La idea de Hilbert es la culminación de dos mil años de tradición matemática, empezando con el tratamiento axiomático de la geometría de Euclides, el sueño de una lógica simbólica de Leibnitz y la monumental obra Principia Mathematica de Russell y Whitehead. El sueño de Hilbert era clarificar de una vez por todas los métodos de razonamiento matemático. Quería formular un sistema axiomático formal que abarcara todas las matemáticas.
Hilbert destacó una cantidad de propiedades clave que son necesarias para este sistema axiomático formal. Es como un lenguaje de programación computacional. Es una afirmación precisa sobre los métodos de razonamiento, los postulados y los métodos de inferencia que nosotros aceptamos como matemáticos. Hilbert estipuló, además, que el sistema axiomático formal que abarcara todas las matemáticas que quería construir, debería ser "consistente" y "completo".
"Consistente" significa que usted no podría probar una afirmación y su contradictoria. No podría probar A y no A. Sería muy desconcertante. "Completo" significa que si usted hace una afirmación con sentido, podría establecerla de una u otra manera. Eso significa que A o no A serían un teorema, comprobable desde los axiomas y empleando las reglas de inferencia en el sistema axiomático formal.
Considere usted una afirmación significativa A y su contradictoria no A. Exactamente una de las dos debería ser probada si el sistema axiomático formal es consistente y completo.
Un sistema axiomático formal es como un lenguaje de programación. Hay un alfabeto y reglas gramaticales; en otras palabras, una sintaxis formal. Es un tema con el que ahora estamos familiarizados. Reflexione usted sobre los tres enormes volúmenes llenos de símbolos de Russell y Whitehead, y sentirá que está ante un enorme programa computacional en un lenguaje de programación incomprensible.
Ahora hay un hecho muy sorprendente. "Consistente y Completo" significa sólo la verdad y toda la verdad. Parecen ser requisitos razonables. Sin embargo, hay una consecuencia graciosa relacionada con lo que llamamos el problema de la decisión. En alemán es llamado Entscheidungsproblem. Hilbert atribuyó gran importancia a este problema.
Al resolver el problema de la decisión para un sistema axiomático formal, usted tendrá un algoritmo que le permitirá decidir si una afirmación significativa dada es o no un teorema. Una solución al problema de la decisión es el llamado procedimiento de decisión.
Esto suena mal. El sistema formal axiomático que Hilbert quería construir habría incluido todas las matemáticas: aritmética elemental, cálculo, álgebra, todo. Si existe un procedimiento de decisión las matemáticas quedan obsoletas. Este algoritmo, este procedimiento mecánico, puede comprobar si algo es teorema o no; puede comprobar si es verdadero o no. Así, requerir que exista este procedimiento de decisión para este sistema axiomático formal suena como si estuviéramos pidiendo demasiado.
Sin embargo, es muy fácil darse cuenta de que si es consistente y completo debe haber un proceso de decisión. Es así como se hace. Se tiene un lenguaje formal con un alfabeto finito y una gramática. Y Hilbert recalcó que lo más importante en el sistema axiomático formal es que exista un procedimiento mecánico para comprobar si una demostración significativa es o no correcta, si obedece o no las reglas. Es la noción de que la verdad matemática debería ser objetiva, de modo que todos podamos saber si una prueba sigue o no las reglas.
Así, si éste es el caso, hay que recorrer todas las demostraciones en orden de tamaño, y mirar toda la secuencia de símbolos del alfabeto del largo de un, dos, tres, cuatro, mil, mil una... cien mil caracteres de largo. Usted aplica el procedimiento mecánico, que es la esencia del sistema axiomático formal, para comprobar la validez de cada prueba. Naturalmente la mayor parte del tiempo serán disparates, serán agramaticales. Pero eventualmente usted encontrará toda demostración posible, pero sólo en principio, por supuesto. El número crece en forma exponencial y eso es algo que usted no podría hacerlo en la práctica. Nunca llegaría a demostraciones de una página de largo.
En principio puede recorrer todas las demostraciones posibles, comprobar cuáles son válidas, ver qué demuestran y de ese modo puede encontrar sistemáticamente todos los teoremas. En otras palabras, hay un algoritmo, un procedimiento mecánico para generar uno por uno cada teorema que pueda demostrarse en un sistema axiomático formal. Entonces, si para cada afirmación significativa en el sistema, o la afirmación es un teorema o lo es su contradictoria, sólo una de ellas, usted llega a un procedimiento de decisión. Para saber si una afirmación es teorema o no, sólo debe recorrer todas las demostraciones hasta encontrar si la afirmación proviene de un teorema, o prueba la afirmación contradictoria.
Parece que Hilbert realmente creyó que iba a resolver de una vez y para siempre todos los problemas matemáticos. Suena increíble pero aparentemente fue así. Creyó ser capaz de encontrar un sistema formal axiomático completo para todas las matemáticas, y desde ahí obtener un proceso de decisión para todas ellas. Esto sólo sigue la tradición formal y axiomática de las matemáticas.
Estoy seguro que no creyó que éste sería un procedimiento de decisión práctico. El que yo he esbozado funcionaría sólo en principio. Es exponencialmente lento: ¡terriblemente lento! Totalmente impracticable. Pero la idea era que, si todos los matemáticos pudieran estar de acuerdo en que una demostración es correcta, consistente y completa, ello podría entregar en principio un procedimiento de decisión para resolver automáticamente cualquier problema matemático.
¡Por supuesto el único problema con este inspirado proyecto es que resultó ser imposible!
Hilbert destacó una cantidad de propiedades clave que son necesarias para este sistema axiomático formal. Es como un lenguaje de programación computacional. Es una afirmación precisa sobre los métodos de razonamiento, los postulados y los métodos de inferencia que nosotros aceptamos como matemáticos. Hilbert estipuló, además, que el sistema axiomático formal que abarcara todas las matemáticas que quería construir, debería ser "consistente" y "completo".
"Consistente" significa que usted no podría probar una afirmación y su contradictoria. No podría probar A y no A. Sería muy desconcertante. "Completo" significa que si usted hace una afirmación con sentido, podría establecerla de una u otra manera. Eso significa que A o no A serían un teorema, comprobable desde los axiomas y empleando las reglas de inferencia en el sistema axiomático formal.
Considere usted una afirmación significativa A y su contradictoria no A. Exactamente una de las dos debería ser probada si el sistema axiomático formal es consistente y completo.
Un sistema axiomático formal es como un lenguaje de programación. Hay un alfabeto y reglas gramaticales; en otras palabras, una sintaxis formal. Es un tema con el que ahora estamos familiarizados. Reflexione usted sobre los tres enormes volúmenes llenos de símbolos de Russell y Whitehead, y sentirá que está ante un enorme programa computacional en un lenguaje de programación incomprensible.
Ahora hay un hecho muy sorprendente. "Consistente y Completo" significa sólo la verdad y toda la verdad. Parecen ser requisitos razonables. Sin embargo, hay una consecuencia graciosa relacionada con lo que llamamos el problema de la decisión. En alemán es llamado Entscheidungsproblem. Hilbert atribuyó gran importancia a este problema.
Al resolver el problema de la decisión para un sistema axiomático formal, usted tendrá un algoritmo que le permitirá decidir si una afirmación significativa dada es o no un teorema. Una solución al problema de la decisión es el llamado procedimiento de decisión.
Esto suena mal. El sistema formal axiomático que Hilbert quería construir habría incluido todas las matemáticas: aritmética elemental, cálculo, álgebra, todo. Si existe un procedimiento de decisión las matemáticas quedan obsoletas. Este algoritmo, este procedimiento mecánico, puede comprobar si algo es teorema o no; puede comprobar si es verdadero o no. Así, requerir que exista este procedimiento de decisión para este sistema axiomático formal suena como si estuviéramos pidiendo demasiado.
Sin embargo, es muy fácil darse cuenta de que si es consistente y completo debe haber un proceso de decisión. Es así como se hace. Se tiene un lenguaje formal con un alfabeto finito y una gramática. Y Hilbert recalcó que lo más importante en el sistema axiomático formal es que exista un procedimiento mecánico para comprobar si una demostración significativa es o no correcta, si obedece o no las reglas. Es la noción de que la verdad matemática debería ser objetiva, de modo que todos podamos saber si una prueba sigue o no las reglas.
Así, si éste es el caso, hay que recorrer todas las demostraciones en orden de tamaño, y mirar toda la secuencia de símbolos del alfabeto del largo de un, dos, tres, cuatro, mil, mil una... cien mil caracteres de largo. Usted aplica el procedimiento mecánico, que es la esencia del sistema axiomático formal, para comprobar la validez de cada prueba. Naturalmente la mayor parte del tiempo serán disparates, serán agramaticales. Pero eventualmente usted encontrará toda demostración posible, pero sólo en principio, por supuesto. El número crece en forma exponencial y eso es algo que usted no podría hacerlo en la práctica. Nunca llegaría a demostraciones de una página de largo.
En principio puede recorrer todas las demostraciones posibles, comprobar cuáles son válidas, ver qué demuestran y de ese modo puede encontrar sistemáticamente todos los teoremas. En otras palabras, hay un algoritmo, un procedimiento mecánico para generar uno por uno cada teorema que pueda demostrarse en un sistema axiomático formal. Entonces, si para cada afirmación significativa en el sistema, o la afirmación es un teorema o lo es su contradictoria, sólo una de ellas, usted llega a un procedimiento de decisión. Para saber si una afirmación es teorema o no, sólo debe recorrer todas las demostraciones hasta encontrar si la afirmación proviene de un teorema, o prueba la afirmación contradictoria.
Parece que Hilbert realmente creyó que iba a resolver de una vez y para siempre todos los problemas matemáticos. Suena increíble pero aparentemente fue así. Creyó ser capaz de encontrar un sistema formal axiomático completo para todas las matemáticas, y desde ahí obtener un proceso de decisión para todas ellas. Esto sólo sigue la tradición formal y axiomática de las matemáticas.
Estoy seguro que no creyó que éste sería un procedimiento de decisión práctico. El que yo he esbozado funcionaría sólo en principio. Es exponencialmente lento: ¡terriblemente lento! Totalmente impracticable. Pero la idea era que, si todos los matemáticos pudieran estar de acuerdo en que una demostración es correcta, consistente y completa, ello podría entregar en principio un procedimiento de decisión para resolver automáticamente cualquier problema matemático.
¡Por supuesto el único problema con este inspirado proyecto es que resultó ser imposible!
Nota del Blogger: Quien demostró que el programa de Hilbert es imposible fue finalmente Kurt Godel, del cual hay varios posteos en este BLOG.
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