Un número natural (los que usamos para contar), distinto de 1, se dice que es un núemro primo sí y sólo sí tiene exactamente dos divisores (exactos): el 1 y él mismo.
Así son primos el: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 ..... (en la primera centena)
y no es número primo el 15, porque además de 1 y de 15, lo dividen en forma exacta el 3 y el 5. No es primo y tal como lo ven es divisible por dos números primos, ademas del 1 y si mismo .... Un número que NO es primo, es divisible por al menos un número primo.
Prueba de que los números primos son infinitos:
Supongamos al revés, que se acaban, que su listado es finito, hay un último:
Hagamos el listado:
p1, p2, p3, p4, p5, ............, pn
de tal manera que estén listados de forma creciente:
p1 <>
es decir habría sólo "n" números primos y pn sería el más grande. Está claro que si hay un conjunto finito de ellos, uno debe ser el mayor, en este caso lo denominamos pn.
vamos a fabricar un número que llamaremos N.
Ahora bien, como N es mayor que el más grande de todos los primos (como hemos supuesto) NO puede ser primo, porque pn es el mayor de ellos.
Como N no es primo, debe ser divisible por un número primo. Uno de los n números (p1, p2, p3, ....... pn) debe dividirlo. Pensemos en que sea uno que llamamos pk.
Pk divide a N.
Ahora, pensemos en el número N-1 :
obviamente es divisible por pk. (Porque lo tiene como factor)pk divide a N-1.
pk divide a N y a N-1 (dos números consecutivos)
Y ESTO es IMPOSIBLE, porque
Dos números consecutivos no pueden ser nunca múltiplos de un mismo núemro (salvo el 1)
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