Extructura Axiomática

Axiomas (Postulados) - Extructura Axiomática:

Los axiomas o postulados (actualmente sinónimos) corresponden a proposiciones que acpetamos de común acuerdo y que nos sirven, por decirlo de alguna manera, como las "reglas de juego" en el campo de las matemáticas.

La elección de los axiomas o postulados es una cuestión de conveniencia; sin embargo, de cualquier forma en que se elijan, todos ellos deben cumplir con los siguientes requisitos:

1. El número de axiomas de la teoría debe ser el mínimo posible.

2. Los axiomas deben ser independientes entre sí. Esto significa que ninguno de ellos puede deducirse de otro. Si así fuera, significaría que dicho axioma es superfluo y por lo tanto puede suprimirse sin perjudicar la teoría.

3. Los axiomas deben ser compatibles, Esto significa que ninguno de ellos puede contradecir algún otro.

Tales axiomas no son consecuendia de otras proposiciones, sin embargo, a partir de ellos y de sus combinaciones, podemos deducir otras proposiciones (los teoremas).

(Tomado de Manual de Preparación PSU Matemáticas, U. Católica)

Pistas para entender qué son las matemáticas y su andamiaje axiomático ....

Las siguientes líneas, escritas por Einstein en su ponencia "Geometrie und Erfhrung", se han hecho clásicas:

En tanto los teoremas matemáticos se refieren a la realidad, no son ciertos y en tanto son ciertos, no se refieren a la realidad [...]

El progreso vinculado al método axiomático consiste en una separa­ción clara entre la forma lógica y los contenidos reales e intuitivos

[...] Los axiomas son creaciones voluntarias de la mente [...]

A esta interpretación de la geometría le confiero gran importancia porque de no haber estado familiarizado con ella, nunca hubiera desarrollado la teoría de la relatividad.

Axiomas o Postulados, Teoremas, Quinto Postulado de Euclides

(Tomado de http://www.cimm.ucr.ac.cr/)

Los postulados constituyen la base de la geometría sistematizada por Euclides. Los postulados suelen plantearse como verdades autoevidentes, es decir que su verdad nos parece más o menos obvia. También se les llama axiomas. Otra característica de los postulados es que éstos no pueden ser deducidos de otros postulados. Es decir: los postulados son evidentes en sí mismos y además elementos primarios (base de todos los demás resultados).

El Quinto Postulado

El postulado euclidiano más famoso y controversial, fue el quinto. Su enunciado: Dadas dos rectas en un plano y una tercera recta que las corta: si la suma de los ángulos interiores de un lado es menor que dos ángulos rectos, entonces las rectas, si se extienden suficientemente, se cortarán en el lado en el cual la suma de los ángulos es menor que dos ángulos rectos.


Ojo que si la suma es casi 180 grados, es muy probable que se corten fuera de la hoja ....


Este postulado, se suele llamar como Postulado de las Paralelas por el equivalente postulado dado por el matemático y físico escocés John Playfair (1748-1819):

Por un punto dado externo a una recta dada solo puede pasar a lo sumo una recta paralela a la recta dada.

Pero ojo, que por mucho tiempo se pensó que este no era un postulado, es decir, se creía que era un Teorema, demostrable con otros anteriores postulados .... muchos matemáticos gastaron su tiempo y creatividad sin lograr la demostración, hasta que Riemann y Lobachevski, por separado, negando este postulado crearon dos geometrías CONSISTENTES ahora llamadas no euclideanas ....

Lobachevski levantando el axioma: "por un punto fuera a una recta pasa más de una paralela" generó la geomtería hiperbólica y Riemann con el axioma: "Por un punto fuera de una recta NO pasa ninguna paralela" generó la geometría elíptica ....

Veamos un reductivismo, una geometría muy especial (particular) donde por un punto fuera de una recta pasan infinitas paralelas .....