Reflexionando el Aula con Don Ramón y el profesor Girafales

¿ Clases aburridas ? ¿Quién dijo debían serlo ?

Ya hace tiempo que habíamos descubierto que las profesiones de profesor y showman tienen muchos puntos en común, pero el profesor Walter Lewin lleva este maridaje en la sangre.

Robert L. Devaney: "La geometría de la naturaleza no se enseña en las escuelas"

(Tomado de Planeta matemático)

"Robert Devaney, doctor Chaos para los amigos". Así reza la tarjeta de visita de uno de los matemáticos más activos de los últimos decenios. Nacido en 1948 en Methuen (Estados Unidos), es profesor de matemáticas en la Universidad de Boston y es experto en caos y fractales. Ha visitado recientemente Barcelona para impartir una conferencia en CosmoCaixa. Los sistemas más caóticos e impredecibles, como la atmósfera y los ecosistemas, se han estudiado con sus modelos, pero no es un académico altivo. Su estilo desenfadado le acompaña en los encuentros con el público, especialmente dedicados a enseñar a los más jóvenes la belleza de las matemáticas modernas. Afirma que la geometría puede describir las estructuras más irregulares de la naturaleza.

"La geometría tradicional que aprendemos en la escuela es útil para representar los productos humanos: una caja de zapatos se parece a un cubo, y un globo, a una esfera. Pero los sistemas naturales tienen otra clase de geometría: se pueden representar por medio de estructuras llamadas fractales". "Un fractal es una estructura geométrica interativa. Si miramos la península Ibérica desde el espacio, sus costas parecen más o menos lisas. Pero si ampliamos la zona de Catalunya, por ejemplo, vemos que lo que parecía una línea continua está llena de recovecos. En este nivel, la costa situada delante de Barcelona sigue pareciendo lisa, pero si la ampliamos aún más volvemos a encontrar una forma accidentada. Y así hasta llegar al nivel de las rocas y los granos de arena: cada vez que ampliamos, obtenemos una estructura parecida a la precedente, pero en escala más pequeña".

Publicado en: EL PERIÓDICO, 26 de mayo de 2008

Ir a la entrevista en EL PERIÓDICO

Ir a la página oficial de Robert L. Devaney (en inglés)

Applets sobre Caos y Fractales El conjunto de Mandelbrot

Tomado de su entrevista:

--Usted quiere acercar la matemática moderna a los jóvenes. ¿No es demasiado difícil?--¿Le parecería normal que en los colegios se enseñara solo la literatura y la física del siglo IV antes de Cristo? Pues esto es lo que pasa con las matemáticas. Por esta razón, a los alumnos les parece algo aburrido y distante. En los campamentos matemáticos que organizo cada año, unos 500 estudiantes pueden ver lo más nuevo y bonito de las matemáticas. El ordenador es protagonista en la matemática moderna: tendría que desempeñar un papel clave también en su enseñanza.

Ejemplo de la vida real - Maximización del INGRESO

Ace Cruise Lines ofrece un crucero en una vía fluvial tierra adentro a un grupo de 50 personas con un precio de $ 30 por persona, pero reduce el precio por persona por cada viajero adicional por encima de los 50.

1)
¿Reducir el precio por persona para tener tener más gente en el grupo da un mayor ingreso a la línea de criceros?, ¿Siempre?
2)
¿Cuántas personas darán el ingreso mañximo para la línea de cruceros?

Solución:

1)
El ingreso de la compañía, si el grupo es de 50 personas y cada una pega $30 es: 50 x 30 = $ 1.500. La siguiente tabla muestra el ingreso variando con el aumento de las personas:

2) Miremos la tabla, se puede ver que cuando las personas que exceden son 20, los igresos alcanzan a 1400, menos que cuando se aumentan sólo dos personas ....

Esto nos lleva a buscar el maximo y ello es plausible porque la función cuadrática en cuestión nos habla de una parábola con sus ramas hacia abajo, dado a que el coeficiente "a" de la parábola es negativo:

Esto significa que el máximo beneficio es de $ 1512,50 cuando hay (50+5) = 55 personas. cada una paga = 30-0,5(5) = 27,50 dólares.

Veamos esto en una gráfica:

Otro Desafío PSU (Santillana) MUY anclado a la realidad

Tres sitios se extienden desde calle Oriente hasta la calle Poniente, como muestra la figura. Los límites laterales son segmentos perpendiculares a la calle Poniente, además el frente total de los sitios en la calle Oriente es 120 mteros.

El frente del sitio 2 de la calle Oriente es:

A) 53 m.
B) 40 m.
C) 36 m.
D) 27 m.
E) 26,6 m.

Solución: Uno de estos días !

Como al parecer está poco legible el escrito escaneado:

Que corresponde a la siguiente figura:

Porcentaje

Curriculum chileno ...
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: I. Números y Proporcionalidad.

CMO: 2. Proporcionalidad. c. Porcentaje. Lecrura e interpretación de información científica y publicitaria que involucre porcentaje. Análisis de indicadores económicos y sociales. Planteo y resolución de problemas que perfilen el aspecto multiplicativo del porcentaje. Análisis de la pertinencia de las soluciones. Relación entre porcentaje, números decimales y fracciones.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


Si una persona invierte 100 pesos y al cabo de un tiempo le entregan 120 pesos, obviamente ha ganado 20 pesos por los 100 pesos invertidos. Esto lo podemos abreviar diciendo que ha ganado un 20 %.


PORCENTAJE o TANTO POR CIENTO (Se abrevia usando el símbolo "%"):


Un porcentaje o tanto por ciento es una fracción con denominador constante e igual a 100.

K por ciento = K % = K/100

Cálculo de Porcentajes:

Las cantidades y el porcentaje que representan son pares ordenados relacionados en Proporcionalidad Directa:


Por ejemplo:


El 25 % de 80 es 20 ----> Par ordenado: (20, 25)
El 10 % de 80 es 8 ------> Par ordenado (8, 10)
El 1 % de 80 es 0,8 ------> Par ordenado (0.8, 1)
El 100 % de 80 es 80 ---> Par ordenado (80, 100)


Osea:


20/25 = 8/10 = 0.8/1 = 80/100 = 0,8

- - - - - - - - - -
Veamos un ejemplo: ¿Cuál es el 5 % de 30?


30 es el 100 %
x es el 5 %


Establecemos la proporción:


30/100 = x/5,
x = (30/100)5

de donde despejando, x=1,5


Esto es equivalente -al calcular el porcentaje K de un número- a multiplicar el número por K/100.


Porcentajes Especiales: Equivalencias de Porcentajes, Números Decimales y Fracciones:


Ejemplos de porcentajes en la VIDA:

Tomado de "SEXO, nuevas tendencias" publicado inserto en el Diario La Nación, el penúltimo domingo de agosto del 2008.

¿Te has preguntado lo importante que es la sexualidad en la vida humana, en la felicidad de las parejas y las familias?

¿Hablas de sexualidad en tu seno familiar?

¿Hablan de sexualidad en el cole?

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De cuál error se mofa el siguiente chiste?

Función Raiz Cuadrada

Curriculum chileno

NEM: Tercero Medio

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones

CMO: 2. Funciones. b. Función Raíz Cuadrada, enfatizando que los valores de x siempre deben ser mayores que cero.

Bibliografía: manual de Preparación Matemática. PSU - U.Católica

+ o + o + o + o + o + o + o + o + o + o + o + o +

Problema: La caída libre de un cuerpo en función de su tiempo está dada por la conocida fórmula

en donde "g" es la aceleración de gravedad y "t" el tiempo transcurrido. Si se soltase una pelota desde 50 metros de altura, ¡cuánto tiempo demorará en llegar al suelo?

Solución: Despejamos la variable "t" de la fórmula se tiene:

La Función RAIZ CUADRADA:

La función anterior es una función del tipo raíz cuadrada, y se la define así: Dominio: Son los Reales no negativos, es decir IR+ U {0}, pues no está definido en IR, la raíz de un número negativo .... y nota que en la Media no se trabaja con funciones de variable compleja.

Y si graficamos (con Graphmática):

No pasaría la prueba de la recta vertical, es decir, no sería función, pues la curva posee en su dominio que tienen dos imágenes distintas.

Para poder definir una función, se debe considerar una de ambas ramas. De hecho al pedir gráfica en graphmática para y=SQRT(x), grafica sólo la rama superior.

Nota: SQRT: Abreviación de raíz cuadrada en Inglés.

Geometría de un balón .....

GEOMETRÍA DE UN BALÓN

Si te fijas en un balón de fútbol, observarás que no es una esfera sino un poliedro que, al ser hinchado con aire, adopta una forma bastante esférica.

Aproximaciones a la esfera

Se trata del icosaedro truncado; un poliedro así llamado por ser el que se obtiene cuando a un icosaedro le cortamos las 20 esquinas a distancias iguales de cada vértice (a un tercio de la arista). Está formado por 20 hexágonos regulares y 12 pentágonos regulares; y tiene 90 aristas. Este poliedro ocupa un volumen del 86,74% de la esfera circunscrita; porcentaje que aumenta hasta el 95% al ser inflado.

Hay otro poliedro que permitiría conseguir balones más esféricos. Se trata del Rombicosidodecaedro, cuyas caras son 20 triángulos equiláteros, 30 cuadrados y 12 pentágonos regulares; tiene 120 aristas y antes de ser inflado ya ocupa más el 94,5% de la esfera. Pero la industria no ha adoptado esta solución porque aumenta bastante la complejidad de la fabricación (120 costuras que coser, frente a las 90 del icosaedro truncado).

Ambos poliedros pertenecen a la clase de los llamados poliedros semirregulares, cuyas caras son polígonos regulares de dos o más tipos diferentes; a diferencia de los poliedros regulares, formados por polígonos regulares todos iguales entre sí. Además, en ambos tipos de poliedros, en cada vértice concurre el mismo número y tipo de caras en el mismo orden.

Control de calidad

Un balón de fútbol será mejor cuanto más próximo esté a ser una esfera perfecta. En ese caso, tendrá más equilibrio en su trayectoria y permitirá a los futbolistas mayor precisión en los pases y tiros.

La revista Consumer – Eroski (nº 123, julio-agosto 2008) nos explica cómo se controla la calidad de los balones: "Para determinar la esfericidad de un balón se hincha y se mide su diámetro en 16 puntos diferentes para calcular el diámetro medio. Después, se calcula la diferencia entre el diámetro máximo y el mínimo. Así, el número que se obtiene es la diferencia en porcentaje entre el diámetro máximo y mínimo sobre el diámetro medio. A los balones oficiales para las competiciones de la FIFA se les exige que no superen el 2%. Umbro, con un 2,2%, no es lo suficientemente redondo. Matt (2%) y Joma (1,9%) mostraron valores de esfericidad aceptables, pero elevados. Las esferas mas perfectas fueron las de Astore (1,3% de esfericidad) y Diadora (1,3%)".

Dispersión estadística

Observa que, para valorar la esfericidad de los balones, la FIFA está midiendo la dispersión estadística de 16 medidas y calcula su Media Aritmética. Al restar de la mayor medida la menor, calcula lo que en Estadística llamamos el Rango de esa distribución de datos. Luego valora ese rango como porcentaje sobre la media. Es una forma propia de medir la dispersión, no coincidente con los métodos habituales (desviación media y desviación típica), pero perfectamente válida.

José María Sorando Muzás

Desafío PSU - Libro de Eduardo Cid Figueroa

En la figura se tienem dos postes verticales de longitudes A y B metros, los cuales están separados por d metros. Si alfa es el ángulo de elevación de la punta del poste mayor medido desde la punta del poste menor, entonces tg de alfa es:
Solución: