Una guía de Probabilidad Condicionada

Guía de Probabilidad Condicionada

Probabilidad Condicional - Introducción

Consideremos la diferencia entre:


1) Elegir al azar un artículo de un lote con sustitución.
2) Elegir al zara un artículo de un lote sin sustitución.


Pensemos en un lote de artículos con 80 artículos buenos y 20 defectuosos.


Supongamos que elegimos 2 artículos, uno tras otro con y sin sustitución:


Definamos los siguientes eventos:


A = { el primer artículo es defectuoso}
B = { el segundo artículo es defectuoso}


Si escogemos con sustitución: P(A) = P(B) = 20/100 = 1/5

Pero si escogemos sin sustitución, P(A) sigue siendo igual a 1/5, pero P(B) se debe calcular sabiendo lo que ha pasado la primera vez que se escogió ....


Llamaremos a P(B/A) :

Probabilidad Condicional del evento B, dado que A ha ocurrido.

P(B/A), en nuestro ejemplo es = 19/99, porque si A ha ocurrido, entonces al sacar por segunda vez quedan sólo 99 artículos, de los cuales sólo 19 son defectusos, puesto que hemos sacado uno de ellos ...

Cada vez que calculamos P(B/A) esencialmente estamos calculando P(B) respecto al espacio muestral reducido A, en vez del espacio muestral original.

Deducción Intuitiva de la fórmula de P(B/A):


Pensemos en el experimento de lanzar dos dados NO truncados y que anotamos los resultados (x1,x2) ,,,, en las abcisas los resultados del primer dado y en las ordenadas los resultados del segundo dado.


El espacio muestral, de 36 resultados igualmente probables es:


S={ (1,1), (1,2), ....., (1,6), (2,1), (2,2) ..... (2,6), (3,1), (3,2) .... (6,6)}


Consideremos los siguientes eventos:


A={(x1,x2) / x1+x2=10}
..... Todas las parejas que suma 10.

B={(x1,x2) / x1 es mayor que x2}
..... Todas las parejas en donde la abcisa es mayor que la ordenada.


A={ (5,5), (4,6), (6,4) }
: 3 casos


B= { (2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5)}
: 15 casos


P(A) = 3/36

P(B) = 15/36


P(B/A) = 1/3 ya que el espacio muestral es ahora A (con tres resultados) y sólo uno de ellos es tal que la abcisa es mayor que la ordenada: par (6,4).

De forma similar:P(A/B) = 1/15 (referido al par: (6,4))


Finalmente calculemos P(A intersectado con B): Este evento ocurre si y sólo si la suma de los dos dados es 10 y el pri,mer dado arroja un número mayor que en el segundo. P(A intersectado con B) = 1/36


Si observamos los diversos valores que hemos obtenido, se da:

Sucede que esta relación no sólo aparece en este ejemplo particular sino que son completamente generales y son el medio para definir formalmente la Probabilidad Condicional.

Probabilidad Condicionada

Curriculum chileno:
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: III. Estadística y Probabilidad.
CMO: c. Probabilidad Condicionada.

Nota: Desarrollaremos este tema nuevamente. En el buscador INTERNO al Blog, puedes encontrar otros posteos con esta misma temática. Pero preferimos tratar el tema de nuevo porque diferentes desarrollos pueden abrir los entendimientos ....
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Consideremos una urna con 5 bolas Rojas (R), 3 bolas Blancas (B) y 1 bola Verde (V), como se muestra en la figura:

Supongamos que sacamos una bola y es verde ,,,,, A continuación, sin reemplezar (es decir sin devolver la bola extraída a la urna), extraemos una segunda bola, entonces, vamos a preguntar por la probabilidad de que esta segunda bola sea Roja (R).

P(2da. bola sea Roja (R) / 1ra. bola fue Verde (V)) = ?

Calculemos: P(2da. bola sea Roja (R) / 1ra. bola fue Verde (V)) = 5/8

El símbolo P(R/V) se lee probabilidad de R condicionada por V. Es decir, hablamos de la probabilidad de sacar roja en la segunda, condicionado por el hecho de que salió verde en la primera.

Esta probabilidad posee una fórmula de cáculo como mostramos a continuación:

Obviamente desde esta fórmula

SE PUEDE DESPEJAR LA PROBABILIDAD DE LA INTERSECCION!

Aplicando esta fórmula en nuestro caso -de la urna- estudiado, calculemos SIN REEMPLAZAMIENTO:

Probailidad TOTAL

(Nota: Conviene repasar lo que es Probabilidad Condicional, en este mismo Blog)

Supongamos que tenemos dos urnas, {1} y {2} ,,,,, la {1} con 2 bolas blancas (B) y tres negras (n). la {2} con 3 B y 4 N. Seleccionamos una urna al azar y de ella extraemos, también alazar una bola. ¿Cuál es la probabilidad de que sea blanza?

La bola será blanca si se selecciona la urna {1} y de ella sale B o si se selecciona la urna {2} y de ella sale B.

P(B) = P({1}) x P(B/{1}) + P({2}) x P(B/{2})

P(B) = (1/2) x (2/5) + (1/2) x (3/7)

P(B) = 29 / 70

En general, si A1, A2, ,,,,, An, son sucesos icompatibles del experimento E, tales que A1 U A2 U A3 U ,,, U An = E, la probabilidad de cualquier suceso S perteneciente a E es:

P(S) = P(A1)xP(S/A1) + P(A2)xP(S/A2) + .... + P(An)xP(S/An)

Probabilidad Condicionada

Consideremos el siguiente Problema:

Pensemos la diferencia que existe entre elegir al azar un artículo de un lote con o sin sustitución.

Sea que tenemos un lote con la siguiente constitución:
80 artículos sin defectos y
20 defectuosos.

Suponga que elegimos dos artículos: a) con sustitución y b) sin sustitución. Definamos los siguientes eventos:

A = {el primer artículo es defectuoso} ;

B = {el segundo artículo es defectuoso}

Si escogemos con sustitución P(A) = P(B) = 20/100 = 1/5. Cada vez que elegimos, en el lote hay 20 artículos defectuosos de un total de 100.

Sin embargo si elegimos sin sustitución, los resultados no son totalmente inmediatos. Todavía es verdad, por supuesto, que P(A) = 1/5. Pero, ¿cuál es el valor de P(B)? Es evidente que con el propósito de calcular P(B) deberíamos conocer la composición del lote cuando se escoge el segundo artículo. En otras palabras deberíamos saber si el evento A ocurrió o no. Este ejemplo indica la necesidad de presentar el siguiente concepto importante.

Sean A y B dos eventos asociados con un experimento E. Indiquemos con P(B/A) la probabilidad condicional del evento B, dado que A ha ocurrido.

En el ejemplo anterior, P(B/A) = 19/99. Porque si A ha ocurrido, entonces, al sacar por segunda vez, sólo quedan 99 artículos, de los cuales 99 son defectuosos.

Cada vez que calculamos P(B/A), esencialmente estamos calculando P(B) respecto del espacio muestral reducido A, en vez del espacio muestral original.

Veamos un ejemplo:

Problema: Se lanzan dos dados normales y se anotan los resultados (x1,x2), donde xi es el resultado del i-ésimo dado, i=1,2. Por lo tanto el espacio muestral S se puede representar por el arreglo de 36 resultados equi-probables:

{ (1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6) (2,1); (2,2); (2,3); (2,4); (2,5); (2,6)
(3,1); (3,2); (3,3); (3,4); (3,5); (3,6) (4,1); (4,2); (4,3); (4,4); (4,5); (4,6)
(5,1); (5,2); (5,3); (5,4); (5,5); (5,6) (6,1); (6,2); (6,3); (6,4); (6,5); (6,6) }

Considere los siguientes eventos:

A = {(x1,x2) / x1+x2=10} ;

B = {(x1,x2) / x1 > x2}, Así

En concreto:

A={(5,5,);(4,6); (6,4)} ;

B={(2,1); (3,1); (3,2); (4,1); (4,2); (4,3); (5,1); (5,2); (5,3); (5,4); (6,1); (6,2); (6,3); (6,4); (6,5)}

P(A) = 3/36 ;
P(B) = 15/36;

P(B/A) = 1/3 (El espacio muestral es ahora A) ;

P(A/B) = 1/15 (El espacio muestral es ahora B),

Si observamos con cuidado los diversos números que antes habíamos calculado, concluimos que se da lo siguiente:


que nos ayuda a definir formalmente la probabilidad condicional .....