Cómo hizo Thales de Mileto para medir la distancia de un barco en alta mar, hasta la tierra? ....

Thales de Mileto es el primer ser humano del que se sepa fuera un científico. Vivió en el sigo VI antes de Jesús. Antes que él la ciencia se hacía -por varios siglos- anónimamente. Se cree -que utilizando tecnología babilónica- predijo un eclipse de sol ... La mayor parte de la obra de Thales, que ha trascendidio hasta nuestros días es en el ámbito de la geometría.



Una de sus mayores proezas fue haber medido la distancia de un barco hasta la tierra .... Existe un relato de un agrimensor romano, en que se explica como fue que Thales logró está hazaña ....

Entonces así hizo Thales ...

1) Sea que el barco está en A.

2) Sea que el mar, su costa, corre a lo largo de BV, como muestra la figura.

3) Entonces AB es perpendicular a la línea de la costa.

4) Se eleva un poste en C.

5) Se marca la distancia CD igual a BC.

6) A partir de D, se marcha perpendicularmente a BD, alejándose de la costa.

7) Este proceso se hace hasta que se vea el poste en C alineado con el barco en A.

8) Si esto sucede en el punto E, entonces, la distancia DE es igual a la distancia del barco a la línea de costa.

PSU - DEMRE 2009 - 41

41. En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 10, en el cual se ha inscrito un trapecio isósceles EFGH. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) El área de EFGH es 48.

II) Trángulo AEH es Congruente con Triángulo CFG.

III) HJ = EF

A) Sólo II.

B) Sólo I y II.

C) Sólo I y III.

D) Sólo II y III.

E) I, II, III.

Respuesta: Alternativa E)

PSU - DEMRE 2009 - 42

Respuesta:



Si uno tiene u triángulo equilátero y traza culaquier altura, esta es bisectriz, y dimidia la base asociada. En nuestro caso, como el lado del triángulo es 2, la base queda segmentada en dos trazos de lado unitario. Y puesto que la altura es a la vez bisectriz, entonces el ángulo generado por la altura es de 30º.



Los dos triángulos que se genera con la altura son congruentes por LAL y la altura es igual a la mitad del lado por raiz de 3 .... todo lo podemos ver en:

Luego son sólo verdaderas: I) y II), Alternativa C)

y nótese que la Congruencia está correctamente planteada en la secuencia de los lados de cada uno de los triángulo, lo que es algo importante.

PSU - DEMRE 2009 - 43

43. El triángulo ABC es isósceles de base AB. La circunferencia de centro C y radio r intersecta a los lados del triángulo en E y D, como lo muestra la figura. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

Respuesta:

I) No poseen ningún ángulo ni ningún trazo congruentes. Incorrecta.

II) AC = BC (Lados iguales del triángulo Isósceles).

Luego AC - r = BC - r (restando el radio).

AB es común en ambos triángulos.

Los ángulos basales son parte de cada uno de los trioángulos, luego

por LAL, son congruentes. Correcta.

III) Tienen en común cada unos de los triángulos un lado de longitud igual al radio de la circunferencia, los lados igaules del triángulo isósceles y el ángulo en C. Luego por LAL son congruentes. Correcta.

Correctas sólo II) y III), Alternativa D)

PSU - DEMRE 2009 - 44

44. En la figura el cuadrado se ha dividido en 5 rectángulos congruentes entre sí, y cada rectángulo tiene unperímetro de 30 cm. ¿Cuál es el perímetro del cudrado?

A) 50 cm.

B) 48 cm.

C) 60 cm.

D) 150 cm.

E) Ninguno de los anteriores.

La respuesta se puede obtener del siguiente esquema:

Congruencia - Problemas relativos a congruencia

Curriculum chileno ....
NEM: Primero Medio
Eje Temático: III. Congruencia.

CMO: b. Resolución de problemas relativos a congruencia de trazos, ángulos y triángulos. Resolución de problemas relativos a polígonos, descomposición de figuras elementales congruentes o puzzles con figuras geométricas.
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Congruencia de Trazos: ¿Son congruentes los trazos mostrados?

Utilizando la regla mostramos que son congruentes.

Congruencia de Ángulos: Simetría de la Congruencia: Este no es un problema a resolver, sino la verificación de una propiedad en la Congruencia.

Si decimos que el ángulo alfa es congruente al ángulo beta, ¿podemos decir lo contrario, es decir que el ángulo beta es congruente al ángulo alfa?

Sí, toda congruencia es simétrica !

Congruencia de Triángulos: Indica por qué son congruentes los triángulos ABC y CDA:

Son Congruentes porque además de los dos pares de lados congruentes, señalados por las marcas de igual color, poseen en común la diagonal. Así, por el criterio LLL de Congruencia, los dos triángulos (el celeste y el naranja) son Congruentes.

Congruencia en Polígonos: En el siguiente octógono regular, con centro en P, se han trazado algunos trazos. Encuentra tres parejas de triángulos Congruentes:

Veamos los que yo encontré:

PUZLEZZZ: En el siguiente cuadro (Tomado de Santillana) se encuentran figuras congruentes a las que aparecen pintdas, indica algunas de ellas y que transformación isométrica fue necesaria para obtener cada figura a partir de la original:

Dos posibles solución

Congruencia - Propiedades Triángulos, Cuadriláteros y Circunferencia

Curriculum chileno ....
NEM: Primero Medio
Eje Temático: III. Congruencia.
CMO: c. Demostración de propiedades de triángulos, cuadriláteros y circunferencia, relacionadas con congruencia.
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1) Triángulos:

Sea ABC un triángulo Isósceles, con trazo BC congruente con trazo AC. Sea M el punto medio del trazo diferente AB. Probar que Triángulo AMC es congruente con triángulo BMC:

2) Cuadriláteros: Demostrar que en un paralelógramo, los lados opuestos son CONGRUENTES:

3) CIRCUNFERENCIA: Demostrar que la recta que une los centros de dos circunferencias que se cortan (circunferencias secantes) es simetral de la cuerda común .... Demostración: Pensemos en los triángulos OPO' y OQO'. Son congruentes por los siguientes argumentos:

1) OP es congruente con OQ, ambos radios de la primera circunferencia (de la izquierda)
2) O'Q es congruente con O'P, ambos radios de la otra circunferencia (de la derecha)
3) OO', lado común en ambos triángulos ....

Luego, si los Triángulos OPO' y OQO' son congruentes, sus alturas correspondientes lo serán.

Q.E.D.

CONGRUENCIA de Triángulos - Criterios de CONGRUENCIA

Currículum chileno:
NEM: Primero Medio
Tema: Criterios de Congruencia de Triángulos
Eje Temático: III. Geometría
CMO: I. Congruencia. Criterios de Congruencia de Triángulos.
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Actividad: Dibuja un triágulo cualquiera, incluso puedes simplificar dibujando uno rectángulo, equilátero o isósceles .... llama por teléfono a tu compañero y pídele -bajo tus instrucciones- que dibuje tu triángulo al otro lado de la línea .... Puedes pedirle elementos como reglas, transportadores, compaz, porque la idea es que al otro día pudiesen tener EXACTAMENTE los mismos triángulos .... ¿ Qué datos te fue necesario decirle para lograr esta tarea ?

Concepto Congruencia:

Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma y el mismo tamaño, es decir, cuando al poner una figura sobre la otra, ambas coinciden.
Criterios de Congruencia de Triángulos:

Si hablamos de dos triángulos congruentes, entonces tendremos en cada triángulo tres lados y tres ángulos que deberán coincidir. Pero, para saber si dos triángulos son coincidentes, ¿ES NECESARIO SABER QUE TODOS Y CADA UNO DE ESTOS ELEMENTOS SON CONGRUENTES O SE PRECISA TENER MENOS INFORMACIÓN?

Para poder construir un triángulo congruente a otro, solo basta conocer tres de los seis elementos antes mencionados, pero estos no pueden ser cualquier trío, deben estar ordenados de acuerdo a alguno de los siguientes criterios que se presentan ahora:

CRITERIO Lado, Lado, Lado (LLL)

Si dos triángulos tienen sus tres lados respectivamente congruentes, entonces los triángulos son congruentes.

CRITERIO Lado, Ángulo, Lado (LAL)

Si dos triángulos tienen dos lados y el ángulo formado por ellos respectivamente congruente, entones los triángulos son congruentes.

CRITERIO Ángulo, Lado, Ángulo (ALA)

Si dos triángulos tiene dos ámgulos y cada lado común a ellos respectivamente congruente, entonces los triángulos son congruentes.

Ejercicio de ejemplo:

No necesariamente son congruentes, podrían serlo. Todo depende -en el degundo triángulo de izquierda a derecha- del valor del trazo común a los ámgulos marcados. Si fuese 5 cm su longitud habría congruencia según el criterio ALA, pero como no está señalizado NO se puede afirmar.

Congruencia

CONGRUENCIA en el curriculum chileno:
NEM: Primero Medio
Eje Temático: III. Geometría.
CMO: 1. Congruencia. a. Congruencia de 2 figuras planas.
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Definición de Congruencia:

Diremos, en general, que dos figuras son congruentes cuando al colocar una sobre la otra (superposición) coinciden en todos sus elementos (Geometría - Curso de matemática elemental - Tomo III y IV, Carlos Mercado Schüler).

Ejemplo: Así por ejemplo dos estampillas nacionales de un mismo valor y la misma edición son congruentes.

Se utiliza un signo para congruencia que es:

Congruencias:

1) Dos trazos son congruentes cuando tienen la misma medida.

2) Dos ángulos son congruentes cuando tienen la misma meddida.

3) Para que dos polígonos sean congruentes, es necesario y suficiente que tengan sus lados respectivamente iguales y sus ángulos respectivamente iguales. Esto se expresa igualmente como: "lados homólogos y ángulos homólogos iguales".

En el ejemplo de a continuación, puestos que los aldos y los ángulos respectivos son iguales, entnces, ambos polígonos son congruentes.

Buen Desafío PSU (La nación):

30: Con respecto a los triángulos de la figura, se puede afirmar que:

A) son congruentes por criterio (L,L,L)

B) son congruentes por criterio (L.A.L)

C) son congruentes por criterio (A.L.A)

D) son congruentes por criterio (L,L,A)

E) no son necesariamente congruentes.

Solución: Si examinamos ambos triángulos, calculamos -en el primero de izquierda a derecha- que el ángulo que falta es de 100 grados (restando la suma de 20 + 60 de 180). En el segundo, el ángulo que falta es de 60 grados.

Por criterio AA de Semejanza (bastan dos ángulos, porque si en dos triángulos, 2 ángulos son iguales, lo es el tercero), ambos triángulos SON semejantes. Nada se ha dicho de los lados, no hay suficiencia para una Congruencia por ninguno de los criterios que al menos exigen un lado. Por tanto, estos dos triángulos NO son congruentes necesariamente, alternativa E.

PSU - DEMRE - 2008 - Ejercicio 45

45. Si sobre el tercio central de uno de los lados del triángulo equilátero ABC se construye otro triángulo equilátero, como se muestra en la figura 7, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) El área del triángulo DEF es la sexta parte del área del triángulo ABC
II) El lado FE (trazo) es paralelo al lado AB (trazo)
III) El lado FE (trazo) es perpendicular al lado AC (trazo)

A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) Sólo II y III

Solución: El triángulo unitario (yo lo llamo así) achurado en plomo, es equilátero (como dice el enunciado) y su lado es un tercio del equilátero mayor. Este triángulo unitario cabe 9 veces en el triángulo equilátero mayor: fíjese que por LAL cada uno de los subtriángulos es congruente con el triángulo unitario.

I) Es falsa, pues el triángulo unitario es la novena parte, no la sexta.
II) Es verdadera, pues si el triángulo unitario es equilátero, el ángulo CFE debe ser de 120º, el mismo que se replica abajo entre la horizontal y DB.
III) Es falsa pues la prolongación de EF cae en 60º sobre trazo AC

La alternativa correcta es B)

PSU - DEMRE - 2008 - Ejercicio 38

38. En la figura 4, PQRS es un paralelógramo y las diagonales SQ (trazo) y PR (trazo) se intersectan en T. ¿Cuál(es) de las siguientes congruencias es (son) SIEMPRE verdaderas?

I) Triángulo PTS es congruente con Triángulo STR
II) Triángulo PTS es congruente con Triángulo RTQ
III) Triángulo PSR es congruente con Triángulo RQP

A) Sólo III
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II, III

Solución: Es conocido en un Paralelógramo que las diagonales forman los siguientes triángulos congruentes:

Por tanto, II y III son verdaderas, la alternativa correcta es la D).

Pero seamos más rigurosos:

Y un poco de ayuda visual para un caso:

¿Cuánto papel necesitarías de cada color, si el diseño está dentro de un cuadrado de un metro de lado?

Tomado de Matematicalia .... Como es un problema super mecánico, sólo estarán los resultados y fíjense que suman 1 metro cuadrado.