Discusión Solución de un Sistema de 2 x 2

El Sistema de Ecuaciones con 2 incógnitas, anterior:

A) Tiene solución única.

B) Tiene infinitas soluciones.

C) Tiene 2 soluciones.

D) No tiene solución.

E) No se puede determinar.

Respuesta: Si dividimos la segunda ecuación (2) por 3, llegamos EXACTAMENTE a la Ecuación primera (1) .... Esto significa que cada una de las ecuaciones representa a la misma recta o son dos rectas coincidentes, por lo tanto hay INFINITAS SOLUCIONES.Alternativa B)

PSU - DEMRE 2009 - 66

66. María tiene el triple de fichas que Bernarda, y Bernarda tiene la tercera parte de las fichas de Carlos. Su puede deterimar el número de fichas que tiene Carlos si:

(1) Los tres tienen en total 280 fichas.
(2) María y carlos tienen la misma cantidad de fichas.

A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) y (2).
E) Se requiere información adicional.

Respuesta: Llamemos M a las lifhas de María, B a las fichas de Berbarda y C a las fichas de Carlos.

El enunciado entrega dos ecuaciones: Ecuación 1: M=3B ; Ecuación 2: B=C/3

con (1) tenemos M+B+C = 280, con lo cual tenemos un sistema de 3x3 posible de resolver.

con (2) tenemos que M=C, información NO nueva, que se saca de manipular Ecuación 1 y Ecuación 2 ....

Basta sólo (1) para lograr respuesta, Aletarntiva A)

PSU - DEMRE 2009 - 69

69. Sea a : b = 2 : 3. Se puede determinar los valores numéricos de a y b si:

(1) 2b : c = 6 : 5 y c = 15
(2) a+b = 15

A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.

Resouesta: La combinación de la relación del enunciado, con cada una de las aseveraciones (1) y (2) forma un sistema de ecuaciones posible de resolverse:

Primero:
a:b = 2:3 y 2b:c=6:5 y c=15 es un sistema completo, posible de resolverse.
de hecho:
2b:15=6:5 da un valor de b, que luego al ponerse en a:b=2:3 sde logra un valor para a.

Segundo:
a:b = 2:3 y a+b = 15 es un sistema completo, posible de resolverse.
Por sustitución, puedes despejar a o b en la primera ecuación y sustituirlo en la ecuación de la suma.

Por tanto la alternativa correcta es D), cada una por si sóla.

Problema 2

Los lados de un rectángulo estás en la razón de 5:2 y su área es de 360 cm2. ¿Cuál es su perímetro?

a) 12 cm ; b) 30 cm ; c) 42 cm ; d) 84 cm ; e) 64 cm.

Respuesta: Llamenos L al largo y A al ancho.

1) Ecuación de la proporción: Entonces L/A = 5/2

2) Ecuación del área: L x A = 360

Juego ....

Respuesta en los comentarios .... ya viene .... Utilizaremos la siguiente convención:

Evolución del Pensamiento Geométrico - Aporte de Descartes

En el sistema de coordenadas, dibujamos una circunferencia de centro (7,7) y radio 7. Dibujamos además la recta y=x.

Veamos la gráfica:
El problema es, por varios métodos, calcular la distancia del origen al punto más lejano en que la circunferencia y la recta se intersectan.

Solución 1) Geométrica. La clave de esta solución es bucar la distancia requerida, desde el origen al punto más distante del origen en que se intersectan la circunferencia y la recta y=x, como la suma de dos distancias:

a) La distancia desde el origen al centro de la circunferencia = la diagonal de una cudrado de lado 7.

b) La distancia del centro de la circunferencia al punto más lejano de intersección requerido en el problema. Esta distancia es igual a un radio = 7.

Contribución de Descartes (Fuente: "Ascenso infinito - Breve historia de las matemáticas" de Davod Berlinski, Editorial DEBATE):

Algo en torno a Descartes .... El libro que mejor muestra el estilo de "duda" inagurado por Descartes es el "Discours de la méthode pour bien conduire sa raison et chercher la vérité dans les sciences". En este libro, la geometría analítica aparece en un apéndice titulado "La Géométrie".

Es un libro que sugiere más de lo que contiene y que está escrito por un matemático insconciente de los tesoros que está a punto de revelar. Se da la curiosa circunstancia de que las principales ideas de la geometría analítica no están expresadas explícitamente en el trabajo que creó la geometría analítica, de modo que los matemáticos suelen preguntarse cómo es posible que su autor pudiera ver tanto y decir tan poco.

Al plano organizado de la siguiente forma:

Se le conoce como Sistema de Coordenadas Cartesianas, aunque el propio Descartes nunca habló de Sistemas de Coordenadas en La Géométrie. Ni a decir verdad, en ningún otro lugar.

Descartes se dio cuenta, quizás de manera inconsciente, de que la correspondencia entre ecuaciones y curvas del plano euclideano despliega un juego intrincado entre la forma de la ecuación, sus variables y sus ecuaciones. Esto es algo nuevo. Así, algunas de las muy familiares -para ese tiempo- formas euclideanas se encuentran ahora controladas "desde afuera" del plano por un alambique algebraico, la clave del sistema de coordenadas.

Solución 2) Geometría Analítica.

Analíticamente, la idea es encontrar las coordenadas del punto de intersección de la recta identidad (y=x) con la ecuación de la circunferencia (de centro (7,7) y radio = 7)

La Ecuación de la recta es:

y=x

la Ecuación de la circunferencia es:

Introduciendo la primera ecuación en la segunda:

Los dos anteriores valores de x definen los dos puntos de corte entre y=x y la circunferencia.

Luego ocupando la fórmula de distancia entre el origen y el punto:

===== Análisis del Currículum chileno=====
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: I. Algebra y Funciones.
CMO: 2. Funciones.
b. Evolución del pensamiento geométrico durante los siglos XVI y XVII; aporte de René Descartes al desarrollo de la relación entre álgebra y geometría.

Tres maneras de enfrentar una SUCESION !!!!!

Tomado de la Revista Electrónica Iberoamericana de Educación Matemática

Autor: Uldarico Malespina Jurado

Pontificia Universidad Católica del Perú

Veamos la siguiente SUCESION (Cada triangulito es equilátero de lado 1):

(Dibujo del autor en la revista)

Los números de la sucesión así planteada son:
3, 5, 8, 12, 17 .....

Veamos como, de tres formas diferentes, podemos llegar a encontrar el término general:

Primero que nada, observemos que la sucesión planteada es una progresión aritmética de segundo orden; es decir, una sucesión tal que las diferencias sucesivas
d1= f(2) – f(1), d2= f(3) – f(2), d3= f(4) – f(3), … , dn = f(n+1) - f(n), …

forman una progresión aritmética.

DATO: Este tipo de sucesiones se asocia a una función cuadrática.

1) Forma Mecánica de encontrar el término General.

Dijimos que este tipo de sucesiones se asocia a una función cuadrática.

Su término general está dado por la restricción de una función cuadrática a los números enteros positivos que forman la sucesión, para cada una de las figuras.

Así: La función cuadrática P, será de la forma Como P(1)=3, P(2)=5 y P(3)=8, haciendo los reemplazos correspondientes tenemos un sistema de tres ecuaciones lineales con las incógnitas a, b y c :

2) Usando (la historia) otras sucesiones ya aprendidas:

Recordemos los Números Triangulares y comparémoslos con la sucesión planteada:

Observe que cada término de la sucesión planteada es el correspondiente número triangular sumado con 2. Por tanto el término ene-ésimo es:

3) Encontrando la fórmula recursivamente: