Conjetura de Poincaré

En un esfera-2 ordinaria, cualquier lazo se puede apretar continuamente a un punto en la superficie. ¿Esta condición caracteriza la esfera-2? La respuesta es sí, y ha sido conocida por mucho tiempo. La conjetura de Poincaré hace la misma pregunta para la más difícil de visualizar esfera-3. Grigori Perelman probó eso de nuevo, la respuesta es sí.

El matemático francés Henri Poincaré (1854 1912) legó a la posteridad uno de los problemas matemáticos más fascinantes de todos los tiempos, pues su respuesta puede contribuir a explicar la forma del universo. Desde 1904, lo que se conoce como «conjetura de Poincaré» ha desafiado a varias generaciones de investigadores, que han tratado infructuosamente de resolverla o refutarla.

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El Clay Mathematics Institute declaró la conjetura como uno de los siete problemas fundamentales irresueltos del milenio, y ofreció un millón de dólares de premio a quien lo solucionase. En 2003, el matemático ruso Grigory Perelmann colgó en Internet una serie de artículos que parecían solucionar, finalmente, la conjetura.
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De Wikipedia:

La Conjetura de Poincaré fue una de las hipótesis más importantes de la topología, que dejó de ser conjetura para ser un teorema tras su comprobación. El teorema sostiene que la esfera tridimensional, también llamada 3-esfera o hiperesfera, es la única variedad compacta tridimensional en la que todo lazo o círculo cerrado (1-esfera) se puede deformar (transformar) en un punto. Este último enunciado es equivalente a decir que sólo hay una variedad cerrada y simplemente conexa de dimensión 3, la esfera tridimensional.
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El enunciado no pudo ser resuelto durante un siglo y su demostración fue considerada uno de Los siete problemas del Milenio propuestos por el Clay Mathematics Institute.
El matemático ruso Grigori Perelman anunció haberlo hecho en 2002 a través de dos publicaciones en internet.
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El 5 de junio de 2006 los matemáticos chinos Zhu Xiping y Cao Huaidong anunciaron la demostración completa, basándose en los trabajos preliminares de Perelman (éstos sí publicados en revistas especializadas), lo que, una vez realizada su validación por la comunidad matemática, daría fin a la clasificación completa de las estructuras topológicas de dimensión tres o tridimensionales. Sin embargo, una gran parte de la comunidad matemática piensa que la demostración corresponde a Perelman y considera el trabajo de los matemáticos chinos como un plagio. La Academia China de Ciencias, en defensa de Zhu Xiping y Cao Huaidong, afirmó que el ruso estableció las líneas generales para probar la conjetura, pero no dijo específicamente cómo resolver el enigma.
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Finalmente, se reconoció el trabajo de Perelman cuando se le otorgó la Medalla Fields en el marco del XXV Congreso Internacional de Matemáticos (ICM2006) con sede en Madrid en agosto de 2006, la cual rechazó. En declaraciones a un semanario estadounidense (The New Yorker), Perelman aseguró no querer ser una mascota en el mundo de las matemáticas, estimando que no necesita otro reconocimiento sobre la validez de su trabajo.