Evolución del Pensamiento Geométrico - Aporte de Descartes

En el sistema de coordenadas, dibujamos una circunferencia de centro (7,7) y radio 7. Dibujamos además la recta y=x.

Veamos la gráfica:
El problema es, por varios métodos, calcular la distancia del origen al punto más lejano en que la circunferencia y la recta se intersectan.

Solución 1) Geométrica. La clave de esta solución es bucar la distancia requerida, desde el origen al punto más distante del origen en que se intersectan la circunferencia y la recta y=x, como la suma de dos distancias:

a) La distancia desde el origen al centro de la circunferencia = la diagonal de una cudrado de lado 7.

b) La distancia del centro de la circunferencia al punto más lejano de intersección requerido en el problema. Esta distancia es igual a un radio = 7.

Contribución de Descartes (Fuente: "Ascenso infinito - Breve historia de las matemáticas" de Davod Berlinski, Editorial DEBATE):

Algo en torno a Descartes .... El libro que mejor muestra el estilo de "duda" inagurado por Descartes es el "Discours de la méthode pour bien conduire sa raison et chercher la vérité dans les sciences". En este libro, la geometría analítica aparece en un apéndice titulado "La Géométrie".

Es un libro que sugiere más de lo que contiene y que está escrito por un matemático insconciente de los tesoros que está a punto de revelar. Se da la curiosa circunstancia de que las principales ideas de la geometría analítica no están expresadas explícitamente en el trabajo que creó la geometría analítica, de modo que los matemáticos suelen preguntarse cómo es posible que su autor pudiera ver tanto y decir tan poco.

Al plano organizado de la siguiente forma:

Se le conoce como Sistema de Coordenadas Cartesianas, aunque el propio Descartes nunca habló de Sistemas de Coordenadas en La Géométrie. Ni a decir verdad, en ningún otro lugar.

Descartes se dio cuenta, quizás de manera inconsciente, de que la correspondencia entre ecuaciones y curvas del plano euclideano despliega un juego intrincado entre la forma de la ecuación, sus variables y sus ecuaciones. Esto es algo nuevo. Así, algunas de las muy familiares -para ese tiempo- formas euclideanas se encuentran ahora controladas "desde afuera" del plano por un alambique algebraico, la clave del sistema de coordenadas.

Solución 2) Geometría Analítica.

Analíticamente, la idea es encontrar las coordenadas del punto de intersección de la recta identidad (y=x) con la ecuación de la circunferencia (de centro (7,7) y radio = 7)

La Ecuación de la recta es:

y=x

la Ecuación de la circunferencia es:

Introduciendo la primera ecuación en la segunda:

Los dos anteriores valores de x definen los dos puntos de corte entre y=x y la circunferencia.

Luego ocupando la fórmula de distancia entre el origen y el punto:

===== Análisis del Currículum chileno=====
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: I. Algebra y Funciones.
CMO: 2. Funciones.
b. Evolución del pensamiento geométrico durante los siglos XVI y XVII; aporte de René Descartes al desarrollo de la relación entre álgebra y geometría.