Demostrar .....

Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto. (Esta propiedad del ángulo inscrito se conoce con el nobre del Teorema de Thales).

Una Primera DEMOSTRACION: Muy SIMPLE !

Si sabemos -axiomáticamente- es decir, si sentamos como sabido que un ángulo INSCRITO mide la mitad del arco que subtiende, entonces estamos LISTOS ! (por qué?), porque un ángulo que subtiende un ángulo inscrito en una semicircunferencia es de 180º (grados), por tanto mide la mitad, es decir: 90º (grados).

Una Segunda DEMOSTRACION (un poco más formal) :

Tesis :

Un ángulo incrito en una semicircunferencia mide 90º.

(Nota: En el dibujo, habría que demostrar que ángulo ACB es de 90º)

Hipótesis :

El ángulo ACB (vértice en C) está inscrito en una semicircunferencia. Esta semicircunferencia pertenece a la circunferencia de centro O y radio r.

Demostración :

Construcción Primera: construimos el trazo: OC, desde O, el centro de la Circunferencia.

Señalamos los ángulos: ángulo 1, ángulo 2, ángulo 3, ángulo 4.

El triángulo AOC es isósceles, pues AO y OC son radios.

El triángulo BOC es i´sosceles, pues OB y OC son radios.

Por tanto, ángulo 1 = ángulo 2 ; ángulo 3 = ángulo 4. (*)

Sabemos que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º. Sumemos los ángulos internos de los dos triángulos AOC y BOC:

(Suma de ángulos en triángulo AOC) + (Suma de ángulos en triángulo BOC) = 180º + 180º

(ángulo 1 + ángulo 2 + ángulo AOC) + (ángulo 3 + ángulo 4 + ángulo BOC) = 180º + 180º

reordenando y recordando (*):

Que es lo que queríamos demostrar ....

q.e.d.