Probabilidad Condicionada

Consideremos el siguiente Problema:

Pensemos la diferencia que existe entre elegir al azar un artículo de un lote con o sin sustitución.

Sea que tenemos un lote con la siguiente constitución:
80 artículos sin defectos y
20 defectuosos.

Suponga que elegimos dos artículos: a) con sustitución y b) sin sustitución. Definamos los siguientes eventos:

A = {el primer artículo es defectuoso} ;

B = {el segundo artículo es defectuoso}

Si escogemos con sustitución P(A) = P(B) = 20/100 = 1/5. Cada vez que elegimos, en el lote hay 20 artículos defectuosos de un total de 100.

Sin embargo si elegimos sin sustitución, los resultados no son totalmente inmediatos. Todavía es verdad, por supuesto, que P(A) = 1/5. Pero, ¿cuál es el valor de P(B)? Es evidente que con el propósito de calcular P(B) deberíamos conocer la composición del lote cuando se escoge el segundo artículo. En otras palabras deberíamos saber si el evento A ocurrió o no. Este ejemplo indica la necesidad de presentar el siguiente concepto importante.

Sean A y B dos eventos asociados con un experimento E. Indiquemos con P(B/A) la probabilidad condicional del evento B, dado que A ha ocurrido.

En el ejemplo anterior, P(B/A) = 19/99. Porque si A ha ocurrido, entonces, al sacar por segunda vez, sólo quedan 99 artículos, de los cuales 99 son defectuosos.

Cada vez que calculamos P(B/A), esencialmente estamos calculando P(B) respecto del espacio muestral reducido A, en vez del espacio muestral original.

Veamos un ejemplo:

Problema: Se lanzan dos dados normales y se anotan los resultados (x1,x2), donde xi es el resultado del i-ésimo dado, i=1,2. Por lo tanto el espacio muestral S se puede representar por el arreglo de 36 resultados equi-probables:

{ (1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6) (2,1); (2,2); (2,3); (2,4); (2,5); (2,6)
(3,1); (3,2); (3,3); (3,4); (3,5); (3,6) (4,1); (4,2); (4,3); (4,4); (4,5); (4,6)
(5,1); (5,2); (5,3); (5,4); (5,5); (5,6) (6,1); (6,2); (6,3); (6,4); (6,5); (6,6) }

Considere los siguientes eventos:

A = {(x1,x2) / x1+x2=10} ;

B = {(x1,x2) / x1 > x2}, Así

En concreto:

A={(5,5,);(4,6); (6,4)} ;

B={(2,1); (3,1); (3,2); (4,1); (4,2); (4,3); (5,1); (5,2); (5,3); (5,4); (6,1); (6,2); (6,3); (6,4); (6,5)}

P(A) = 3/36 ;
P(B) = 15/36;

P(B/A) = 1/3 (El espacio muestral es ahora A) ;

P(A/B) = 1/15 (El espacio muestral es ahora B),

Si observamos con cuidado los diversos números que antes habíamos calculado, concluimos que se da lo siguiente:


que nos ayuda a definir formalmente la probabilidad condicional .....