Un problema de optimización MUY real (ZIG-ZAG 4to. Medio)

Supongamos que queremos hacer cajas de cartón grueso, para embalaje.

Tenemos una restricción: las cajas deben ser cofeccionadas con una lámina de 2 metros por un metro.

¿Cuáles deben ser las dimesniones de la caja, que con la lámina disponible maximicen el volumen?

veamos un esqumea de corte:

Acorde a lo anterior, el Volumen será: V=xyz

Pero hay restricciones:

1) 2x + y = 2

2) 2x + z = 1

3) x>0

4) y>0; (2-2x)>0

5) z>0; (1-2x)>0

De las dos ecuaciones primeras 1) y 2) se pueden expresar y, z en términos de x:

V = x(2-2x)(1-2x)

Polinomio cúbico que representa el volumen en función de x.

De las restricciones 3) y 4) tenemos que el Domninio de la función V es: )0, 1/2). No hay sentido fuera de este rango .....

Grafiquemos:

Y del anterior gráfico, se observa a ojo que el mayor volumen se produce cuando x= 0,21 aproximadamente .....

Así los valores para las otras aristas serán:

y= 0,58

z= 1,58

Aproximadamente.