Probabilidad Geométrica

¿Cuál es la probabilidad de impactar el cuadrado rojo con un dardo lanzado totalmente al azar a través de la ventana azul?. Note que el vértice (P) del cuadrado rojo está exactamente en el centro de la ventana (Cuadrado Azul).

A) 1/8
B) 1/2
C) 1/3
D) 1,1
E) es independiente de la posición del cadrado rojo.

Respuesta:

Fuente: Mare Nostrum
Nivel: 8avo. y 1ro. medio.
Eje Temático: IV) Datos y Azar.
Aprendizaje Esperado: (05) Asignar probabilidades teóricamente a la ocurrencia de eventos, en esperimentos aleatorios con resultados finitos y equprobables, y contrastar con resultados experimentales. Modelo de Laplace.

Nota 1: Este ejercicio involucra el tema de Congruencia.

Nota 2: Este ejercicio ocupa el concepto de Regla de Laplace, pero aplicado a sucesos que son áreas. En este caso, matemáticamente esto se llama: Espacios Uniformes NO Contables, porque las superficies tienen infinitos puntos y corresponden a un espacio NO enumerable, en teoría de conjuntos, en lo que respecta al tema del infinito.

Desafío PSU - La Nación

De 120 estudiantes encuestados se sabe:
60 estudian francés.
50 estudian Inglés.
20 estudian ambos idiomas.
¿Cuáles de las siguientes alternativas son verdaderas?

I. La probabilidad de escoger un estudiante que no estudie francés ni inglés es cero.
II. La probabilidad de escoger un estudiante que estudie francés e inglés es 1/6.
III. La probabilidad de escoger un estudiante que estudie sólo uno de los dos idiommas es 7/12.

A) Sólo I. ; B) Sólo III. ; C) I y II. ; D) I y III. ; E) II y III.

Grafiquemos la situación:

De este grafo se desprende que:

I. Es FALSA, porque hay 30 que no estudian ningún idioma.

II. Es verdadera, 20/120 = 1/6 estudia ambos idiomas.

III. Es verdadera, (40+30)/120 = 70/120 = 7/12 estudian uno de los idiomas, NO ambos.

Alternativa E) II y III.

Desafío PSU - La Nación

Raúl tiene una bolsa con cuatro bolitas de diferentes colores y una de ellas es roja. Al sacar las bolitas una a una (sin reponerlas), ¿Cuál es la probabilidad de que la roja salga al último?

A) 1/4
B) 1/5
C) 1/6
D) 5/24
E) Ninguna de las anteriores.

Cuando uno enfrenta la bolsa, la probabilidad de no sacar la roja es 3/4. Se saca una bola que no es roja.

Luego, habiendo tres, una roja. La probabilidad de no sacar la roja es 2/3. Y se saca una bola que no es roja.

Entonces, habiendo 2, una roja, la probabilidad de no sacar la roja es 1/2. Se saca la que no es roja

Y, la probabilidad de sacar la roja, habiendo una roja es 1.

El proceso encadena sucesos independientes.

La probabilidad pedida es: (3/4) x (2/3) x (1/2) x 1 = 1/4. Alternativa A)

Cajas y Fichas .....

NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: III. Estadística y Probabilidad.
Aprendizaje Esperado: Analizan y resuelven problemas que involucran el cálculo de probabilidades asociado a un experimento aleatorio sencillo, utilizando la fórmula de Laplace y distinguiendo los casos de equiprobabilidad, de certeza y de probabilidad cero.
Fuente: Programa de estudio. Segundo año Medio. MINEDUC.

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1) ¿De cuál de estas cajas es más probable sacar una ficha verde?

2) ¿Si se quiere, en cada caja, tener la misma probabilidad de sacar una ficha verde, qué cambios se podría hacer?

Llamemos Primera caja a la de la iquierda, Segunda caja a la del centro, la tercera es la que queda.

1)

P(verde en primera caja) = 2/5 = 0,4

P(verde en la segunda) = 3/8 = 0,375

P(verde en la tercera) = 3/6 = 0,5

Hay mayor probabilidad en la tercera caja !!!

2)

Propongo el siguiente arreglo para dejar igual la probabilidad de verde en cada caja (hay otro?)

Desafío PSU - La Nación

¿Cuál es la probabilidad de obtener tres números consecutivos al lanzar tres dados?

A) 2/9
B) 1/9
C) 1/54
D) 1/2
E) Ninguna de las anteriores.

Los tríos que forman ternas conscutivas son:

(1,2,3) - (2,3,4) - (3,4,5) - (4,5,6)

cada uno de estos tríos se puede ordenar de 6! formas = 3 x 2 = 6 formas, porque importa el orden en que los nñumeros salgan en los dados. Veamos por ejemplo el primer trío:

Puden salir:
123 - 132 - 213 - 231 - 312 - 321

Luego los casos favorables son: 3! x 4 = 24
Los casos totales son: 6 x 6 x 6 = 216

La Probabilidad pedida es: 24/216 = 1/9

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: III. Estadística y Probabilidad.

Aprendizaje Esperado: Analizan y resuelven problemas que involucran el cálculo de probabilidades asociado a un experimento aleatorio sencillo, utilizando la fórmula de Laplace y distinguiendo los casos de equiprobabilidad, de certeza y de probabilidad cero.

Fuente: Programa de estudio. Segundo año Medio. MINEDUC.

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Reparir los números del 1 al 12, al interior de grupos de 4 estudiantes, como lo indica el dibujo:

Se lanzan dos dados simultaneamente; la suma de los puntos selecciona a la persona que gana ese juego ..... ¿En qué grupo convendría estar?

P (sume 1) = 0 (No hay posibilidad, suceso imposible, dos dados nunca sumarán 1)

P (sume 2) = 1/36 (par (1,1))

P (sume 3) = 2/36 (pares (1,2) y (2,1))

Total Grupo 1 = 3/36

P (sume 4) = 3/36 (pares: (1,3) (2,2) (3,1))

P (sume 5) = 4/36 (pares: (1,4) (4,1) (2,3) (3,2))

P (sume 6) = 5/36 (pares: (1,5) (5,1) (2,4) (4,2) (3,3))

Total Grupo 2 = 12/36

P (sume 7) = 6/36 (pares: (1,6) (6,1) (2,5) (5,2) (3,4) (4,3)

P (sume 8) = 5/36 (pares: (2,6) (6,2) (3,5) (5,3) (4,4))

P (sume 9) = 4/36 (pares: (3,6) (6,3) (4,5) (5,4)

Total Grupo 3 = 15/36

P (sume 10) = 3/36 (pares: (4,6) (6,4) (5,5))

P (sume 11) = 2/36 (5,6) (6,5)

P (sume 12) = 1/36 (6,6)

Total Grupo 4 = 6/36

Conviene el grupo "3"

Ruletas Girando ....

NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: III. Estadística y Probabilidad.
Aprendizaje Esperado: Realizan distintos juegos de azar, determinan las condiciones en que podrían ganar, aplican la definición canónica de porbabilidad y la noción de independencia de los eventos.
Fuente: Programa de estudio. Segundo año Medio. MINEDUC.
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Se dispone de discos hechos en cartulina que pueden girar sobre una base que tiene una flecha indicadora.

Si se hacen girar sucesivamente los discos del dibujo, ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números indicados por la flecha sea par, considerando que cada disco está dividido en (sólo) tres ángulos congruentes? Hacer una tabla de valores de los casos posibles y de los que cumplen las conciones pedidas.

El funcionamiento de una de las ruletas no condiciona el de la otra. Y cada suceso elemental (un par de números, donde uno proviene de la primera ruleta y el otro de la segunda) es equiprobable, aplicamos la Ley (Regla) de Laplace o definición canónica de probabilidad, de acorde a la siguiente tabla:

Acorde a la Regla de Laplace (Buscar en este Blog), hay 5 casos favorables de un total de 9 casos posibles, entonces la probabilidad pedida es

5/9

Volvió 2008: POLLA GOL en Chile, pero esta vez son 15 partidos, NO 13 como antes ....

¿ Cuál es la probabilidad de ganarse la Polla Gol, HOY?

Análisis:
(idea tomada de texto de Carlos Mercado Schuler)

1) Si la Polla Gol tuviese un partido, se necesitarían 2 equipos. Como son 15 partidos, se necesitan 30 equipos.


2) Veamos varios casos:

Caso: 1 Partido: Tres casos posibles:

L (gana local) ; E (Empate) ; V (Gana Visita)

3 casos posibles =

3º

Caso: 2 Partidos: 9 Casos posibles:

L1 L2 - L1 E2 - L1 V2

E1 L2 - E1 E2 - E1 V2

V1 L2 - V1 E2 - V1 V2

9 casos posibles =

Caso: 3 Partidos: 27 Casos Posibles:

L1L2L3 - L1L2E3 - L1L2V3

L1E2L3 - L1E2E3 - L1E2V3

L1V2L3 - L1V2E3 - L1V2V3

E1L2L3 - E1L2E3 - E1L2V3

E1E2L3 - E1E2E3 - E1E2V3

E1V2L3 - E1V2E3 - E1V2V3

V1L2L3 - V1L2E3 - V1L2V3

V1E2L3 - V1E2E3 - V1E2V3

V1V2L3 - V1V2E3 - V1V2V3

27 casos posibles =

Por analogía ....

Luego, cuando sean 15 partidos, habrán

Este número es igual a 14.348.907

Pero sólo puede ocurrir una de ellas. Luego la probabilidad de ganar la pola gol es

1/14.348.907 =

Probabilidad en Espacios Muestrales Infinitos NO ENUMERABLES - usando regla de Laplace (Esto SE PUEDE entender en E. Media)

Nivel: Enseñanza Media, Tercero año Medio.
CMO 2do. Medio: Regla de Laplace, para (micro)eventos equiprobables.
Contenido Extraordinario Tercero Medio: Grafica de regiones planares.
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Se puede mirar en este BLOG lo que son los espacios enumerables y no enumerables, a propósito de varios posteor en torno a Cantor (Creo que uno le llamé, copiando un libro: El paraíso de Cantor) .... Pero recordemos algo:

El conjunto de los números pares y el de los impares son INFINITO enumerables puesto que vada uno de sus componentes se puede asociar a uno de los números naturales .... Pero el Conjunto de los números Reales (IR) no es enumerable, no se le puede asociar biunivocamente cada uno de los números naturales, ni si quiera el trazo [0,1] es enumerable, es tan infinito como el conjunto de todos los Reales (hemos puesto algunas imágenes visuales de ello) ....

Para la enseñanza media, se postulan probabilidades invocando conjuntos INFINITOS no enumerables, pero asociados a medidas geométricas finitas tales como LONGITUD, AREA y VOLUMEN.

Así las probabilidades de un evento A serán, en su fórmula Laplaceana:

P= Longitud de A / Longitud de S
P= Area de A / Área de S
P= Volúmen de A / Volúmen de S

Y en general se habla de que este tipo de probabilidades es uniforme.

Un BELLO ejemplo (no fácil):

Sobre la línea R (Reales), se selecciona al azar los puntos a y b tales que -2 <=b<=0 y 0<=a<=3 como se muestra en la figura. Hallar la probabilidad p para que la distancia d entre a y b sea mayor que 3.

Solución:

La solución a este problema viene dado por el set de Inecuaciones que lo caracterizan. Tres son las inecuaciones:

-2 <=b<=0

0<=a<=3

d=a-b > 3

Veamos la región planar de pares ordenados Posibles:

Está dada por todos los pares ordenados que cumplen las restricciones para a y b: -2<=b<=0 ; 0<=a<=3

Veamos ahora los pares ordenados de la región favorable, dados por la región que describe la inecuación d=a-b>3

Intersectando estas regiones, podemos visualizar la probabilidad, que versando sobre regiones infinitas (producto cartesiano entre dos ejes de números Reales) da -utilizando áreas- una probabilidad continua que cumple el axioma principal: 0<=p<=1

Probabilidad Pedida=

Desafío PSU - Preu Nacional

En un polígono de tiro, el blanco está constituido por dos círculos naranjos, tangentes, de igual radio R, puesto sobre una pared. Los proyectiles no pueden impactar sino en esta pared que contiene de manera tangente a ambos círculos.

¿Cuál es la probabilidad de impacto al blanco?

Área del rectángulo = 4R x 2R

Área de los dos círculos = 2 x Pi x (R al cuadrado)

Probabilidad 5 - La Nación

SI se lanza una moneda y un dado, ¿Cuál es la probabilidad de que salga sello y en el dado un número menor que 3?

A) 1/6; B) 1/3; C) 1/4; D) 2/3; E) 1/2

Solución:

Ambos sucesos son independientes, por tanto la probabilidad de la intersección de los sucesos es la multiplicación de las probabilidades individuales:

P(Salir cara al laznar una moneda) = 1/2
P(salir en una dado un número menor que 3) = 2/6 (casos 1 y 2)
P pedida= (1/2) x (2/6)= 1/6

PSU - DEMRE - 2008 - Ejercicio 70

70. Se tiene una bolsa con fichas verdes y rojas de igual tamaño y peso. Se puede determinar la probabilidad de sacar una ficha roja si:


I) El número de fichas rojas es mayor que el número de fichas verdes.
II) El número total de fichas es 36.

A) (1) por sí sóla.
B) (2) por sí sóla.
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sóla, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional.

Solución: Se requiere más información porque al utilizar la Regla de Laplace (pues los sucesos elementales son equiprobables: igual tamaño y peso), para calcular esta probabilidad de sacar una ficha roja, debo saber cuántas fichas rojas (casos favorables hay) y con los datos esto no es posible.

La alternativa correcta es E).

Mirando el problema gráficamente, el trazo que une (36,0) con (0,46) contiene todas las combinaciones enteras o decimales en que fichas rojas y fichas verdes suman 36. La zona Roja todas las posibles combinaciones en que las fichas rojas son mayores en cantidad que las verdes. El trazo amarillo es la región solución, que representa infinitas soluciones Reales y un número mayor a 1 de soluciones enteras.

PSU - DEMRE - 2008 - Ejercicio 58

58. Las muestras de ciertas pinturas son de uno de estos colores: rojo, verde o azul, y con una de estas dos terminaciones: opaca o brillante. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir una muestra de pintura al azar, ésta sea de color verde opaco?

A) 1/6
B) 1/3
C) 1/2
D) 2/3
E) 5/6

Las alternativas totales son 6, al suar el principio multiplicativo, porque cada color puede ser opaco o brillante. Etas son las alternativas:

Rojo - Opaco
Rojo - Brillante
Verde - Opaco
Verde - Brillante
Azul - Opaco
Azul - BRillante

Solamente una de estas alternativas es favorable: Verde - Opaco, es decir 1 de 6.

La alternativa correcta es A)

PSU - DEMRE - 2008 - Ejercicio 56

56. Se depositan en una caja tarjetas del mismo tipo con las letras de la palabra HERMANITOS, luego se saca de la caja una tarjeta al azar, laq probabilidad de que en ésta esté escrita una vocal es:

A) 1/10
B) 2/5
C) 1/5
D) 1/4
E) 2/3

Solución: Hay 10 psibilidades de sacar una letra y sólo 4 favorables, las vocales E, A, I, O

Probabilidad (sacar una vocal) = 4/10 0 2/5, La alternativa B)

PSU - DEMRE - 2008 - Ejercicio 55

55. La tabla adjunta muestra el nivel educacional que tienen los postulantes a un cargo administrativo:
Si de este grupo se elige una persona al azar, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) La probabilidad que sea varón es de 390/750
II) La probabilidad que sea mujer es de 360/390
III) La probabilidad que tenga estudios universitarios es de 475/750

A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y III
E) Sólo II y III

Solución: Hagamos algunos recuentos:

Total de varones: 250 + 100 + 40 = 390
Total de mujeres: 225 + 110 + 25 = 360
Estudios universitarios: 250 + 225 = 475
Total = 390 + 360 = 750

I) Probabilidad (varón) = 390 / 750, verdadera
II) Probabilidad (mujer) = 360 / 750, falsa
III) Probabilidad (estudios universitarios) = 475 / 750, verdadera

Verdaderas I y III; Alternativa correcta es D)