No olvidar operatoria de números imaginarios ....

Demostración de la más famosa fórmula de las Matemáticas: Fórmula de EULER

Acéptenme sin más, que hay una suma infinita para:
Así, para calcular e, basta con sustituir x por 1

Pero si las sumas infinitas pueden ser usadas para expresar la función exponencial, también pueden ser usadas para las funciones seno y coseno. Aunque sean necesarias construcciones diferentes, el principio es el mismo. Así,

Y ojo que Ud. puede verificar que estas relaciones están buenas porque se pueden verificar para valores como el cero o Pí. (Sen de 0 = 0, véalo; Cos de 0=1).

Y si bien estas fórmulas se piensan por lo general para un "x" Real, también en ellas se puede reemplazar un número Complejo z= a + bi.

La susutición es mecánica, no hay nada que reflexionar ....

Pero recordemos de los complejos, las potencias de i

Usando lo anterior:
No obstante las sumas infinitas, al interior del primer y segundo corchete, las sumas infinitas designan al seno y coseno. Se sigue entonces que:

Esta es la fórmula de Euler .....

Pensemos que x=0 e y=Pi (180º). esto os llevará a la misteriosa fórmula. Ojo que seno de Pí (180º)= 0; Coseno de Pí (180º) = -1.