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lunes, 30 de junio de 2008

Volúmen de un CONO - Cálculo de su fórmula por Suma de cantidades Infinitesimales

idea: Lograr la Fórmula que nos da el volúmen del CONO en función de su radio basal (R: radio de la circunferencia de la base) y su altura (H).

El cono se caracteriza por los siguientes elementos (mínimos):


Por si están presurados(as), delantemos que el cono posee por volúmen la siguiente fórmula:
Volúmen de un Cono: Es igual a un tercio del producto del área de la base por su altura. O sea, debiésemos llegar a la siguiente fórmula o a una aproximación:El procedimiento consiste en pensar el CONO como la suma de muchas (infinitas) secciones con altura muy pequeña (infinitesimal).
Pero vamos a aproximar, es decir, pensaremos el cono como la suma de muchos cilindros de altura infinitesimal (muy pequeña) .... (Nota: lo bueno de este método es que SIRVE para calcular el volumen de muchas figuras y yo creo que fue utilizado por Newton, con lo que se dio paso al cálculo infinitesimal) En la medida que los cilindros son altura más pequeña, la pérdida de volumen se hace menor y ello nos permitirá tener una fórmula aproximada, pero muy cercana al volumen real, verdadero, no aproximado.

La anterior figura no es muy exacta, es de mi autoría y es difícil dibujar en PAINT. En ella hay cilindros de diferentes alturas, no son de igual altura. Ahora vamos a pensar en que todo esos cilindros poseen la misma infinitesimal altura: la división del cono es regular y uniforme.

Dividamos la altura (H) del cono en "n" partes iguales, cada una de estas pequeñas (e iguales) lomgitudes, será la altura de un cilindro infinitesimal. Veamos la siguiente figura:

Por los puntos de la anterior división, tracemos planos paralelos a la base del cono. Estos planos paralelos cortarán al cono en "n" capas.

Como ya hemos adelantado, tomaremos cada una de estas capas como cilindros. Esto no nos dará un resultado exacto, aunque para valorers cada vez más grandes valores de "n", el error se hará cada vez más imperceptible.

Desde el vértice del Cono, la distancia hasta el cilindro k será:

Si designamos por


al radio del k-ésimo cilindro elemental, tomado desde arriba, hallaremos que el volumen de ese cilindro elemental será:

Este valor de volumen es aproximado, pero mientras mayor sea el n (número de cilindros) menor será la altura de ellos y por tanto mejor la aproximación .... si Ud. mira la fórmula, al hacer n muy grande (1/n) tiende a cero .... y la fórmula se transforma en:

Que es la fórmula FINAL, EXACTA que deseábamos ------

MUY BELLO !!!!

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