Resolver un sistema de Ecuaciones usando GRAPHMATICA

Curriculum chileno:
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: 2. Funciones. f. Uso de algún programa computacional de manipulación algebraica y gráfica.
Reslución manual del sistema:

Uso de GRAPHMATICA para resolver el sistema:

1) Abrir Graphmática.

2) Graficar la primera ecuación: Y = x+1

3) Graficar la segunda ecuación: Y = - X +5

Esto da la gráfica:

4) Luego, hay una herramienta para certificar la solución, que es la intersección de ambas rectas:

Click en menu: "Herramientas"

Click en menu: "Encontrar la intersección"

Click en botón calcular y entrega la solución: X=2; Y=3

Función Logaritmica - Función Exponencial: Crecimiento de Poblaciones

Curriculum Chileno:
NM4
I. Álgebra y Funciones
b. Funciones Logarítmica y Exponencial, sus gráficos correspondientes. Análisis de las expresiones algebraicas y gráficas de las funciones Logarítmica y Exponencial.

Función EXPONENCIAL:

Crecimiento de Poblaciones:

La ameba es un organismo vivo muy simple que se reproduce dividiéndose en dos; cada nueva ameba vuelve a dividirse en dos, y así sucede con todas las que se generen.

Supongamos que tenemos 10.000 amebas por milímetro cúbico, en cierto cultivo de laboratorio. Llamaremos b al número inicial de amebas en un medio de cultibo. Entonces, 2b será la cantidad de amebas después de transcurrido el tiempo de una generación. Así, después de n generaciones la cantidad de amebas, N, será:

Esta expresión es de carácter exponencial en n. Grafiquemos esta situación para el valor b=10.000 y para n variando de 1 hasta 10. Gráfica:

Realizado con Graphmatica.

Entonces, en la décima generación, si se sigue esta regla sin probelmas en el ecosistema, la población será: 5.120.000 individuos.

En el caso anterior, la gráfica está puesta de forma CONTINUA porque a pesar de que reflexionábamos lo que pasaba de generación en generación, los procesos de crecimiento de las poblaciones de amebas se produce de forma continua, ya que nos es simultáneo el desdoblamiento de todas las amebas en cada generación. (Editorial ZIG ZAG).

El crecimiento se produce de tal forma que si se contabiliza la población a intervalos de tiempo regulares, en cada instante de tiempo considerado, la población es el doble que en el instante inmediatamente anterior.

Se trata de un crecimiento a tasa constante. Tal comportamiento se llama crecimiento exponencial.

Cualquier función de la forma:

se conoce como función Exponencial, de base "a" y exponente "t", en este caso. Su representación se situará sólo en los cuadrantes I y II.

Grafiquemos

Función Logaritmo:

Volviendo al ejemplo de las amebas, podemos preguntarnos qué nçumero de generaciones deberán pasar para que haya, por ejemplo un billón de amebas por milímetro cúbico. Veamos la fórmula que modela el crecimiento de las amibas:

Encontrar el valor de n, que haga válida esta igualdad, es lo que llamaremos aplicar logaritmos.

Para la relación anterior diremos que:

Y generalizando:

Para el caso de las amebas, n= 26,57542475 (Usando una calculadora) .... es decir, deben pasar cerca de 27 generaciones para que halla un billón de células.

FUNCION LOGARITMO: Estudiaremos una muy particular, en que la base es 2.

Hagamos una tabla para la gráfica:

Veamos una gráfica de ambas funciones .....

Nótese que y=x actúa como un espejo entre ambas funciones: ¿Por qué sucede?

Un problema de optimización MUY real (ZIG-ZAG 4to. Medio)

Supongamos que queremos hacer cajas de cartón grueso, para embalaje.

Tenemos una restricción: las cajas deben ser cofeccionadas con una lámina de 2 metros por un metro.

¿Cuáles deben ser las dimesniones de la caja, que con la lámina disponible maximicen el volumen?

veamos un esqumea de corte:

Acorde a lo anterior, el Volumen será: V=xyz

Pero hay restricciones:

1) 2x + y = 2

2) 2x + z = 1

3) x>0

4) y>0; (2-2x)>0

5) z>0; (1-2x)>0

De las dos ecuaciones primeras 1) y 2) se pueden expresar y, z en términos de x:

V = x(2-2x)(1-2x)

Polinomio cúbico que representa el volumen en función de x.

De las restricciones 3) y 4) tenemos que el Domninio de la función V es: )0, 1/2). No hay sentido fuera de este rango .....

Grafiquemos:

Y del anterior gráfico, se observa a ojo que el mayor volumen se produce cuando x= 0,21 aproximadamente .....

Así los valores para las otras aristas serán:

y= 0,58

z= 1,58

Aproximadamente.

Otra optimización (ZIG ZAG 4to. medio)

bELLO;

Considera un rectángulo con uno de sus lados sobre el eje x (Abcisas). Los vértices superiores yacen sobre las rectas 2x-y=0; 5x+7y=35. Encuentra el valor de y para el cual el área del rectángulo es máxima.

TrAS LA GRÁFICA, PROCEDAMOS A RESOLVER EL PROBLEMA .....

Ojo piojo que el área que necesitamos maximizar es: A= Y (X2 - X1)

Pero tanto X2 como X1 pueden ser representados, a través de las ecuaciones de las rectas, en función de Y.

Esto sucede pues la figura que debemos inscribir es un rectángulo y por tanto su altura es la misma (misma ordenada), para cada uno de los puntos que pertenecen a cada una de las rectas.

En la ecuaxción: 2x-y = 0
X1= Y/2

En la ecueación: 5x+7y=35
X2=7-(7/5)Y

Ancho del rectángulo: (X2-X1)= 7-(19/10)Y

Por tanto el área es:

Area: Y(X2-X1)=Y(7-(19/10)y)=










Nuevamente nos enfrentamos a una parábola con sus dos ramas abiertas hacia abajo, lo cual está corroborado por el signo negativo de la variable al cuadrado. En su vértice tenemos un máximo, que se provoca en -b/(2a);

-b/(2a)= 35/19

Allí el área máxima será: f(35/19) = 245/38=6,447368421

Ecuaciones con RADICALES - Miradas alternativas

En un colegio un niño dicta mal un ejercicio de una guía y transforma la ecuación con radicales, a una que no posee solución. El error de dictado fue que el radical de la derecha, debía tener un 8 en vez del 7. Intentamos resolver, la ecuación mal dictada: Tras intentar resolverla, llegamos a un resultado que luego no satisface la ecuación. Veamos el procedimiento: Esta raíz no verifica la igualdad al sustituirla en la ecuación .... Por lo tanto la ecuación no tiene solución o su solución es el conjunto vacío. Veamos los pasos ..... Pero EUREKA, se ocurre utilizar GRAPHMATICA para graficar cada uno de los lados de le ecuación y resulta:

Queda MUY bien demostrado -gráficamente- que no hay solución pues las gráficas de cada uno de los lados de la ecuación NO se cortan ......

¿Hay o no hay error en este razonamiento?