PSU - DEMRE 2009 - 53

53. En la figura se muestra un cubo de arista a. El triángulo EBD es:

A). Equilátero.

B) Isósceles no equilátero.

C) Isósceles rectángulo.

D) Rectángulo en D.

E) Rectángulo en E.

Respuesta: Cada uno de los lados del triángulo en cuestión (Triángulo EBD) son diagonales de una cuadrado de lado a, por tanto cada uno de esos lados (EB, BD, ED) son congruentes, miden a por raiz de 2. El triángulo entonces tiene sus tres lados iguales, es equilátero.

Alternativa A)

Evolución del Pensamiento Geométrico - Aporte de Descartes

En el sistema de coordenadas, dibujamos una circunferencia de centro (7,7) y radio 7. Dibujamos además la recta y=x.

Veamos la gráfica:
El problema es, por varios métodos, calcular la distancia del origen al punto más lejano en que la circunferencia y la recta se intersectan.

Solución 1) Geométrica. La clave de esta solución es bucar la distancia requerida, desde el origen al punto más distante del origen en que se intersectan la circunferencia y la recta y=x, como la suma de dos distancias:

a) La distancia desde el origen al centro de la circunferencia = la diagonal de una cudrado de lado 7.

b) La distancia del centro de la circunferencia al punto más lejano de intersección requerido en el problema. Esta distancia es igual a un radio = 7.

Contribución de Descartes (Fuente: "Ascenso infinito - Breve historia de las matemáticas" de Davod Berlinski, Editorial DEBATE):

Algo en torno a Descartes .... El libro que mejor muestra el estilo de "duda" inagurado por Descartes es el "Discours de la méthode pour bien conduire sa raison et chercher la vérité dans les sciences". En este libro, la geometría analítica aparece en un apéndice titulado "La Géométrie".

Es un libro que sugiere más de lo que contiene y que está escrito por un matemático insconciente de los tesoros que está a punto de revelar. Se da la curiosa circunstancia de que las principales ideas de la geometría analítica no están expresadas explícitamente en el trabajo que creó la geometría analítica, de modo que los matemáticos suelen preguntarse cómo es posible que su autor pudiera ver tanto y decir tan poco.

Al plano organizado de la siguiente forma:

Se le conoce como Sistema de Coordenadas Cartesianas, aunque el propio Descartes nunca habló de Sistemas de Coordenadas en La Géométrie. Ni a decir verdad, en ningún otro lugar.

Descartes se dio cuenta, quizás de manera inconsciente, de que la correspondencia entre ecuaciones y curvas del plano euclideano despliega un juego intrincado entre la forma de la ecuación, sus variables y sus ecuaciones. Esto es algo nuevo. Así, algunas de las muy familiares -para ese tiempo- formas euclideanas se encuentran ahora controladas "desde afuera" del plano por un alambique algebraico, la clave del sistema de coordenadas.

Solución 2) Geometría Analítica.

Analíticamente, la idea es encontrar las coordenadas del punto de intersección de la recta identidad (y=x) con la ecuación de la circunferencia (de centro (7,7) y radio = 7)

La Ecuación de la recta es:

y=x

la Ecuación de la circunferencia es:

Introduciendo la primera ecuación en la segunda:

Los dos anteriores valores de x definen los dos puntos de corte entre y=x y la circunferencia.

Luego ocupando la fórmula de distancia entre el origen y el punto:

===== Análisis del Currículum chileno=====
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: I. Algebra y Funciones.
CMO: 2. Funciones.
b. Evolución del pensamiento geométrico durante los siglos XVI y XVII; aporte de René Descartes al desarrollo de la relación entre álgebra y geometría.

Estudiando un Cuadrilátero, dados sus vértices

NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Uso de un Programa Computacional de manipulación algebraica y gráfica.
======================================================

Este es un potente ejercicio pues se conjugan nociones de Geometría, Geometría Analítica y manejo de un programa gráfico.

Las coordenadas de los vétices de un cuadrilátero ABCD son:

A (-4,-5)
B (3,-2)
C (4,3)
D (-1,2)

a) ¿Qué propiedades tienen las diagonales?
b) ¿Qué propiedad tienen sus lados?
c) ¿Cómo se llama este cuadrilátero?
d) Calcular él área.

Usando Geogebra, trazamos un buen grafo del cuadrilátero a estudiar:

a) Llamamo P al punto de intersección de las dos diagonales.
La recta AC
(y+5)/(x+4)=(3+5)/(4+4); donde y=x-1, pendiente mAC=1
La recta BD
((y-2)/(x+1)=(-2-2)/(3+1); donde y=-x+1, pendiente mBD=-1
Ambas rectas, diagonales, son perpendiculares, pues mAC x MBD = -1
Resolviendo la intersección (que además se ve en el grafo), tras encontrar el punto solución del sistema:
(1) y=x-1
(2) y=-x+1
Se obriene el punto (1,0)
Además, las coordenadas del punto medio del trazo BD
x= 1/2(3-1)=1
y=1/2(-2+2)=0
Es decir, P dimidia el trazo BD.
Pero (1,0) no dimidia a AC, cuyo punto medio es
x=1/2(-4+4)=0
y=1/2(-5+3)=-1
Las diagonales son perpediculare y sólo una dimidia a la otra. ES UN DELTOIDE

b) Como AC es simetral, entonces
Trazo CD = Trazo CD
Trazo AD = Trazo AB

c) Deltoide, las anteriores propiedades sólo las cumple un deltoide.

d) El área es el Semiproducto de las diagonales: (AC x BD) / 2

o bien,

2xArea = Trazo AC x Trazo BD=
2xArea = Raiz ((4+4)^2 + (3+5)^2) x Raiz ((1+3)^2+(2+2)^2)
2xArea = Raiz (64+64) x Raiz(16+16)
2xArea = 8Raiz(2)x4Raiz(2)
2xArea = 32 x 2
Area = 32

Ejemplo de Demostración Matemática Sencilla

Sea el Teorema: "En un rombo, las diagonales son perpendiculares"

(Remember: Un rombo es aquel paralelógramo (dos pares de lados opuestos paralelos, cuyas diagonales se dimidian), que tiene sus cuatro lados congruentes, pero ninguno de sus ángulos interiores es recto). Tomado del Manual de Preparación Matemática, U. Católica)

Hipótesis (Conjunto de datos o supuestos del teorema a demostrar) :

1) ABCD es Rombo.

2) AC y BD : diagonales.

Tesis (Proposición que se intenta demostrar) :

AC es perpendicular a BD.

Demostración (Cadena de razonamientos lógicos que nos sirven para poner en evidencia la verdad de la proposición) :

AD = CD (los lados de un rombo son Congruentes)

Entonces, Triágulo ADC es siósceles con base AC.

Sea M el punto de intersección de las diagonales.

AM = MC (Las diagonales de un paralelógramo se dimidian, se intersectan en el punto medio.

Entonces DM es transversal de gravedad respecto a la base.

Entonces DM es altura respecto a la base (pues en un triángulo isósceles la transversal de gravedad es también altura, bisectriz y simetral)

Luego, DM es perpendicular a AC o bien, AC es perpecdicular a BD. (q.e.d)

Nota. q.e.d. : Queda entonces demostrado.

Desafío PSU

La suma -en cm.- de lado de un cuadrado con su diagonal es:

¿Cuál es el área del cuadrado?


A) 1 cm cuadrado.
B) 2 cm cuadrado.
C) 4 cm cuadrado.
D) 8 cm cuadrado.
E) 16 cm cuadrado.


Solución: Ojo que en la línea 11 (hora 11 en el programa) hay una racionalización ....