Un desafío ....

Un desafío ....

¿ Napoleón gustaba y sabía de Matemáticas ?

Teorema de Napoleón

Si en un triángulo ABC se construyen triángulos equiláteros exteriores sobre sus lados, los centros de dichos triángulos equiláteros determinan un triángulo equilátero (O₁O₂ O₃) conocido como triángulo de Napoleón exterior.

Analogamente si se construyen sobre los lados del triángulo ABC triángulos equiláteros interiores, sus centros también determinan un triángulo equilátero (P₁P₂P₃) conocido como triángulo de Napoleón interior .

Existe una interesante propiedad que relaciona las áreas de los tres triángulos: El área del triángulo ABC es igual a la diferencia de las áreas de los triángulos de Napoleón exterior e interior .

(Parece ser que Napoleón era aficionado a la Geometría y alguno de los resultados anteriores le ha sido atribuido. En cualquier caso no está muy claro que sus conocimientos geométricos fueran suficientes para llegar a establecer los resultados descritos.)

Texto Tomado de:

http://centros5.pntic.mec.es/

Imagen tomada de:

www.edumat.net

Demostración de la Medida de un ángulo Exterior a un Circunferencia

me lo pidieron por internet y yo le he mandado la siguiente demostración:

Desafío - Un ángulo de 105 que se transforma en 2 bien conocidos nuestros

Respuesta:

Desafío - Ángulos

Respuesta:

Desafío - Coordenadas Cartesianas

Respuesta:

El problema se haría imposible si z=10, por tanto nos queda sólo la otra solución: z =2

Luego, el lado del cuadrado es = 10 - 2z = 6

El área entonces es 36.

Desafío - Trazos Proporcionales en la Circunferencia

Respuesta: Para realizar este ejercicio tenemos que recordar el Teorema de la Tangente y la Secante:

Si una tangente y una secante a una circunferencia se intersectan en un punto exterior a ella, entonces el producto de las medidas de los segmentos determinados por el punto exterior y los dos puntos de intersección de la secante con la circunferencia es igual al cuadrado de la medida del segmento de tangente determinado por el punto exterior y el punto de tangencia.

Ojo que el ejercicio usé minúscula para el radio:

La respuesta es la Alternativa A)

Problema Geométrico (Dibujo con Geogebra)

Planteamiento de Problema:

Apartir de un polígono cualquiera (como el ABCDEF), construir un uevo polígono de un lado menos y cuya área sea igual a la del polígono inicial.

Por Construcción: Recta que pasa por F y G es paralela a la recta que pasa por A y E.

El triángulo AGE (propuesto para cambio) tiene igual área que el triángulo original AFE. Reemplazamos y eliminamos un lado en el polígono!

Ecuación de la Recta por dos puntos dados

Para nuestro diccionario de fórmulas ....

¿ Qué es Geometría ? Conceptos Primitivos

La palabra GEOMETRIA tiene sus raíces en la composición de las palabras "geo" que significa tierra, y la palabra "metrein" que significa medida, por lo tanto en su significado más literal geometría es "medida de la tierra".

La geometría es la rama de la matemática que se ocupa del estudio de figuras geométricas, sus propiedades, y relaciones que cumplen sus distintas partes.

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CONCEPTOS PRIMITIVOS de la GEOMETRIA:

Punto : Según Euclides, un punto es un objeto sin dimensión, es decir, no tiene largo, no
tiene ancho, ni alto. Un punto se representa por letras mayúsculas.
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Recta : Al igual que el punto se dice que una recta es un objeto matemático con una dimensión,
solo tiene largo. Generalmente la representamos con una letra L acompañada de un sub-
índice.
-

Plano : Su característica es tener dos dimensiones, largo y alto, generalmente se designa con
letras griegas mayúsculas, como se ve en la figura.
-
Axiomas Principales de la Geometría Euclidiana

1) En todo plano existen in nitos puntos.
2) Por un punto pasan infinitas rectas.
3) Por dos puntos pasa sólo una recta.

4) Todo plano posee al menos 3 puntos no colineales (no los podemos unir a través de una sola recta).
5) Si dos puntos de una recta están en un plano, entonces la recta está en el plano.

Desafío PSU - La Nación

Nota: hay algunas claves útiles en las etiquetas ....

Solución: Ojo que el triángulo MAYOR y el triángulo menor son semejantes .... esto por AA, comparten ambos el ángulo en B y el ángulo recto .... al ubicar el triángulo menor de otra forma, es posible establecer más claramente la proporcionalidad relativa a esta semejanza ....

Ojo que la solución a la que he llegado NO está en las alternativas .... quizás las copié mal !!!

¿LLegaste tú a los mismo?

Demostrar que: "Las áreas de los triángulos semejantes son entre sí como los cuadrados de dos lados homólogos"

Por demostrar:

"Las áreas de los triángulos semejantes son entre sí como los cuadrados de dos lados homólogos"

Hipótesis (los datos dados):



Tesis (lo que se quiere demostrar):



Demostración (Proceso por el cual podremos asegurar la veracidad de la tesis):


Marcamos las alturas en ambos triángulos:



Luego, se puede facilmente establecer que los triángulos CDB y C'D'B' son semejantes (por AA)puesto que ambos poseen 2 ángulos iguales:


1) Los ángulos rectos de las alturas son obviamente iguales.
2) Los ángulos DBC y D'B'C' son iguales por ser ambos triángulos semejantes.


Luego, si son semejantes:

Trabajando un poco:

Queda enteramente demostrado (q.e.d.)

Un problema PSU para empezar la semana (Tomado de faccímil CEPECH - Agosto 2008)

En la figura, DE // AB, DE = 2 cm, AB = 6 cm. ¿Cuál es la razón entre el área del triángulo CDE y el área del triángulo CAB?

A) 1:3
B) 1:9
C) 3:1
D) 9:1
E) Faltan datos para determinarla

Para resolver es necesario tener en cuenta:

Trabajando un poco:

h/H = DE/AB = 2/6 = 1/3

Entonces, para más adelante: h/H = 1/3

Luego nos abocamos a lo pedido:

Alternativa B)

PSU - DEMRE 2009 - 43

43. El triángulo ABC es isósceles de base AB. La circunferencia de centro C y radio r intersecta a los lados del triángulo en E y D, como lo muestra la figura. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

Respuesta:

I) No poseen ningún ángulo ni ningún trazo congruentes. Incorrecta.

II) AC = BC (Lados iguales del triángulo Isósceles).

Luego AC - r = BC - r (restando el radio).

AB es común en ambos triángulos.

Los ángulos basales son parte de cada uno de los trioángulos, luego

por LAL, son congruentes. Correcta.

III) Tienen en común cada unos de los triángulos un lado de longitud igual al radio de la circunferencia, los lados igaules del triángulo isósceles y el ángulo en C. Luego por LAL son congruentes. Correcta.

Correctas sólo II) y III), Alternativa D)

PSU - DEMRE 2009 - 47

47. Si en la figura L1 // L2, entonces el valor de x es:

A) 2.

B) 7.

C) 12,5.

D) 18.

E) Ninguno de los anteriores.

Respuesta: Utilizando semejanza o Teorema de Thales postulamos la siguiente proporción:

15/5 = (15+6)/x

15/5 = 21/x

15(x) = (5)(21)

15(x)= (5)(3)(7)

x = 7; Alternativa B)

PSU - DEMRE 2009 - 64

64. En la figura, se puede determinar la meedida del ángulo: si se sabe que:

(1) El Triángulo ABC es isósceles de base AB y ángulo alfa = 40º
(2) El triángulo BCD es equilátero.

A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) y (2).
E) Se requiere información adicional.

-

Respuesta:

Con (1) tendremos:

Con (2) adicionamos:

Necesitamos de (1) y (2) para tener la solución ----Alternativa C)

Desafío DEMRE - Desafío PSU

(DEMRE 2004) En la figura sen (alfa) = 4/7 ; Se puede afirmar que UT = 7 si:

(1) US = 4

(2) L1 // L2

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola.

C) Ambas juntas (1) y (2).

D) Cada una por sí sola (1) ó (2).

E) Se requiere información adicional.

Respuesta: En los comentarios !!!!

Desarrollo: Se puede afirmar con certeza que UT = 7 sí y sólo sí, US = 4 (Condición (1)) y el ángulo UTS es igual a alfa. Ello sólamente ocurre sí L1 // L2 (Condición (2)).

veamos!

Sen (alfa) = 4/7 = US/UT

pero US = 4

4/7 = 4/UT, de donde sigue que UT = 7!

Ponga un OJO:

0) SIMCE - Matematicas 2001 - 8avo. año

Observa la siguiente figura que está formada por tres triángulos equiláteros.

¿Cuánto mide el ángulo marcado?
A. 60°
B. 90°
C. 120°
D. 180°

Solución:

4) SIMCE - Matematicas 2001 - 8avo. año

Un grupo de amigos organiza una carrera en una plaza. Ellos marcan el recorrido, formando un triángulo rectángulo, como se muestra en el dibujo.

¿Cuántos metros recorren en una vuelta completa?
A. 42 m
B. 48 m
C. 56 m
D. 84 m


Puesto que 12 m y 16 m están como catetos de un triángulo rectángulo, la hipotenusa debe ser 20, puesto que 12-16-20 son un trío pitagórico ..... luego una vuelta completa es: 12 m + 16m + 20 m = 48 metros, Alternativa B).


Una ayudita .... pero primero llamamos h a la hipotenusa .....