Desde el Libro ELEMENTOS de Euclides

En su famoso libros "ELEMENTOS", Euclides nos da el siguiente protocolo para construir geométricamente el número de Oro:

1) Dibuje el segmento unitario ab (de longitud uno).
2) Perpendicular a ab en "a", trace otro segmento unitario ac.
3) Usando "O" como centro, siendo "O" el punto medio de ac, se traza una circunferencia que tenga por radio oa.
4) Luego, se une b con "O", prolongando más allá de "O" hasta cortar la circunferencia en "d".

¿Por qué Euclides asegura que el segmento bd es el número de oro?

NO OLVIDAR que el número de oro es:

PSU - DEMRE 2009 - 46

46. En la figura, C es punto medio del segmento AD y el segmento BC duplica al segmento AB. El segmento AB es al segmento BD como:

A) 1:2

B) 1:3

C) 1:4

D) 1:5

E) 1:6

Respuesta: Alternativa D )

Estudiando un Cuadrilátero, dados sus vértices

NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Uso de un Programa Computacional de manipulación algebraica y gráfica.
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Este es un potente ejercicio pues se conjugan nociones de Geometría, Geometría Analítica y manejo de un programa gráfico.

Las coordenadas de los vétices de un cuadrilátero ABCD son:

A (-4,-5)
B (3,-2)
C (4,3)
D (-1,2)

a) ¿Qué propiedades tienen las diagonales?
b) ¿Qué propiedad tienen sus lados?
c) ¿Cómo se llama este cuadrilátero?
d) Calcular él área.

Usando Geogebra, trazamos un buen grafo del cuadrilátero a estudiar:

a) Llamamo P al punto de intersección de las dos diagonales.
La recta AC
(y+5)/(x+4)=(3+5)/(4+4); donde y=x-1, pendiente mAC=1
La recta BD
((y-2)/(x+1)=(-2-2)/(3+1); donde y=-x+1, pendiente mBD=-1
Ambas rectas, diagonales, son perpendiculares, pues mAC x MBD = -1
Resolviendo la intersección (que además se ve en el grafo), tras encontrar el punto solución del sistema:
(1) y=x-1
(2) y=-x+1
Se obriene el punto (1,0)
Además, las coordenadas del punto medio del trazo BD
x= 1/2(3-1)=1
y=1/2(-2+2)=0
Es decir, P dimidia el trazo BD.
Pero (1,0) no dimidia a AC, cuyo punto medio es
x=1/2(-4+4)=0
y=1/2(-5+3)=-1
Las diagonales son perpediculare y sólo una dimidia a la otra. ES UN DELTOIDE

b) Como AC es simetral, entonces
Trazo CD = Trazo CD
Trazo AD = Trazo AB

c) Deltoide, las anteriores propiedades sólo las cumple un deltoide.

d) El área es el Semiproducto de las diagonales: (AC x BD) / 2

o bien,

2xArea = Trazo AC x Trazo BD=
2xArea = Raiz ((4+4)^2 + (3+5)^2) x Raiz ((1+3)^2+(2+2)^2)
2xArea = Raiz (64+64) x Raiz(16+16)
2xArea = 8Raiz(2)x4Raiz(2)
2xArea = 32 x 2
Area = 32

Solución .....

El área del más peqeño

II Concurso IES Miguel Hernández, 2007

En un cuadrado de lado 6 unidades, dibujamos una diagonal y, desde otro de los vértices, una línea hasta la mitad del lado opuesto. Eso traza tres triángulos en el interior del cuadrado.¿Puedes calcular el área del más pequeño, por dos métodos?

Solución 1:

Solución 2: