría que partirla por algún punto). Ésta es la razón de que se la llame la "Geometría de la página de goma", porque es como si estuviéramos estudiando Geometría sobre un papel de goma que pudiera contraerse, estirarse, etc.Una taza transformándose en una rosquilla (toro).

Un chiste habitual entre los topólogos (los matemáticos que se dedican a la topología) es que «un topólogo es una persona incapaz de distinguir una taza de una rosquilla». Pero esta visión, aunque muy intuitiva e ingeniosa, es sesgada y parcial. Por un lado puede llevar a pensar que la Topología trata sólo de objetos y conceptos geométricos (siendo más bien al contrario, es la Geometría la que trata con un cierto tipo de objetos topológicos).

Nota: No sé si se pueda bajar de la red, pero hay un documento precioso y potente llamado el Topologicon, muy recomendable para quienes aman este tema, es un comics, de un grupo llamado saber sin fronteras, probablemente está en: http://www.savoir-sans-frontieres.com/