Múltiplos, factores, divisibilidad

Curriculum chileno
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: II. Álgebra y Funciones.
CMO: e. Demostración de propiedades asociadas a los conceptos de múltiplos, factores y divisibilidad.
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Raíces y Factorización de Polinomios:

Diremos que (x-a) es un factor del Polinomio P(x) sin P(x)= (x-a) Q(x) para algún otro polinomio Q(x). Es decir, si la división de P(x) por (x-a) da resto cero (es exacta).

En tal caso, el número "a" es raíz de P(x) porque P(a)=(a-a)Q(x) = 0. Así pues,

(x-a) es factor de P(x) Entonces a es raíz de P(x).

¿Es cierta la implicación recíproca? SIIIIIIII !!!!!

Teorema del FACTOR:

Nota: Siempre son candidatos de "a", los factores del término libre.

Ejercicio: 1 es raíz del polinomio:

Dividamos los polinomios para encontrar Q(x) o expresar P(x) como producto de dos factores:

Y el resto es obviamente cero.

Así:

Un truco Aritmético maravilloso !!!! (Perelman)

Un truco aritmético
(EXPECTADOR y OTRA PERSONA NO están confabuladas .... se les llama así para diferenciarlas, el diálogo acá es sólo un diálogo posible) .....

MAGO : Escriba en un papel un número de tres cifras, sin que yo lo vea.

EXPECTADOR: - ¿El número puede tener ceros? -

MAGO : No pongo limitación alguna, sólo que no comience por cero. Cualquier número de tres cifras, el que deseen.

EXPECTADOR: - Ya lo he escrito. ¿Qué más? -

MAGO : A continuación de ese mismo número, escríbalo otra vez, y obtendrá una cantidad de seis cifras.

EXPECTADOR: - Ya está.

MAGO: - Pase el papel a otra persona y que ésta, divida por 7 la cantidad obtenida.

OTRA PERSONA o EXPECTADOR : - ¡Qué fácil es decir divídalo por siete! A lo mejor no se divide exactamente.

MAGO: - No se apure; se divide sin dejar resto.

OTRA PERSONA o EXPECTADOR : - No sabe usted qué número es, y asegura que se divide exactamente?!

MAGO: - Haga primero la división y luego hablaremos.

OTRA PERSONA : - Ha tenido usted la suerte de que se dividiera.

MAGO: - El cociente que resultó, sin que yo me entere de cuál es, dividalo por 11.

OTRA PERSONA o EXPECTADOR: - ¿Piensa usted que va a tener otra vez suerte, y que va a dividirse?

MAGO: - Haga la división. No quedará resto!

OTRA PERSONA: - ¡En efecto! ¿Y ahora, qué más?

MAGO: - Divida ahora por... 13.

OTRA PERSONA o EXPECTADOR: - Quizás no ha elegido bien! Son pocos los números que se dividen exactamente por trece...

OTRA PERSONA: - ¡Oh, la división es exacta! ¡Qué suerte tiene usted! -

MAGO : Un mago matemático no tiene SUERTE! .... Déme el papel con el resultado, pero dóblelo de modo que no pueda ver el número. Sin desdoblar la hoja de papel, el prestidigitador la entrega al EXPECTADOR ...

MAGO: - Ahí tiene el número que usted había pensado. ¿Es ése?

EXPECTADOR: - ¡El mismo! - contestó admirado, mirando el papel - . Precisamente es el que yo había pensado...

¡ Esto es Magia Matemática !

(Solución en los comentarios)