Ejercicios de Aproximación - Charla del Método Singapur

Ejercicio 1:

Multiplicar:
24.943 x 5

Acá uno aproxima, por exceso: 24.943 lo aproximamos por 25.000

Luego la multiplicación se transforma a:
25.000 x 5 = 125.000
aproximadamente (por exceso)
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Ejercicio 2:

Dividir:
4.467 : 11

Acá uno aproxima, por defecto: 4.467 lo aproximamos por 4.400

Luego la división se transforma a:
4.400:11 = 400
aproximadamente (por defecto)

¿Por qué acá aproximamos por DEFECTO?

Porque estamos repartiendo y si aproximásemos por exceso, no tendríamos para dar la misma cantidad a todos .... no pasaríamos de largo ....

Papiro Egipcio - Aproximación racional de Pí

El papiro egipcio del escribano AHNES (ca. 1550 a.c.) era algo así como un manual práctico que incluyó una cuantas ecuaciones lineales, entre otras las del tipo: x + (1/7)x = 19.

¿Cómo se resuelve hoy?
x+(1/7)x=19 (multiplicamos la ecuación por 7)
7x+x=133
8x=133
x=133/8

En geometría, el papiro resuelve el problema de cómo obtener el área de un triángulo isósceles.
¿Cómo lo resolvemos nosotros?

Sorprendentemente, para obtener el área de un círculo de diámtero "d" ofrece una regla que, expresada en símbolos modernos sería:

Problema: ¿Qué aproximación de Pí supone esta fórmula?

Fuentes Matemáticas de la inexactitud

Curriculum chileno
NEM: Primero Medio
Eje Temático: I. Números y Proporcionalidad.
CMO: 1. Números. b. Analisis de la significancia de las cifras en la resolución de problemas. Conocimiento sobre las limitaciones de las calculadoras en relación con truncar y aproximar soluciones.
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También el uso del cálculo matemático produce errores. Al resolver problemas científicos o tecnológicos nos encontramos a menudo ante operaciones cuyo cálculo exacto es imposible, o tan complicado que hemos de conformarnos con una aproximación razonable.

Además, aún caundo el cálculo lleve a soluciones tan sencilla como x= raíz de 2, hemos visto que no es posible escribir con total exactitud ese número irracional, los cual nos obliga a tomar aproximaciones racionales más o menos precisas.

Todavía hay más. Un número tan inocente como 1/97 nos desborda, ya que su escritura decimal ¡tiene un período de 96 cifras! En resumen, hemos de resignarnos a manejar números no exactos.

Y no somos los únicos. Una calculadora se enfrenta a la misma dificultad ya que sólo dispone en su pantalla de unas pocas cifras de capacidad (diez o 12 quizás). ¿Qué hacer ante esta situación? Hay que cortar su escritura por algún sitio. Pues bien, tanto las calculadoras como los humanos adoptamos para ella la estrategia del redondeo o el truncaniento dictadas por el sentido común.

Propagación del error por producto:

Aproximaciones, Estimaciones de Irracionales

Currículum chileno:
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: I. Números y Proporcionalidad
CMO: 1. Números. a. Aproximación y estimación de números irracionales. distinción entre una aproximación y un número exacto.
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Hay números con infinitas cifras decimales. Cuando decimos que 11/3 =3,66 o que raiz de 3 = 1,7321, se está usando una aproximación decimal de dichos números.

Raíz de 2 se encuentra comprendido entre dos números decimales que se van acercando cada vez más a su valor exacto.

Si una aproximación es menor que el número exacto se llama aproximación por defecto. Si en cambio es mayor se llama aproximación por exceso.

El número de cifras decimales de la aproximación elegida determina su orden de aproximación. De esta forma si se usa pi como 3,1 diremos que se aproxima en las décimas.

Estimación (de raíz de 2) Usando una calculadora:

Geometría de un balón .....

GEOMETRÍA DE UN BALÓN

Si te fijas en un balón de fútbol, observarás que no es una esfera sino un poliedro que, al ser hinchado con aire, adopta una forma bastante esférica.

Aproximaciones a la esfera

Se trata del icosaedro truncado; un poliedro así llamado por ser el que se obtiene cuando a un icosaedro le cortamos las 20 esquinas a distancias iguales de cada vértice (a un tercio de la arista). Está formado por 20 hexágonos regulares y 12 pentágonos regulares; y tiene 90 aristas. Este poliedro ocupa un volumen del 86,74% de la esfera circunscrita; porcentaje que aumenta hasta el 95% al ser inflado.

Hay otro poliedro que permitiría conseguir balones más esféricos. Se trata del Rombicosidodecaedro, cuyas caras son 20 triángulos equiláteros, 30 cuadrados y 12 pentágonos regulares; tiene 120 aristas y antes de ser inflado ya ocupa más el 94,5% de la esfera. Pero la industria no ha adoptado esta solución porque aumenta bastante la complejidad de la fabricación (120 costuras que coser, frente a las 90 del icosaedro truncado).

Ambos poliedros pertenecen a la clase de los llamados poliedros semirregulares, cuyas caras son polígonos regulares de dos o más tipos diferentes; a diferencia de los poliedros regulares, formados por polígonos regulares todos iguales entre sí. Además, en ambos tipos de poliedros, en cada vértice concurre el mismo número y tipo de caras en el mismo orden.

Control de calidad

Un balón de fútbol será mejor cuanto más próximo esté a ser una esfera perfecta. En ese caso, tendrá más equilibrio en su trayectoria y permitirá a los futbolistas mayor precisión en los pases y tiros.

La revista Consumer – Eroski (nº 123, julio-agosto 2008) nos explica cómo se controla la calidad de los balones: "Para determinar la esfericidad de un balón se hincha y se mide su diámetro en 16 puntos diferentes para calcular el diámetro medio. Después, se calcula la diferencia entre el diámetro máximo y el mínimo. Así, el número que se obtiene es la diferencia en porcentaje entre el diámetro máximo y mínimo sobre el diámetro medio. A los balones oficiales para las competiciones de la FIFA se les exige que no superen el 2%. Umbro, con un 2,2%, no es lo suficientemente redondo. Matt (2%) y Joma (1,9%) mostraron valores de esfericidad aceptables, pero elevados. Las esferas mas perfectas fueron las de Astore (1,3% de esfericidad) y Diadora (1,3%)".

Dispersión estadística

Observa que, para valorar la esfericidad de los balones, la FIFA está midiendo la dispersión estadística de 16 medidas y calcula su Media Aritmética. Al restar de la mayor medida la menor, calcula lo que en Estadística llamamos el Rango de esa distribución de datos. Luego valora ese rango como porcentaje sobre la media. Es una forma propia de medir la dispersión, no coincidente con los métodos habituales (desviación media y desviación típica), pero perfectamente válida.

José María Sorando Muzás