Desafío PSU - Santillana 1

Determinar la recta

que pasa por el punto (0,3) y cuyo ángulo de inclinación es 60 º.

Respuesta:

Usaremos la ecuación PUNTO-PENDIENTE, esto quiere decir que construiremos la ecuación de la recta teniendo en cuenta dos datos: un punto por el que pasa y la pendiente.

Su fórmula es:

y-y1 = m (x-x1)

donde m es la pendiente y (x1,y1) es el punto conocido por el que pasa la recta.

El punto por el que pasa está dado: (0,3) = (x1,y1)

m = Tangente (del ángulo de inclinación) ....

PSU - DEMRE 2009 - 27

27. Una fábrica de lámparas tiene un costo fijo de producción de $ 1.000.000 mensuales y costos varios por lámpara de $ 5.000. Si x representa el número de lámparas producidas en un mes, ¿cuál de las siguientes expresiones representa la función costo C(x)?

Respuesta:

El costo fijo = 1.000.000 es el Y-Intercepto, equivalente a "n" en la ecuación: y=mx+n

El costo varios por lámpara es la pendiente, equivalente a "m" en la ecuación: y=mx+n

Luego, usando la ecuación: y = mx + n, tendremos: El costo en función de x camisas producidas:

C(x) = 5.000 x + 1.000.000, Alternativa D)

PSU - DEMRE 2009 - 36

36. En la figura ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) La Pendiente de AD y de BC no es un número real.

II) La pendiente de DC es cero.

III) La pendiente de AB es positiva.

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y II

E) I, II, III

Respuesta: Alternativa B)

Ligazón entre Geometría Analítica y Trigonometría

La pendiente de una recta que pasa por los puntos (x1,y1) y (x2,y2) es:

Considerando el triángulo MNO y llamando alfa al ángulo MNO, se tiene que:

Notar que ángulo MNO es igual al ángulo XPM = ángulo alfa, que es conocido como ángulo de inclinación dela recta.

La pendiente de una recta es la tangente del ángulo de inclinación de ella.

NEM: tercero medio

Estudiando un Cuadrilátero, dados sus vértices

NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Uso de un Programa Computacional de manipulación algebraica y gráfica.
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Este es un potente ejercicio pues se conjugan nociones de Geometría, Geometría Analítica y manejo de un programa gráfico.

Las coordenadas de los vétices de un cuadrilátero ABCD son:

A (-4,-5)
B (3,-2)
C (4,3)
D (-1,2)

a) ¿Qué propiedades tienen las diagonales?
b) ¿Qué propiedad tienen sus lados?
c) ¿Cómo se llama este cuadrilátero?
d) Calcular él área.

Usando Geogebra, trazamos un buen grafo del cuadrilátero a estudiar:

a) Llamamo P al punto de intersección de las dos diagonales.
La recta AC
(y+5)/(x+4)=(3+5)/(4+4); donde y=x-1, pendiente mAC=1
La recta BD
((y-2)/(x+1)=(-2-2)/(3+1); donde y=-x+1, pendiente mBD=-1
Ambas rectas, diagonales, son perpendiculares, pues mAC x MBD = -1
Resolviendo la intersección (que además se ve en el grafo), tras encontrar el punto solución del sistema:
(1) y=x-1
(2) y=-x+1
Se obriene el punto (1,0)
Además, las coordenadas del punto medio del trazo BD
x= 1/2(3-1)=1
y=1/2(-2+2)=0
Es decir, P dimidia el trazo BD.
Pero (1,0) no dimidia a AC, cuyo punto medio es
x=1/2(-4+4)=0
y=1/2(-5+3)=-1
Las diagonales son perpediculare y sólo una dimidia a la otra. ES UN DELTOIDE

b) Como AC es simetral, entonces
Trazo CD = Trazo CD
Trazo AD = Trazo AB

c) Deltoide, las anteriores propiedades sólo las cumple un deltoide.

d) El área es el Semiproducto de las diagonales: (AC x BD) / 2

o bien,

2xArea = Trazo AC x Trazo BD=
2xArea = Raiz ((4+4)^2 + (3+5)^2) x Raiz ((1+3)^2+(2+2)^2)
2xArea = Raiz (64+64) x Raiz(16+16)
2xArea = 8Raiz(2)x4Raiz(2)
2xArea = 32 x 2
Area = 32

Ecuación de la Recta - Pendiente - (Y) Intercepto - Paralelismo - Perpendicularidad

Curriculum chileno:
NEM: Segundo Medio
Tema: Geometría Analítica - Recta
Eje Temático: I. Algebra y Funciones.
CMO: 2 Funciones. Ecuación de la recta. Interpretación de la Pendiente y del Intercepto con el eje de las ordenadas. Condición de Paralelismo y Perpendicularidad (entre 2 rectas).
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Hagamos un torpedo ....

Ecuación de la Recta:

1) Una recta está dada por una ecuación general que vincula dos variables, x e y.

2) x es conocida como variable independiente, y como variable dependiente.

3) La Ecuación General de la Recta es de la forma: Ax + By + C = 0

4) A, B, C son constantes numéricas, conocidas o no.

5) Esta ecuación se puede escribir como:

y= (-B/A) x + (-C/A), con A distinto de cero.

6) Se acostumbra a nombrar a

(-B/A) = m

(-C/A) = n

7) Usando la anterior convención, podemos escribir: y = mx + n, que es conocida como la Ecuación Principal de la Recta. m y n so números Reales.

Esta ecuación vincula las varibles x e y en una función, es decir, para todos y cada uno de los valores de x, existe un único valor de y.

Cuando la gráfica de la función corresponde a una línea recta que no pasa por el origen, del sistema cartesiano, podemos decir que es una función afín.

8) Cuando n es igual a cero, entonces y = mx, se conoce con el nombre de función Lineal. La gráfica corresponde a una línea recta que pasa por el origen del Sistema Cartesiano.

9) m es conocida como la pendiente de la recta. Representa una tasa de variación entre las ordenadas y las abcisas. m= (variación de las ordenadas)/(variación de las abcisas) entre dos puntos de la recta cualesquiera.

10) n en la ecuación principal se llama Coeficiente de posición de la recta e indica el valor de la ordenada del punto donde la recta se intersecta con el eje y. n es conocido de tres formas: Intercepto, Y Intercepto o Coeficiente de Posición.

11) Veamos esto en una gráfica

12) Posibles pendientes de una recta:

13) Dos rectas son Paralelas si poseen igual pendiente. Es decir:

Primera Recta: y = m1x + n1

Segunda Recta: y= m2x + n2

La Primera recta es paralela a la segunda si: m1 = m2.

14) Dos rectas son Perpendiculares si el produnto de sus pendientes es igual a -1.

Primera Recta: y = m1x + n1
Segunda Recta: y= m2x + n2

La primera recta es perpendicular a la Segunda recta si m1m2 = 1, es decir si el producto de ambas pendientes es -1 (o una pendiente es el recíproco negativo de la otra).

15) Ecuación de la recta que pasa por dos puntos: Sea una recta que pasa por dos puntos

A (x1, y1)

B (x2, y2)

La ecuación será:

Ajuste de una Recta a un set de datos correlacionados Linealmente

Usando los mismos datos del posteo anterior, vamos a aprovechar la fórmula de "Recta de regresión" que nos aporta el método de los Mínimos Cuadrados.

(Nota: en burdas palabras, el Método de los Mínimos Cudrados, ajusta una curva -en esta caso recta, obviamente- que MINIMIZA la suma de las distancias al cuadrado (para que sean positivas) de la recta de simulación o de ajuste, a cada uno de los puntos de la muestra).

La Fórmula es:

Y ojo que cada una de las cantidades está calculada antes:

Y ahora construyamos la Recta de Regresión:

Y con esta recta se pueden estimar otros pares de valores .....