Matemática de las Flores ..... (de la Página de Antonio Pérez)

Condicionados por la anterior frase, un poco de belleza en la naturaleza y su modelación matemática .....

Las CURVAS Botánicas .....
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En apariencia las hojas de las plantas y los pétalos de las flores están hermanados con la poesía y muy alejados de las matemáticas. Sin embargo también podemos acercarnos a los misterios del crecimiento vegetal a través de curvas y de ecuaciones, y además no demasiado complejas.
Existe una familia de curvas, investigada en el siglo XVIII, que parece haber nacido para identificarse con algunas de las flores que podrás encontrar esta primavera en el Jardín botánico y en tus excursiones por el campo.

Se trata de la CONCOIDE DE ROSETÓN, también conocida como PÉTALO GEOMÉTRICO o ROSETÓN DE TROYA.

Para interpretar el crecimiento de hojas y flores las coordenadas rectangulares o cartesianas no son las más apropiadas. Recurriremos a las coordenadas polares, en las que las dos variables son el ángulo girado respecto a la horizontal y la distancia al origen.

En estas coordenadas, todas las concoides de rosetón o de rosáceas, como dicen los franceses, tiene esta ecuación general:

haciéndose variar el angulo Teta entre (-Pi/n) y (Pi/n). Pi=3,1415 ...

Para el caso : a y b positivos, a mayor que b,

Usemos en este caso: a=2, b=1; n = 5

Y graficando en Coordenadas Polares, mediante el programa WINPLOT, tenemos:

Entre (-pi/5) y (Pi/5), para nuestro caso, el águlo debe variar entre -36º y 36º o en radianes entre (-0,62831853) y (0,62831853). Entre estos dos valores, se tiene todavía una función ... las otras partes de la flor vienen con la periodicidad de coseno, dada para los ángulos mayores y menores al rango del que hablamos ....

Usando EXCEL, hice una tabla y luego grafiqué las polares a mano, dando lo que vene a continuación:

Tabla de valores:

Gráfica a mano, para algunos valores de ángulos:
Nota: ¿Cómo lograr la flor entera?
Con simetrías y rotaciones !

Por ejemplo, el semi-pétalo mayor se puede hacer simétrico respecto del eje horizontal y luego rotarlo 4 veces. El pétalo menor se puede hacer simétrico respecto de la recta con ángulo 36º y luego rotarlo 4 veces. Ojo que la pendiente de la recta sería: m= tg (36º)

Manipulación de un Programa Computacional - WINPLOT

NEM : Tercero Medio
Tema : Uso de programa Computacional
Eje Temático : I. Álgebra y Funciones.
CMO :
2. Funciones.
c. Uso de algún programa computacional de manipulación algebraica y gráfica.
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Usaremos el Programa WINPLOT, su versión en idioma español: winplotsp.exe

Este programa se puede bajar gratuito desde la red, probar en el siguiente LINK:

http://www.programas-gratis.net/b/winplot

Simplemente he puesto den Google: "bajar Winplot gratis" o "descargar Winplot gratis"

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Ejercicio de la actividad (Idea tomada del libro de tercero medio de la Editorial Mare Nostrum):

Resolver usando WINPLOT la ecuación:

Abremos el programa, pero para graficar la función asociada:

1) Hacemos doble click rápido en el ícono: winplotsp.exe

(Aparace una ventana titulada Winplot, con dos menúes: "Ventana" y "Ayuda")

2) Hacemos Click en "Ventana" y luego en el submenú "2-dim", porque este es un problema bi-variado, con dos variables, dos dimensiones: x, y.

(Nos paracece un Sistema de coordenadas cartesiana, titulado: "sinnombre1.wp2: este es el nombre de nuestra gráfica dada por defecto, por el robot del programa que hace esta tarea. Como no lo vamos a grabar, no nos vamos a preocupar de darle algun nombre).

3) En el menú "Ecua" de este sistema de ejes cartesianos, elegimos el submenú "1. Explícita ...".

(Aparece una nueva caja de diálogo (ventana más chica) titulada y=f(x), con muchas cajas abiertas a la interacción ... Nosostros vamos a llenar, simplemente aquella encabezada por f(x) -que es justamente la superior, la primera. Allí vamos a intrudicir, teniendo en cuenta de que el signo por se sustituye por un asterisco "*" y que la potencia por un signo "^", veamos:

Introducimos:

y luego, simplemente apretamos en "OK" ...... Cha-Chán, aparecerá la gráfica de la función y es probable que otro cuadrado de diálogo llamado inventario, que simplemente -por esta vez- cerramos.

4) En el menú "Una" del cuadrado de diálogo de la gráfica, elegimos el submenú "Ceros ...", recordemos que las raíces de una ecuación se conocen también como los "ceros de la función", aquellos valores de x (abcisas) para los cuales la curva (en este caso parábola) corta el eje X.

(Aparece una nueva caja llamada "Ceros", con el número -1,34833 que es el valor de la primera raíz, por ejemplo podemos llamarla x1. Al apretar "siguiente" aparece la segunda raiz: x2=0,14833). Ojo que una flechitas muestran donde la parábola corta el eje X.

Ahora debes cerrar todos los cuadrados de diálogo, tras anotar las dos raíces.

Hemos resuelto la ecuación, haciendo uso de un programa computacional, BAKAN ....