Teoría de Grupos - Vida y Drama de Evariste Galois

CUANDO LAS MATEMATICAS AVANZAN 

DE UN "PISTOLETAZO" ....

tEORÍA dE gRUPOS:

El padre de esta teoría fue el matemático francés Évariste Galois.

Évariste murió temprano, vivió desde 1811 a 1832, es decir, 21 años, que ni siquiera alcanzó a cumplir.

Évariste Galois murió en un ESTÚPIDO duelo por faldas (con ribetes revolucionarios) y fue en la noche previa a este duelo que, en una triste carta, sentó las bases de lo que hoy se conoce como la moderna Teoría de Grupos.

Con 20 años Evariste perdió su virginidad y su vida en manos de una mujer de famosa belleza y poco honorable reputación, Stéphanie Fèlice Poterine du Motel. Ella era la "florero de mesa" de varias facciones revolucionarias más bien oscuras. Fue para salvar el honor que D'Herbinville, el compañero de Stéphanie retó -a muerte más que a duelo- a Galois. el 29 de mayo de 1832, se sentó en su escritorio y expulsó todo su bullente creación que inundaba su cabeza.

trozo de la carta que Galois escribiera la noche previa a su muerte .... "no tengo tiempo suficiente..."

(en su lecho de muerte habría dicho a su hermano: 
"No llores. Necesito todo mi coraje para morir a los 20 años.")


Ver Link Biografía: Biografía E. Galois (Wikipedia)

¿ Cuál era el problema que investigaba Galois ?

Desde el siglo IX existían formas de resolver ecuaciones aunque de grados no elevados. De este proceso de búsqueda nosotros recibimos la capacidad de manipular los coeficientes de una ecuación cuadrática (de segundo grado); bajo las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y extracción de raíz; para encontrar el valor de la incógnita que ellas contienen. Esta técnica es conocida como "Resolución por Radicales" y seamos matemáticos o no, se mantiene remanente en nuestra mente la conocida fórmula de Bashkara:

A principio del siglo XIX ya habían disponibles fórmulas similares hasta para ecuaciones de cuarto grado (orden cuatro, una de aquellas ecuaciones donde la incógnita al menos una vez aparece multiplicada 4 veces por si misma).

Resolución de una ecuación de Grado Cuatro:

Pero ya desde el Renacimiento y 200 años más tarde, las ecuaciones de grado quinto decepcionaban y confundían a los matemáticos, porque era imposible encontrar una resolcuión en el estilo de los radicales. Parecía que la naturaleza (el universo) establecía una ruda distinción entre las ecuaciones cuárticas y quínticas. No hay duda que las ecuaciones de grado cinco o más existen, así lo prueba el teorema fundamental del álgebra ( Teorema Fundamental del Álgebra (Wikipedia) ), pero otra cosa es encontrarlas ....

En la "Noche Fatal de GALOIS", este joven matemático demostró que las ecuaciones de grado quinto y mayor NO pueden ser resueltas por la manipulación arirmética de sus coeficientes .... Para lograr esto, Galois introdujo una idea nueva: la idea de GRUPO.


Pero, ¿ qué es un GRUPO ?


En un diccionario : Grupo es una estructura algebraica, provista de tres axiomas particulares, estudiada en la rama denominada Teoría de Grupos.

Más formalmente (Wikipedia) : En matemáticas, un grupo es una estructura algebraica que consta de un conjunto junto con una operación que combina cualquier pareja de sus elementos para formar un tercer elemento. Para que se pueda calificar como un grupo, el conjunto y la operación deben satisfacer algunas condiciones llamadas axiomas de grupo, estas condiciones son: 

1) Tener la Propiedad Asociativa, 
2) Tener Elemento Identidad y 
3) Tener Elemento Inverso.
4) Cumplir la propiedad de la Clausura.

En palabras sencillas : Es un conjunto de operaciones que se aplican sobre algo, con la propiedad de que si alguna operación del conjunto es seguida por cualquier otra operación  de ese conjunto, el resultado también puede ser logrado por una sola operación del conjunto. Las operaciones reciben el nombre de elementos del grupo, y su número se llama orden del grupo.

Veamos un ejemplo:


Pensemos en nuestra cabeza (solidaria al cuerpo) y tengamos en mente esta cuatro órdenes:


a) Cabeza quieta.
b) Mirar a la Izquierda.
c) Media vuelta (esto moviliza el cuerpo)
d) Mirar a la Derecha.


Ahora ejecutemos seguidamente: Mirar a la Izquierda seguida de Media Vuelta:

Un secuencia de este tipo se llama MULTIPLICACION de OPERACIONES.

Si analizamos lo que aquí pasa, estas dos operaciones pueden ser reemplazadas por una sola: Mirar a la Derecha.

Las cuatro operaciones anteriores conforman un grupo porque ellas cumplen los axiomas de grupo:

1) Propiedad Asociativa: Si el producto de dos operaciones es seguida de una tercera, el resultado es el mismo que si la primera operación se continúa con el producto de la segunda y la tercera.

2) Identidad: Hay exactamente una operación que NO produce efecto alguno, en nuestro caso es "quieto".

3) Existencia de Inverso: Para cada operación existe una operación inversa, lo que significa que la ejecución de una operación y de su inversa es equivalente a la operación de identidad. En este ejemplo "mirar a la izquierda" y "mirar a la derecha" son inversas la una de la otra, mientras que "Cabeza Quieta" y "Media Vuleta" son cada una la inversa de si misma.

4) Clausura: El producto de cualquier par de operaciones equivale a una sola operación del conjunto.

De forma similar, el conjunto Z de los números enteros ( Z= -infinito, ....-3, -2, -1, 0 , +1, +2,+3, ....., + infinito ) asociado a la SUMA posee una estructura de Grupo.


¿ Y cuál fue la genialidad de GALOIS ?


la genialidad de GALOIS fue demostrar de manera definitiva que las ecuaciones ,como los propios números (por ejemplo los enteros recién aludidos), tienen una identidad algebraica oculta, una estructura propia, una vida interior. Correspondían, contenían, -no eran- un grupo ....

Y no era "GRUPIENTO"

Pequeñas Biografías:

Evaristo Galois (1811-1832): Matemático francés creador de la Teoría de Grupos.

La teoría de la resolubilidad de ecuaciones fue creada por el matemático Evaristo GALOIS. Los predecedores de Galois habían encontrado fórmulas generales para resolver ecuaciones de grado suponiendo que se podrían encontrar fórmulas para resolver ecuaciones de grado más elevado. Galois atacó el problema desde un punto de vista diferente buscando no ya trucos que pudieran proporcionar fórmulas misteriosas sino tratando de encontrar propiedades más generales de las ecuaciones y sus soluciones. Su trabajo lo condujo al importante concepto de GRUPO.

La teoría de los grupos ha resultado ser una herramienta de valor incalculable para atacar un espectro de problemas sorprendentemente amplios.

(de Paul R. Halmos. Matemáticas en el mundo moderno, Scientific American)

Noción Básica de Teoría de Grupos - Wikipedia -

En álgebra abstracta, la teoría de grupos estudia las estructuras algebraicas conocidas como grupos. Sus objetivos son, entre otros, la clasificación de los grupos, sus propiedades y sus aplicaciones tanto dentro como fuera de las matemáticas.

Los grupos sirven como pilar a otras estructuras algebraicas más elaboradas como los anillos, los cuerpos o los espacios vectoriales. La teoría de grupos tiene muchas aplicaciones en el campo de la física y la química, y es potencialmente aplicable en situaciones caracterizadas por la simetría.

El orden de un grupo es su cardinalidad; en base a él, los grupos pueden clasificarse en grupos de orden finito de orden infinito. La clasificación de los grupos simples de orden finito es uno de los mayores logros matemáticos del siglo XX.